基于發(fā)展“數(shù)學抽象”素養(yǎng)的教學

施俊源

摘 要：為了學生能更好地從數(shù)學角度去形成概念、方法與體系，高度概括與認識數(shù)學的本質，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，能在相關學科的學習中主動運用數(shù)學抽象的思維方式解決問題。在平時的課堂中就需要用數(shù)學眼光去觀察，用數(shù)學思維去分析，用數(shù)學語言去表達。

關鍵詞： 數(shù)學抽象 數(shù)學思維 數(shù)學角度

一、實例——數(shù)學抽象能力的前提

數(shù)學抽象的實現(xiàn)過程是一系列比較和區(qū)分、舍棄和收括的思維操作過程。函數(shù)單調性首先從函數(shù)圖像上直觀感受它，并用自然語言加工經歷第一次數(shù)學抽象過程。

問題1：請同學畫出下面兩組函數(shù)在相應區(qū)間[1，2]上的圖像，然后指出每一組在性質上的共同點是什么？第一組：，;第二組，;

生：第一組圖像呈現(xiàn)一個上升的形式，第二組圖像呈現(xiàn)一個下降的形式。

師：我們可以思考怎么樣用y與x之間存在的變化關系去描述圖像的這一特征呢？

生：第一組圖像中y隨著x的增大而增大，第二組圖像中y隨著x的增大而減小。

設計意圖：給出若干函數(shù)的圖像，從一系列的比較和區(qū)分開始，在思維中比較出每組圖像的共同特征用自己的語言表達出來，同時兩組之間不同的特征也進行區(qū)分，形成一個表達概念的詞，完成一個初步的抽象過程。

問題2：怎么把“在區(qū)間上，函數(shù)隨著x的增大而增大”用數(shù)學符號語言表示？

師：同學們的身高在每年都會發(fā)生變化，我們在現(xiàn)實生活中是怎么量化這種變化的呢？如果身高變高了一般怎么發(fā)現(xiàn)？

生：體檢的時測量身高的時候就會知道，今年的身高減去去年的身高，如果大于零就可以代表長高了。

師：那么x的增大可以怎么表示，我們用可以用，，來表示嗎？

生：用第二x個減去第一個x大于零表示。

師：很好，那么現(xiàn)在請大家思考，如何表示函數(shù)隨著x的增大而增大？

生：如果時，。

師：那我們試著來用集合語言來描述“，在區(qū)間[a，b]上”，并且完整的描述“在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）隨著x的增大而增大。”

生：，“若，時，”。

設計意圖：通過教師啟發(fā)引導，讓學生體會隨著x的增大就是自變量發(fā)生了變化，從而引出用任意的兩個自變量，來表示。同理，學生也可以自然而然地想到用和來表示

增大。

二、反例——數(shù)學邏輯嚴密的保證

在第一次，第二次的抽象中把重點放在初步描述單調性，即和x之間的變化關系上，但是對于定義中部分嚴密性的認識存在不足。因此還需要對定義中部分的名詞作一個更為深刻地理解。

生：還是用前面那個函數(shù)圖像，上有無數(shù)對，

使得，都有，但是不能說在

（0，2）上是增函數(shù)。

師：這無數(shù)多對是怎么取出來的？

生：這無窮多對可以全部從區(qū)間（1，2）中取出，但是函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是既有單調遞減的部分，也有單調遞增的部分。

師：現(xiàn)在讓我再仔細來看看增函數(shù)的定義“如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意（重音）兩個自變量的值，，當，都有，那么就說在區(qū)間D上是增函數(shù)。”能觀察到哪一個哪一個重要的詞？

設計意圖：在對單調性概念的有一定的理解后，再利用反例幫助學生更深刻地理解概中出現(xiàn)的一些關鍵詞，完善對單調性概念的一個嚴密的定義。

有一些知識是比較相接近的或者是密切聯(lián)系的，學生在學習的過程當中往往容易混淆，反例可以有效地加深學生對概念的認識.同時，鍛煉學生的發(fā)散思維能力，將所學的知識點呈線性展開，并且構建整體框架。

三、對教學中實踐“數(shù)學抽象”形成的反思

本節(jié)課有梯度地從具體到抽象引導學生逐漸地完善數(shù)學抽象概念——單調性概念——訓練提高他們的思維水平。在抽象化過程中，利用反例完善概念的理解，拓展學生的邏輯嚴謹性。數(shù)學抽象形成過程中可以幫助學生體會數(shù)學知識之間的關系，理解數(shù)學知識中層次性與構建知識中所體現(xiàn)的結構規(guī)律，這就是數(shù)學思維的訓練。

任何一個抽象概念都不是一蹴而就，教學中我們要習慣整理借用已有的知識背景，通過設計有序展示在課堂中。在過程設定初步抽象，第二次抽象所要完成的教學目標，幫助學生理解掌握數(shù)學概念的內涵以及在形成數(shù)學抽象過程中需要具備的能力。最終通過學習不同數(shù)學概念，進而加深個部分知識潛在聯(lián)系。高中函數(shù)是初中函數(shù)的深化，形成一個整體概念。

從一般事物通過觀察，分析，歸納，猜想，驗證，得出結論的這種思維方式是人們認識規(guī)律的體現(xiàn)，而在數(shù)學概念形成中更能夠充分的體現(xiàn)這一過程。要數(shù)學抽象的形成讓學生意識到學習數(shù)學不僅僅是學習知識，更是一種學習與認知世界的一種方法。

參考文獻

[1]莊志剛.對高中數(shù)學核心素養(yǎng)與教學設計的思考[J].高中數(shù)學教與學2017（8）：37-40.

[2]王萍.聚焦核心素養(yǎng)追尋數(shù)學本質——淺談如何錘煉學生的數(shù)學思維[J].陜西教育2016（12）：46-47.