積累基本圖形，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法*
——一道幾何壓軸題的解法探究和教學(xué)啟示

廣東省佛山市南海區(qū)南海實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528200) 黃業(yè)青

圓是初中幾何“食物鏈”的頂端,涉及的知識(shí)和方法較為豐富,廣東省數(shù)學(xué)中考常常以圓為背景設(shè)計(jì)幾何綜合壓軸題.本人通過(guò)2018年廣東中考第24 題(幾何綜合壓軸題)的解答和教學(xué)思考,談?wù)劮e累基本圖形,結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法有助于幾何壓軸題的突破.

1 試題呈現(xiàn)

題目:如圖, 四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C, 連接AC,OD交于點(diǎn)E.

(1)證明:OD//BC;

(2)若tan ∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;

(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長(zhǎng).

這道題是2018年廣東省中考數(shù)學(xué)第24 題,題目有一定的難度,中等學(xué)生可以完成第(1)(2)問(wèn),而第(3)問(wèn)的能力要求較高,學(xué)生難以找到解題的突破口,學(xué)生普遍難以完成解答;題目是命題人精心設(shè)計(jì)的原創(chuàng)題,背景來(lái)源于課本,構(gòu)圖簡(jiǎn)潔,給人“似曾相識(shí)”的感覺(jué),卻需要較強(qiáng)的思維能力,背景和內(nèi)容符合新課標(biāo)的理念和要求, 是一道相當(dāng)精彩的好題,值得作為例題深入研究和品味.

2 試題解答

(1)由OA=OC,AD=CD證明OD是線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn). 詳細(xì)過(guò)程略.

(2)證明Rt?AEDRt?BCA(HL). 詳細(xì)過(guò)程略.

下面重點(diǎn)分析第(3)小題的解法以及教學(xué)啟示.

解法1:

∵?AED∽?OAD,?AFD∽?BAD, ∴AD2=DE · OD,AD2=DF · BD, ∴DE · OD=DF · BD,∠EDF= ∠ODB,∴?FDE∽?ODB,.

解題關(guān)鍵積累“射影定理基本圖形”,發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“射影定理基本圖形”,它們的公共邊是AD, 發(fā)現(xiàn)AD2=DE · OD=DF ·BD,從而證明?FDE∽?ODB,進(jìn)而解決問(wèn)題.

解法2:

作DH⊥BC, 交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H, 由BC= 1, 得AC= 2,AB=AD=,CH=DE= 2,DH=EC= 1, 在Rt?OAD中,OD=∵OD//BC,∴∠ODB=∠DBC,點(diǎn)O、F分別是AB、BD中點(diǎn), 即OF為?ABD中位線(xiàn), ∴OF//AD, ∴∠DOF=∠ODA, tan ∠ODB=tan ∠DOF=tan ∠ODA=.

作GF⊥OD于點(diǎn)G,設(shè)GF=x,則OG=2x,GD=x,∴2x+3x=∴EG=2,∴EF=.

解題關(guān)鍵積累“解直角三角形的加法模型”,構(gòu)造Rt?, 求EF轉(zhuǎn)化為求GF, 把GF放在?ODF中,可以嘗試?yán)谩凹臃Ｐ汀鼻蠼?

解法3:

分別延長(zhǎng)EF 、BC, 交于點(diǎn)G, 連 接AF. ∵點(diǎn)F是BD中 點(diǎn), ∴BF=DF, ∵OD//BC, ∴ ∠EDF=∠GBF,∠DEF= ∠BGF,∴?DEF?BGF,∴EF=FG,DE=BG= 2, ∴CG=DE ?BC= 1, ∴CG=EC=1,∴EG=EF=.

解題關(guān)鍵積累“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”基本圖形, 看到EF是?BED一邊上的中線(xiàn), 嘗試構(gòu)造倍長(zhǎng)中線(xiàn)常用輔助線(xiàn), 進(jìn)而解決問(wèn)題.

解法4:

在(2) 條件下, 可證:AE=BC, ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠AFB= 90°, ∵AB=AD, ∴AF=BF=∠EAF=∠CBF,∴?EAF?CBF(SAS),∴EF=CF,∠AFE= ∠BFC, ∴∠BFC+ ∠BFE=∠AFE+∠BFE= 90°,∴∠EFC= 90°,即?EFC是等腰直角三角形,∴EF=.

解題關(guān)鍵有“旋轉(zhuǎn)全等”的意識(shí), 意識(shí)到?EAF繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)與?CBF重合, 從而往?EAF?CBF的思路證明.

解法5:

∵OD//BC,∴∠ODB= ∠DBC,∵?BCE和?BAD是等腰直角三角形, ∴∠DBC= 45° ?∠EBD,∠ABE=45° ?∠EBD,∴∠DBC= ∠ABE= ∠ODB,∵?AFB是等腰直角三角形, ∴∠BAC= 45° ?∠CAF, ∵∠EBD=45° ?∠CBF,∠CAF= ∠CBF, ∴ ∠BAC= ∠EBD,∴△AEB∽△BED,∴(相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比等于相似比).

解題關(guān)鍵有“相似的圖形變換”意識(shí),意識(shí)EF是?BED一邊上的中線(xiàn),求EF可以轉(zhuǎn)化到與之相似的三角形中求解, 從而往?AEB∽?BED的思路證明.

3 教學(xué)啟示

3.1 突破幾何壓軸題,平時(shí)教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生積累基本圖形

復(fù)雜圖形往往蘊(yùn)含著基本的圖形, 基本圖形可以演變成不同的復(fù)雜圖形. 從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形就是一種解題能力,需要平時(shí)教學(xué)加以引導(dǎo)與鍛煉. 如此題的解法1 利用了“射影定理”基本圖形,解法2 利用了“解直角三角形的加法模型”,解法3 利用了“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”基本圖形.

“射影定理”基本圖形結(jié)論:?ACD∽ ?CBD∽?ABC.

“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”基本圖形 結(jié) 論:延 長(zhǎng)AD至 點(diǎn)E, 使 得DE=AD, 則?BDE?CDA.

3.2 突破幾何壓軸題,平時(shí)教學(xué)要注重強(qiáng)化學(xué)生的“圖形變換”意識(shí)

初中階段學(xué)習(xí)的圖形變換有平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)、相似(位似),在教學(xué)和解題講授時(shí),強(qiáng)化學(xué)生“圖形變換”意識(shí),有助于學(xué)生積累解題的“靈感”. 解法4 利用了“旋轉(zhuǎn)全等”的意識(shí),解法5 利用了“相似圖形變換”的意識(shí),這些意識(shí)就是平常所說(shuō)的“靈感”,需要平時(shí)教學(xué)有意識(shí)地強(qiáng)化.

3.3 突破幾何壓軸題,平時(shí)教學(xué)要注重滲透數(shù)學(xué)思想方法

突破幾何壓軸題,平時(shí)教學(xué)要注重滲透數(shù)學(xué)建模、方程思想、化歸轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法. 解法1、解法2、解法3、解法4 都通過(guò)構(gòu)造Rt?,把EF放到直角三角形中求長(zhǎng)度,這是建模的思想;包括解法1、解法2、解法3 這些模型的運(yùn)用,也是建模的思想; 建模的過(guò)程也就是深入分析題目的過(guò)程,建模思想的運(yùn)用有助于學(xué)生快速理解題目和解決問(wèn)題.

幾何問(wèn)題往往涉及求線(xiàn)段的長(zhǎng)度,求線(xiàn)段長(zhǎng)度往往需要建立方程求解,如解法2 的“解直角三角形加法模型”也是一種方程思想,強(qiáng)化方程思想是解決問(wèn)題的一個(gè)重要途徑.

復(fù)雜圖形需要通過(guò)層層剖析,發(fā)現(xiàn)基本圖形,而基本圖形往往是我們“最近的發(fā)展區(qū)”,進(jìn)而探究解題的有效途徑;這種把復(fù)雜圖形化歸為基本圖形來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想,往往有助于我們找到解題的思路.

數(shù)學(xué)思想方法是一種思考的方法,也就是教會(huì)學(xué)生如何思考、如何尋找解決問(wèn)題的策略,注重滲透數(shù)學(xué)思想方法是突破壓軸題的重要舉措.