植根旋轉(zhuǎn)模型,孕育核心素養(yǎng)*
——由歷史名題引發(fā)的探究與啟示

廣東省佛山市南海區(qū)南海實驗中學(xué)(528200) 李林波

1 旋轉(zhuǎn)模型的引出

法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個數(shù)學(xué)名題:在三角形所在平面內(nèi)求一點,使該點到三角形三個頂點的距離之和最小,后人稱此為費馬點問題. 如圖1,已知三角形?ABC,求作一點P,使PA+PB+PC的值最小.

圖1

圖2

對學(xué)生而言,費馬點問題是“熟悉的陌生人”,它涉及熟悉的三角形知識及距離最小的相關(guān)公理,而需要解決的卻是陌生的三線之和最小. 學(xué)生一般的方法,如利用對稱“化折為直”,或通過確定動點軌跡求最值等在這里都無從下手.

盡管費馬點問題在歷史上已被解決,但探索費馬點過程所蘊含的數(shù)學(xué)價值并未隨之消散. 如圖2,費馬點問題的一個解決方法是利用旋轉(zhuǎn)三角形把到三頂點距離之和轉(zhuǎn)化到兩定點連線長. 這個解法非常巧妙,沒經(jīng)驗的讀者一時也難以想到,究其原因,是我們對幾何變換產(chǎn)生的性質(zhì)規(guī)律了解不深,未積累出相應(yīng)的解題模型和解題方法.

初中的幾何變換有全等變換(包括平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn))與相似變換,而三角形作為初中幾何的基本組成部分,它的全等變換或相似變換往往成了解決幾何問題的突破口. 對比平移與軸對稱變換,旋轉(zhuǎn)的變化更多,因為它涉及旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)方向這三個要素. 因此,我們有必要把三角形的旋轉(zhuǎn)變換對邊角產(chǎn)生的關(guān)系作進(jìn)一步的探究.

2 旋轉(zhuǎn)模型的認(rèn)識

如圖3, 我們把?ABO繞點O旋轉(zhuǎn)一個角度得到?A′B′O, 連接AA′、BB′, 則得?OAA′和?OBB′為等腰三角形,且?OAA′∽?OBB′;如圖4,?ABO按一個比例放縮后再繞點O旋轉(zhuǎn)一個角度得到?A′B′O, 此時可得?OAA′∽?OBB′. 我們把圖3、圖4 稱為旋轉(zhuǎn)模型,其中圖3 作的是全等變換,三角形變換前后形狀、大小不變;圖4作了相似變換,變換前后三角形形狀不變,但大小改變了.

圖3

圖4

3 旋轉(zhuǎn)模型的性質(zhì)

如圖5、圖6,一個圖形在平面內(nèi)繞一點旋轉(zhuǎn),或按一個比例放縮后再繞一點旋轉(zhuǎn),連接兩組對應(yīng)點、旋轉(zhuǎn)中心,可構(gòu)造出圖3、圖4 的旋轉(zhuǎn)模型. 因此,探究旋轉(zhuǎn)變換對圖形產(chǎn)生的幾何關(guān)系往往歸結(jié)到旋轉(zhuǎn)模型去分析說明,以下是本人從一些角度探討的部分幾何關(guān)系.

圖5

圖6

3.1 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為圖形中的頂點時,對應(yīng)邊所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角

如圖6, ?ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α(0° < α <180°,下同)得到?AB′C′,則我們可類似圖7 的構(gòu)圖方法證得對應(yīng)邊BC與B′C′所在直線的夾角等于α.

圖6

圖7

3.2 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心不是圖形頂點,而是圖形所在平面的任意點時,對應(yīng)邊所在直線的夾角依然等于旋轉(zhuǎn)角,而且在保持旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向不變的前提下,這些旋轉(zhuǎn)圖形之間是平移的關(guān)系

如圖8,點O是平面上任意點,?ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α得到?A′B′C′,則對應(yīng)邊BC與B′C′所在直線的夾角等于α. 這點我們可以通過如圖9 構(gòu)造?OBC和?OB′C′來說明,顯然?OBC和?OB′C′構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)模型,旋轉(zhuǎn)角為α,于是轉(zhuǎn)化為第(1)條性質(zhì)的情形來說明對應(yīng)邊BC與B′C′所在直線夾角等于旋轉(zhuǎn)角α. 如圖10,在其他兩要素不變的前提下,改變旋轉(zhuǎn)中心O的位置,?ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α得到?A′B′C′和?A′′B′′C′′,聯(lián)系平行四邊形知識可推導(dǎo)出?A′B′C′和?A′′B′′C′′是平移的關(guān)系.

圖8

3.3 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向都不變時,把圖形以旋轉(zhuǎn)中心為位似中心同側(cè)放縮,則這些放縮圖形旋轉(zhuǎn)后也是位似關(guān)系

圖10

圖11

如圖11,?ABC以O(shè)為位似中心同側(cè)放縮得?DEF和?GHI, 再把?DEF和?GHI以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心, 逆時針旋轉(zhuǎn)α,所得?D′E′F′和?G′H′I′則是以旋轉(zhuǎn)中心O為位似中心,位似比為放縮比之比的位似圖形. 這點讀者可以結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)與位似定義加以體會理解.

4 旋轉(zhuǎn)模型的運用

一個幾何問題在解決時感覺困難,往往在于對條件、圖形以及所求的轉(zhuǎn)化上. 如圖12,費馬點問題的難處是如何把到P到三定點A、B、C的距離之和轉(zhuǎn)化為兩定點M、N之間的連線長.

圖12

圖13

如圖13, 我們把?APB繞點A往外旋轉(zhuǎn)60°得?AP′B′,則等腰?APP′為等邊三角形,故有PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC, 其中B′是定點, 從而把到三定點的距離之和轉(zhuǎn)化為兩定點之間的連線長,這是解決費馬點問題的突破口. 由此我們看到了旋轉(zhuǎn)角度對邊的轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了奇妙的影響,如圖14,若?APB繞點A往外旋轉(zhuǎn)90°得?AP′B′,則PB+PA=PB+PP′,這樣可為邊的不同加權(quán)之和提供解決思路.

圖14

問題1如圖15, 已知正方形ABCD, ∠EBF=∠EDF=45°,連接AF、CE,求證:AF//CE.

圖15

圖16

分析因為AB=CB,聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)模型,我們把?ABF繞點B旋轉(zhuǎn)到?CBG,如圖16,連接有關(guān)線段,進(jìn)一步得出?BEF?BEG,同理把?ADF繞點D旋轉(zhuǎn)到?CDH,也得出?DEF?DEH. 有興趣的讀者可以循著思路往下探究出結(jié)果. 在這里我們發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)模型在一定的條件下可以發(fā)生連鎖反應(yīng),如上述分析中的?BEF?BEG,究其原因,是添加了條件∠EBF=45°,它為旋轉(zhuǎn)角度的一半,如圖17,我們稱之為半角模型,像這樣改變條件引起連鎖反應(yīng)的例子還有很多,這里不逐一列舉,細(xì)心的讀者可以在平時留意體會.

圖17

問題2如圖18 所示,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A(4,0),B(?1,0),C(0,?2)三點,

(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若連接BC,把?BOC繞平面內(nèi)某點R逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到?B′O′C′, 點B、O、C的對應(yīng)點B′、O′、C′, 若?B′O′C′的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱點R為“旋轉(zhuǎn)點”,請直接寫出滿足條件的點B′的坐標(biāo).

圖18

圖19

分析問題的第(2)問涉及了旋轉(zhuǎn)模型的延拓——旋轉(zhuǎn)中心是平面內(nèi)的任意點,如圖19,我們把旋轉(zhuǎn)中心R取在O上,得到?BOC逆時針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)后的圖形,由旋轉(zhuǎn)模型的第(2)條性質(zhì)可知,R取其他位置時,實質(zhì)為該圖形平移的結(jié)果,從而確定?B′O′C′的擺放方式,然后分類討論解決,如圖20、圖21.

圖20

圖21

問題3如圖22,⊙A的半徑為1,點A坐標(biāo)為,點P是⊙A上的動點,點B與點P關(guān)于原點中心對稱,且?PBC是等邊三角形,當(dāng)P在⊙A上的運動時,點C圍成的圖形的面積是____.

分析連接CO,我們發(fā)現(xiàn)對于點C 形成的圖形,如圖23,按旋轉(zhuǎn)模型的性質(zhì)(3),我們可以分兩步理解:(1)先以點O為位似中心,在同側(cè)把OP放大倍得OC′,這等同于在同側(cè)把⊙A放大為原來的倍得⊙A′;(2)再把C′繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點C,這等同于對⊙A′作全等變換,所以點C形成的圖形是⊙A′′.

圖22

圖23

5 旋轉(zhuǎn)模型的啟示

(1)意義深刻的數(shù)學(xué)問題從來都不是一找出答案就完事,歷史上還有很多像費馬點問題那樣數(shù)學(xué)名題值得我們可以重新思考,變式拓展,并把前輩所發(fā)現(xiàn)的解答納入到我們學(xué)習(xí)體系和應(yīng)用當(dāng)中. 通過對這些數(shù)學(xué)名題的探究學(xué)習(xí),學(xué)生能加強圖形的辨識能力,提高幾何證明的質(zhì)量,同時也領(lǐng)略了數(shù)學(xué)文化的意蘊,推動自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.

(2)數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》里指出:面對一個問題你無從下手時,你可以找一個輔助的問題,希望通過它幫助我們?nèi)ソ鉀Q原問題,我們可以用輔助問題的結(jié)果,也可以利用輔助問題的方法[1]. 旋轉(zhuǎn)模型正是費馬點問題的輔助問題,如果我們把旋轉(zhuǎn)模型研究透徹了,遇到類似問題時自然想著通過旋轉(zhuǎn)把分散的條件集中起來,從而達(dá)到解決問題的效果,這是獲取知識與方法的有效途徑.

(3)如果一個輔助問題能抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征及其內(nèi)在聯(lián)系,具有普遍性、實用性,那它就成了常用的基本模型,一個解題模型. 這樣的模型攜帶著思路片段,為整個幾何問題的思路提供拼圖的作用,形成解答方案. 旋轉(zhuǎn)模型可以作為一個基本模型,它的建立與應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的模型思想以及化歸思想,其中模型思想是新課標(biāo)下10 個核心概念中唯一一個以思想指稱的概念,它是數(shù)學(xué)基本思想之一[2]. 當(dāng)改變一些條件時,旋轉(zhuǎn)模型又衍生出更多規(guī)律性更強的解題模型. 其實,不僅旋轉(zhuǎn)模型如此,數(shù)學(xué)的很多模型也是如此,這需要我們平時注重總結(jié)歸納.