初中動點問題的圖示策略建構(gòu)

廣東省深圳市龍崗區(qū)天成學校(518172) 王全波

從各省市近幾年中考試卷來看,動點壓軸題目經(jīng)常在最后兩題中出現(xiàn),它與函數(shù)、方程、圖形變化、幾何證明等結(jié)合,經(jīng)過觀察、猜想、操作、探究、推理等過程,考察學生的數(shù)型結(jié)合、分類討論、化歸思想、邏輯推理等綜合能力.

1 初中解析幾何的再認識

初中的解析幾何是指平面解析幾何,通過平面直角坐標系,建立點與實數(shù)對之間的一一對應關(guān)系,以及曲線與方程之間的一一對應關(guān)系,運用代數(shù)方法研究幾何問題,或用幾何方法研究代數(shù)問題.解析幾何的建立第一次真正實現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合,使形與數(shù)統(tǒng)一起來,這是數(shù)學發(fā)展史上的一次重大突破.解析幾何中幾何才是問題的實質(zhì),幾何中圖形才是認識問題的關(guān)鍵,代數(shù)的功能只是解析問題一種工具.

2 圖示動點問題

初中動點問題的題目是屬于解析幾何的范疇,解析幾何問題必然離不開圖形.在這里本文選取了一個題目作為典型題例,圍繞這個題目展開對動點問題的教學策略進行建構(gòu).

典型題例如圖,拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,?2)三點.

(1)求出拋物線的解析式;

(2)P是拋物線上一動點,過P作PM ⊥x軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與?OAC相似? 若存在,請求出符合條件的點P的坐標; 若不存在, 請說明理由;

在日常教學中,我們可能習慣于一種邏輯,面對一道解析幾何的題目,這個題目需要用圖形來分析,所以我們?nèi)ふ夷撤N圖形,再完成這個題目的解析,最終完成這個題目.這樣一種邏輯下,其實不自覺就把完成題目的重點放到解析上,但沒有認識、理解圖形就要學生去完成書寫,這樣就會出現(xiàn)學生知識建構(gòu)不能完成,即使能完成也可能不能長久,就如空中樓閣.所以動點問題的教學重點應該放到圖形認識上,本文把圖形的建構(gòu)環(huán)節(jié)分成了三個層次,下面就以典型題例來對進行說明.

2.1 畫基本圖形

眾所周知,數(shù)學中許多基本圖形,如線段、數(shù)軸、三角形、正方形、拋物線、圓、雙曲線等,這些基本圖形都蘊含著許多重要的基本性質(zhì),不僅如此,這些基本圖形所呈現(xiàn)的數(shù)學語言有簡潔、抽象及明確的特點,有其他語言所不可代替的優(yōu)越性.它比文字更加形象,也有思想交流的功能,其豐富的的表象,往往有助于我們清楚的分析題目中的數(shù)量關(guān)系,起到化繁為簡、化難為易的良好效果.

在本文典型題例中,問(2)中所涉及的是三角形相似的問題, 問(3)所涉及的是三角形面積的最值問題, 這其中的圖形都是初中數(shù)學中十分常見的圖形,對這些基本圖形的繪制和性質(zhì)的掌握是教學中務必首要完成的任務.比如典型題例中兩個三角形如果相似,由于對應點的不同就會出現(xiàn)三種不同的可能,學生能不能用基本圖形進行理解性說明;同理,有關(guān)三角形面積求法的問題, 學生又能不能很輕松的解決,這都是進行這類課教學關(guān)鍵步驟.當然這類問題在初中數(shù)學中還比較多,等腰三角的問題、直角三角形的問題、平行四邊形、菱形等等,當這些問題背后都隱藏了一個簡單的圖形鏈條,抓住鏈條,你就能控制理解的方向.

2.2 “畫”動為靜

“動點問題”是現(xiàn)在比較熱的一個題型,也是中考中許多學生頭痛的一個問題.它除了考查學生的知識功底外,還要求學生要有很敏捷的思維,較高的邏輯推理和分析能力,但無論這種題目怎么變化, 它始終都是解析幾何的一種情況,其離不開其實質(zhì)就是圖形.學生在剛開始接觸動態(tài)題時,感覺無從下手,在教學中我們要讓學生敢于動筆,“畫”動為靜,只有敢畫,才能觸及到分析解決問題的實質(zhì),才能把抽象的“動”變?yōu)榫唧w的“靜”,迅速調(diào)動學生的形象思維,為更深入的理解分析問題.同時,我們所畫出的靜態(tài)圖,實際又是一個變化的圖形,這樣動態(tài)圖和靜態(tài)圖之間自然就建立了密不可分的聯(lián)系.

在典型題的問(2)中,將動點P確定下來,讓它在圖上表現(xiàn)為一個靜態(tài)的點,只要有這大膽的一步,問題就會逐漸變得清晰,因為圖形在接近基本圖形.在問(2)中,由于P點是動點,我們需要“畫”動為靜,但由于P點在一條曲線上移動,就需要確定幾個具有代表性的靜態(tài)點,所以要進行分類選擇,就可以得到如下的情況:

圖1

圖2

圖3

而上述三種情況,P點是否存在,就取決于最后演算結(jié)果是否符合實際情況.三種情況都可以通過把動點轉(zhuǎn)換為靜態(tài)點進行圖形的直觀感知,這種方式一是要做好明確的分類,二是可以理解問題的結(jié)合實質(zhì),是解答問題中最為重要的建構(gòu)過程.在教學過程中這個部分需要花大量時間來進行思維訓練和畫圖訓練,這樣才有可能對問題進行更深入的理解.

2.3 理解性圖示

有了“畫”動為靜這個層次的理解,教學中學生對題目的理解會變得簡單明確,教學中需要反復強化“畫”動為靜的訓練,要爭取達到自動化的程度.但事實上,在題目原圖中“畫”動為靜有時會讓圖形變得很復雜,雖然在思維層面這樣圖示可以把問題表現(xiàn)得清清楚楚, 但圖形直觀性就受到了影響.其實我們還可以把圖形理解更提升一個層次,把它變?yōu)槔斫庑缘膱D示,去掉圖形中無關(guān)的線條,靠近基本圖形,能夠進行正常理解即可.典型題例(2)問中的圖示,就還可以更為畫成更為簡單,幾乎成為基本圖形,不過要加上一些理解性的標注.

在“畫”動為靜這個層次的理解后,我們可以重新來審視典型題例中的問(2),其實三種情況的本質(zhì)就是三角形相似的問題,我們可以大膽的進行抽象為:

圖4

圖5

圖6

在此基礎(chǔ)上,我們還可進一步進行抽象理解,實際上問(2)就是兩個三角形相似的問題,可以根據(jù)對應點的不同來進行分類.由于∠AOC=∠APM=90°,所以O(shè)點與M點始終是對應點,實際這兩個三角形相似就還剩兩種情況分別是:?AOC∽?PMA和?AOC∽?AMP,這樣我們可以直接默認P點是一個動點,不再考慮圖形變化對P點帶來的影響,在同相似轉(zhuǎn)化為對應線段的比進行演算,得出符合題意的點.這樣的圖示實際上是一種高度抽象,但又是很易理解的基本圖示.強化動點問題的圖示策略的三個層次,就可以幫助學生更高質(zhì)量地建構(gòu)動點問題解題體系.

3 策略建構(gòu)綜述

在初中動點問題的教學中,蘊含了許多不同的圖形,不同的圖形雖有不同的性質(zhì),也可以呈現(xiàn)不同的數(shù)學語言,但教學中需要抓住圖示建構(gòu)這一核心,借助數(shù)學基本圖形的形象性、直觀性,不斷強化學生數(shù)學思維能力.隨后,再以代數(shù)的方法解析問題,將幾何問題代數(shù)化,輔助適宜的簡化運算解決問題.在實際教學中,這種策略的建構(gòu)也強化了解決問題的核心,進而提升課堂教學質(zhì)量.策略也從側(cè)面揭示了數(shù)形結(jié)合的實質(zhì),形是根本,數(shù)是方法.