高觀點(diǎn)下的代數(shù)證明方法探究

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(610011) 王金隆 張 紅 申 濤

1 研究背景

德國(guó)數(shù)學(xué)家菲利克斯. 克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中,提出“數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生,學(xué)到的專業(yè)知識(shí)不少,但是許多重要的,以及在中學(xué)任教中用得著的部分往往被忽視了.《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》正著眼于彌補(bǔ)這些缺憾,揭示各部分之間的聯(lián)系”[1]. 并且他認(rèn)為教師應(yīng)該具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn). 理由是,觀點(diǎn)越高,事物就越顯得簡(jiǎn)單. 例如,實(shí)數(shù)中不好理解的某些東西,在復(fù)數(shù)域的觀點(diǎn)看,就比較清楚了.

高觀點(diǎn)指的是,用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、方法、原理,解決中學(xué)的數(shù)學(xué)問題. 最近幾年,將高觀點(diǎn)和高考題結(jié)合在一起,成為近幾年對(duì)高考分析的熱點(diǎn). 例如,2019年胡琳的《高觀點(diǎn)下高考數(shù)學(xué)試題分析》[2]一文中,介紹了2017年全國(guó)二卷文科21 題應(yīng)該如何處于高觀點(diǎn)的視角下分析. 而高觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)一直是中學(xué)研究的熱點(diǎn). 最早研究高觀點(diǎn)的文章課追溯到1991年,龐征球發(fā)表在《淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報(bào)》上的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)教學(xué)探索》[3],在文章中給出了幾個(gè)用高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)的例子. 而1991—2019年,一共有80 余篇有關(guān)高觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)的文章.

近年來,將一個(gè)問題同時(shí)用初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)兩種方法來解決,也成為了研究熱點(diǎn). 這一方面是由于越來越多的高考題、競(jìng)賽題,特別是自主招生題,都或多或少有著高等數(shù)學(xué)的背景,另一方面也是由于中小學(xué)老師對(duì)于高觀點(diǎn)下的解題越來越重視,特別是高校教師的參與,使得初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)結(jié)合得更加緊密.

在中學(xué)用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題,其好處是明顯的,不僅僅將許多知識(shí)點(diǎn),以同一道數(shù)學(xué)題為載體串聯(lián)起來,達(dá)到牢固掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的目的. 更重要的是,通過多角度的思考,不同解法分析比較,可以找到解題的最佳途徑和方法,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和能力. 也能體會(huì)高觀點(diǎn)與初等思維之間的優(yōu)劣性.

中學(xué)老師研究高等數(shù)學(xué),還是要落腳在初等數(shù)學(xué)問題上.基于此,我們認(rèn)為可以參考一些例題,分別用初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的方法來解答,通過對(duì)比分析方法的特點(diǎn),加深對(duì)初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的理解. 而這些題目往往就是溝通高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的橋梁.

2 實(shí)例研究

筆者通過文獻(xiàn)查閱,代數(shù)證明的方法可以從大的方向分為以下兩類,分別是初等代數(shù)方法,高等代數(shù)方法.

2.1 初等代數(shù)方法

筆者認(rèn)為,初等代數(shù)方法,即是使用簡(jiǎn)單的運(yùn)算以及利用公式的變形,或者是等式的性質(zhì)等. 其中簡(jiǎn)單的運(yùn)算包括:加、減、乘、除、開方、乘方等;公式包括:平方差公式,完全平方公式,立方差公式,立方和公式,等比、等差數(shù)列通項(xiàng)以及求和公式等. 等式的性質(zhì)包括:等式兩邊同加、同減、同乘一個(gè)相同的數(shù),等式成立. 等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)非零的數(shù),等式成立.

題目1求證:a2+b2= 1,c2+d2= 1 的充要條件是:a2+c2=1,b2+d2=1,ac+bd=0.

說明:由于已知條件和結(jié)論具有超強(qiáng)對(duì)稱性,反向推導(dǎo)方法完全一樣.

證法1若b= 0,則有a2= 1,c= 0,d2= 1,顯然結(jié)論成立. 反之,當(dāng)b0,則可設(shè)a=bk,d=?ck,代入條件可得:

由此可得:b2=c2,則a2+c2= 1,b2+d2= 1,ac+bd=b2k ?c2k=0,即得證充分性.

證法1 是首先給出特殊值證明成立,然后設(shè)一個(gè)待定系數(shù),利用這個(gè)待定系數(shù)建立一個(gè)中間等量這里的k不需要求出具體數(shù)值,體現(xiàn)了初等代數(shù)解題“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想,從而得到b2=c2. 證法1 使用的只有初等代數(shù)的方法證明.

證法2因ac+bd=0,則有a2c2=b2d2,又a2+b2=1,則有a2c2+b2c2=c2,則有

故可得b2=c2, 若b=c, 因ac+bd= 0, 可得ac+bd=ab+cd=0,若b=?c,因ac+bd=0,可得ab+cd=0,即得證.

證法2 是利用等式的性質(zhì),首先等式兩邊減去bd,之后同時(shí)平方,等式仍然成立. 接著等式兩邊同時(shí)乘以c2,等式仍然成立. 證法2 使用的只有初等代數(shù)的方法證明.

證法3設(shè)a=sinA,b=cosA,c=cosB,d=sinB,因?yàn)閍c+bd=0,則有

即sin(A+B)=0,則有A+B=kπ,k ∈Z,

即得證.

證法3 是從題目條件聯(lián)想到三角代換, 思路清晰自然,聯(lián)合三個(gè)條件給出這一關(guān)鍵信息,推導(dǎo)所要求的結(jié)論也就變得不是那么難. 證法3 利用換元法,將代數(shù)證明與三角函數(shù)聯(lián)系在一起,使用的仍然是初等代數(shù)的證明方法.

證法1、證法2、證法3 都是使用的初等代數(shù)的方法. 其中證法1 利用中間量進(jìn)行證明,這個(gè)中間量如何構(gòu)造,構(gòu)造在何處,都是這一證法的難點(diǎn);證法2 利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形,怎么變形,往什么方向變形則是這一證法的難點(diǎn). 證法3 利用三角代換證明,怎么聯(lián)想到三角代換,和哪一個(gè)量進(jìn)行代換,是這一證法的難點(diǎn). 這些難點(diǎn)都不是一天兩天能夠熟練掌握的,而是需要學(xué)生日積月累的思考和強(qiáng)化. 對(duì)于相關(guān)的題型、變式、公式的變形等等,都需要多多理解,多多總結(jié).

2.2 高等代數(shù)方法

筆者認(rèn)為,高等代數(shù)思想方法,就是使用矩陣、行列式、線性空間、歐式空間等對(duì)初等代數(shù)的問題進(jìn)行解答. 即不僅僅使用等式的性質(zhì)這些,而是運(yùn)用矩陣等方法對(duì)初等代數(shù)證明進(jìn)行解答.

題目仍然選擇之前證明的題目,這樣更能體會(huì)高等代數(shù)方法與初等代數(shù)方法的聯(lián)系與區(qū)別.

即求證:a2+b2= 1,c2+d2= 1 的充要條件是:a2+c2=1,b2+d2=1,ac+bd=0.

說明:由于已知條件和結(jié)論具有超強(qiáng)對(duì)稱性,反向推導(dǎo)方法完全一樣.

證法4將a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0 寫成矩陣的形式,即

將a2+c2=1,b2+d2=1,ac+bd=0 寫成矩陣的形式,即

證法4 就運(yùn)用到了高等代數(shù)的方法,把條件和結(jié)論中的三個(gè)式子都放進(jìn)了矩陣之中,最后再利用正交矩陣的性質(zhì)將充分性和必要性一起解決. 這樣就可以看出初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的界限其實(shí)很不明顯.

證法5有一恒等式:

在此題中只是當(dāng)m=1,k=0 的特殊情況,此恒等式和拉格朗日恒等式很像. 驗(yàn)證此恒等式的正確性,只需展開即可.

證法6有一意大利數(shù)學(xué)家斐波那契給出的恒等式:

則可得到

則可以得到ad?bc=±1,將ac+bd=0 代入a2d?abc=±a可得a2d+b2d=±a, 故a=±d, 同理可得b=±c, 則a2+c2=1,b2+d2=1,ac+bd=0,即得證.

證法5、證法6 都用到了恒等式,但是相對(duì)而言,證法6要更清楚,證法5 所涉及的恒等式對(duì)于學(xué)生來講是比較難想到的,而證法6 很容易得到故a=±d,b=±c. 但是推廣,計(jì)算求解時(shí)就不太容易,反而不如證法5 那樣模模糊糊的證明.

綜合以上所有的證法,要講清楚這道題,就需要考慮到學(xué)生的知識(shí)水平處于何種階段. 高中生中等水平可能需要考慮前三種,而知識(shí)水平更高的就可以考慮證法4,因?yàn)樽C法4涉及到矩陣的一些知識(shí),但是證法卻是很簡(jiǎn)單的,也深刻體現(xiàn)出了高觀點(diǎn)下解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性.

3 研究啟示

初等代數(shù)方法與高等代數(shù)的方法,在證明初等代數(shù)的題目中,兩種方法各有優(yōu)劣,對(duì)于優(yōu)等生可以要求掌握高等代數(shù)方法,這樣解題的時(shí)間就會(huì)縮短,并且學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也能達(dá)到高瞻遠(yuǎn)矚的效果. 并且在證明時(shí)也各有優(yōu)劣,各有利弊,需要學(xué)生對(duì)其能夠有一個(gè)整體的把握.

初等代數(shù)方法,理論簡(jiǎn)單,涵蓋豐富,但是操作較為復(fù)雜.怎么去構(gòu)造中間量,怎么去變形,怎么代換都是這類方法的難點(diǎn)所在. 要克服這些困難,需要學(xué)生對(duì)這類題目有一個(gè)整體的把握,和日積月累的練習(xí).

高等代數(shù)方法,方法較為簡(jiǎn)單,但是理論比較困難,具有一般性. 首先學(xué)生得先了解矩陣、拉格朗日恒等式、斐波那契恒等式等高等代數(shù)知識(shí)是什么? 他們有何作用,使用這些知識(shí)應(yīng)該注意哪些,則是高等代數(shù)方法的難點(diǎn).

初等數(shù)學(xué)研究是一個(gè)大課題,高等數(shù)學(xué)研究也是一個(gè)大課題. 將兩個(gè)結(jié)合起來研究,涵蓋的更廣,且絕對(duì)不是兩者簡(jiǎn)單相加. 對(duì)于這兩者結(jié)合的這么大的課題,絕對(duì)不是一個(gè)人、幾個(gè)人發(fā)幾篇文章能夠研究清楚的. 需要的是大量的學(xué)者研究.

4 “代數(shù)證明”的教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

1.1 知識(shí)與技能目標(biāo)

掌握代數(shù)證明的兩種思想方法; 對(duì)于某一代數(shù)證明題,使用兩種或者三種方法進(jìn)行解答;

1.2 過程與方法目標(biāo)

以某一代數(shù)證明題為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生從不同角度,不同方向,不同方法進(jìn)行思考,從而加深學(xué)生對(duì)于不同方法的理解,體會(huì)高觀點(diǎn)下的方法與初等方法之間的聯(lián)系與區(qū)別.

1.3 情感與態(tài)度目標(biāo)

從學(xué)習(xí)代數(shù)證明出發(fā),讓學(xué)生體會(huì)高觀點(diǎn)之下的初等數(shù)學(xué),從而體會(huì)知識(shí)用淺人深的過程,激發(fā)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)興趣,并且能夠鍛煉學(xué)生遇到問題的應(yīng)變能力,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

2.1 重點(diǎn)找到高等代數(shù)思想方法與初等思想方法的聯(lián)系與區(qū)別;

2.2 難點(diǎn)代數(shù)證明的兩種解題方法;

教學(xué)方法和手段

基于本次課的教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)重難點(diǎn),以學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)為起點(diǎn),在教學(xué)中運(yùn)用教師講授、小組討論、教師總結(jié)的三種方法,為學(xué)生營(yíng)造很好的學(xué)習(xí)氛圍.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一例題1 的講解,運(yùn)用初等代數(shù)方法證明

問題1、平方差公式的形式是什么樣子的?

問題2、因式分解時(shí)我們應(yīng)當(dāng)注意哪些?

問題3、方程解的結(jié)構(gòu)是什么樣的?

設(shè)計(jì)意圖本環(huán)節(jié)旨在考驗(yàn)學(xué)生的基礎(chǔ),對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)有個(gè)整體的把握. 題目中的解法包含了平方差公式、因式分解,所以應(yīng)當(dāng)對(duì)這部分的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí). 而留下一個(gè)方程解的結(jié)構(gòu),引發(fā)學(xué)生的思考.

涉及知識(shí)點(diǎn)

1. 平方差公式

2. 因式分解

題目:把多項(xiàng)式x4+x3+x2+x+1 表為兩個(gè)次數(shù)不同的實(shí)多項(xiàng)式的平方差,并證明只有四組解.

證法1因?yàn)橐獙4+x3+x2+x+1 表示為兩個(gè)多項(xiàng)式的平方差,故設(shè):

又因?yàn)閤4+x3+x2+x+1 的系數(shù)都是1,故將其因式分解.

則可將f(x),g(x) 看成兩個(gè)未知數(shù), 故可以通過解二元一次方程組將其解出來. 即并且, 由題知, 若 (f(x),g(x)) 是一組解, 那么(f(x),?g(x))(?f(x),g(x))(?f(x),?g(x)) 也是解, 則共有四組解.

分析:這種方法都是初等代數(shù)方法,利用等式的性質(zhì),公式法,以及因式分解. 這些思想的難點(diǎn)都是方向性問題,怎么變換是難點(diǎn). 對(duì)于學(xué)生來說,尋找這些思想的方向較難,故造成了初等代數(shù)方法過程簡(jiǎn)單,但是思維很難.

環(huán)節(jié)二這一題的分析是初等代數(shù)的方法,那是否還有其他的方法呢?

1、對(duì)多項(xiàng)式的次數(shù)有什么認(rèn)識(shí)?

2、是否接觸過首一多項(xiàng)式?

設(shè)計(jì)意圖之前經(jīng)歷了初等代數(shù)的方法,學(xué)生沒有新鮮感,就會(huì)沒有那么大的學(xué)習(xí)興趣. 這時(shí)候提出幾個(gè)學(xué)生沒有聽過的名詞,從而引起學(xué)生的好奇心,激發(fā)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣.

涉及的知識(shí)點(diǎn)

1、首一多項(xiàng)式

2、多項(xiàng)式次數(shù)

題目把多項(xiàng)式x4+x3+x2+x+1 表為兩個(gè)次數(shù)不同的實(shí)多項(xiàng)式的平方差,并證明只有四組解.

方法2:因?yàn)橐獙4+x3+x2+x+1 表示為兩個(gè)多項(xiàng)式的平方差,故設(shè):

又因?yàn)槭莾蓚€(gè)次數(shù)不同的多項(xiàng)式,故deg(f(x))=deg(g(x)),則deg2(f(x))=deg2(g(x)).

又假設(shè)deg(f(x))deg(g(x)).

總結(jié):對(duì)比高等與初等代數(shù)證明的方法,可以看出初等方法中怎么對(duì)公式變換較為困難,并且解法較為特殊,并不具有推廣性. 而高等代數(shù)的方法更嚴(yán)謹(jǐn),并且方法具有可推廣性,如果學(xué)生儲(chǔ)備這些知識(shí),對(duì)于這些證明題就會(huì)感到很容易.

環(huán)節(jié)三教學(xué)反思

(1)精心備好一節(jié)課,是上好一節(jié)課的基礎(chǔ). 如果教師在備課中沒有更高的視角,沒有高觀點(diǎn)的基礎(chǔ),那么課堂將沒有深層次的研究,對(duì)學(xué)生求異思維的培養(yǎng)將是空談.

(2)注重學(xué)生的差異性,不同層次的學(xué)生所想到和掌握的方法一定是不同的,問題的解決不是指答案的得到,而應(yīng)指向方法的提煉與思維的形成. 所以在問題解決的過程中,才需要尋求解決策略的多樣性,這樣可以滿足各個(gè)層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,也能更好地.

(3)例題的價(jià)值是由例題所包含的思維含量決定的,教師的作用在于對(duì)題目思維含量認(rèn)識(shí)到位后構(gòu)建有效的教學(xué)形式. 在平時(shí)的教學(xué)中,可能因?yàn)闀r(shí)間、精力、教學(xué)習(xí)慣等原因就例題而講例題, 長(zhǎng)此以往不僅教師教學(xué)水平徘徊不前,更重要的是學(xué)生能力得不到培養(yǎng). 作為一線教師,要深入研究例題的基礎(chǔ)上,對(duì)例題進(jìn)行合理地教學(xué)設(shè)計(jì),從而通過有效教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生抓住為題的本質(zhì),讓學(xué)生學(xué)到知識(shí),學(xué)到方法,學(xué)會(huì)思考.

綜上所述,借助高觀點(diǎn)來培養(yǎng)學(xué)生,依照研究的對(duì)象所提供的信息,沿著不同的方向去思考,對(duì)信息和條件加以重新組合,探求多種解決方案或新途徑的思維形式是我們教師任重道遠(yuǎn)的任務(wù). 也是一個(gè)值得我們探討和努力地研究課題.