數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知機(jī)制及教學(xué)反思

姚春穎

[摘? 要] 對數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識水平?jīng)Q定著數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的高度以及深度，而數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識也就亟需要從經(jīng)驗(yàn)角度切換到認(rèn)知角度. 之所以強(qiáng)調(diào)從認(rèn)知角度對數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行解析，一個(gè)重要原因是因?yàn)檎J(rèn)知心理學(xué)作為解釋學(xué)生學(xué)習(xí)過程的最佳理論之一，在我國的學(xué)科教學(xué)中一直發(fā)揮著重要的作用. 數(shù)學(xué)抽象的起始階段是知覺抽象，數(shù)學(xué)抽象的必經(jīng)階段是數(shù)量抽象，數(shù)學(xué)抽象的較高水平是概念抽象. 具體可以包括這樣的幾個(gè)步驟：一是給學(xué)生提供思維素材，以促使學(xué)生完成知覺抽象;二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維，以完成數(shù)量抽象;三是概念抽象過程中完成數(shù)列概念的建立.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;認(rèn)知機(jī)制;教學(xué)反思

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科異于其他學(xué)科的基本特征之一，作為抽象的下位概念，數(shù)學(xué)抽象的特征在于從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行抽象，因而其保留的是與數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的元素，去除的則是與數(shù)學(xué)學(xué)科無關(guān)的元素. 從抽象結(jié)果的角度來看，數(shù)學(xué)抽象之后得出的往往都是具有模型意義的數(shù)學(xué)、規(guī)律、法則等，從這個(gè)意義上來看，數(shù)學(xué)抽象可以理解為數(shù)學(xué)建模過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，由此也可以看出數(shù)學(xué)抽象在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程中的重要地位. 對數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識水平?jīng)Q定著數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的高度以及深度，而數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識也就亟須從經(jīng)驗(yàn)角度切換到認(rèn)知的角度. 之所以強(qiáng)調(diào)從認(rèn)知角度對數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行解析，一個(gè)重要原因是因?yàn)檎J(rèn)知心理學(xué)作為解釋學(xué)生學(xué)習(xí)過程的最佳理論之一，在我國的學(xué)科教學(xué)中一直發(fā)揮著重要的作用，即使今天熱門的腦科學(xué)研究，某種程度上也是以認(rèn)知解釋作為參考的. 同時(shí)，認(rèn)知角度的數(shù)學(xué)抽象研究又是比較薄弱的，盡管國內(nèi)有教學(xué)專家以及教研員等對此開展過研究，但從推廣應(yīng)用的角度來看，還存在不小的空間. 在核心素養(yǎng)的背景之下，可以肯定這一思路是正確的，那么在具體的教學(xué)實(shí)踐過程中，教師就要認(rèn)真探究，認(rèn)真總結(jié). 此思路即是有同行提出的：對抽象的高中數(shù)學(xué)知識感、悟、學(xué)，從基于感性的學(xué)習(xí)到基于理性的思考，將數(shù)學(xué)抽象如何形成的過程在課堂教學(xué)中層層展現(xiàn)，同時(shí)思考核心素養(yǎng)在一線教學(xué)實(shí)踐中如何落地. 本文就此話題談?wù)劰P者的一些理解與反思，以期與同行進(jìn)行切磋，為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地提供一份有價(jià)值的參考.

高中數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知機(jī)制初梳理

從認(rèn)知機(jī)制的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象，首先需要研究數(shù)學(xué)抽象的發(fā)生過程，有研究者認(rèn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，要經(jīng)歷“數(shù)學(xué)現(xiàn)象——心象——抽象——操作”這樣一個(gè)過程，并簡稱其為“三‘象一‘作過程”，并認(rèn)為這是一種可應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“數(shù)學(xué)認(rèn)知過程”. 進(jìn)一步的研究則表明，這種過程源自認(rèn)知心理學(xué)與教育研究，基本上體現(xiàn)了反映論的觀點(diǎn)，而強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”的概念和觀點(diǎn)，對數(shù)學(xué)教育與教學(xué)具有重要意義. 筆者通過梳理發(fā)現(xiàn)，這個(gè)意義在認(rèn)知視角下至少可以從這樣的幾個(gè)方面進(jìn)行理解：

一是數(shù)學(xué)抽象的起始階段是知覺抽象. 眾所周知，數(shù)學(xué)抽象的對象是比較形象的生活實(shí)例，而學(xué)生對生活實(shí)例信息獲取的第一通道就是感覺與知覺，其中感覺是直覺性的，知覺則具有一定的思維加工特征. 比如學(xué)生在建立“數(shù)列”概念的時(shí)候，教師提供給學(xué)生的往往都是一些生活中的數(shù)列實(shí)例，如筆者讓學(xué)生思考“堆鋼管”的例子，具體可以借助于照片來打開學(xué)生的視覺通道，相應(yīng)的學(xué)生的第一反應(yīng)就是“越往上鋼管數(shù)量越少”，這就是感覺;其后則會(huì)認(rèn)識到“每向上一層，鋼管的數(shù)量就會(huì)少一根”，這就是知覺. 正是知覺發(fā)揮了作用，所以學(xué)生認(rèn)識到鋼管規(guī)程的時(shí)候，數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為n，n-1，n-2，…，于是一個(gè)數(shù)列的形象就初步建立了起來. 需要指出的是，知覺抽象中存在一類圖形抽象，這主要是面向幾何知識的學(xué)習(xí)而進(jìn)行的，當(dāng)學(xué)生的知覺開始加工圖形對象時(shí)，圖形便由線、角、數(shù)量特征等進(jìn)行表征，相應(yīng)的圖形抽象結(jié)果或表象就會(huì)形成.

二是數(shù)學(xué)抽象的必經(jīng)階段是數(shù)量抽象. 一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究空間關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，其中數(shù)量關(guān)系非常重要，其也是描述空間關(guān)系的重要工具，因此對數(shù)量關(guān)系把握到位了，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是成功的. 認(rèn)知視角下的數(shù)量抽象，主要表現(xiàn)在從數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的角度去對研究對象進(jìn)行表征，數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法背后，其實(shí)就普遍存在著數(shù)量抽象.

三是數(shù)學(xué)抽象的較高水平是概念抽象. 這里所說的概念是廣義角度的概念，凡是凝聚了數(shù)學(xué)內(nèi)涵并以精練的數(shù)學(xué)語言描述的，均可稱之為數(shù)學(xué)概念. 數(shù)學(xué)概念不僅涉及了數(shù)學(xué)抽象的過程，還涉及了抽象結(jié)果的表征，對學(xué)生的思維水平要求較高. 例如，“數(shù)列”并不只是“一列數(shù)”，而是“按照一定順序排列著的數(shù)”，顯然，對“順序”的理解才是數(shù)列概念建構(gòu)的關(guān)鍵，同時(shí)也是數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵.

認(rèn)知指引下的高中數(shù)學(xué)抽象教學(xué)

從上述理解可以看出，認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象的最大價(jià)值在于，可以賦予學(xué)生一個(gè)更符合學(xué)習(xí)規(guī)律的數(shù)學(xué)抽象過程，學(xué)生在這樣的過程中，數(shù)學(xué)抽象意識以及數(shù)學(xué)抽象的能力都可以得到切實(shí)的培養(yǎng). 從這個(gè)角度來看，對數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識就有了兩個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)抽象能夠簡化學(xué)生對所研究數(shù)學(xué)對象的認(rèn)知，是一種拋棄數(shù)學(xué)對象一切外在物理屬性的思維過程;二是數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知解讀能夠讓數(shù)學(xué)抽象的過程變得更加合理，學(xué)生可以在數(shù)學(xué)抽象的過程中更好地把握數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì).

仍然以“數(shù)列”概念的教學(xué)為例，通過數(shù)學(xué)抽象得出數(shù)列的概念，對于相當(dāng)一部分高中學(xué)生而言非常必要，因?yàn)閿?shù)學(xué)本身比較抽象，尤其是后續(xù)的數(shù)列的通項(xiàng)式求解、數(shù)列求和等，都是高度抽象的產(chǎn)物. 因此在數(shù)列概念建立的時(shí)候，要認(rèn)真設(shè)計(jì)一個(gè)能夠讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過程，具體可以包括這樣幾個(gè)步驟：

一是給學(xué)生提供思維素材，以促使學(xué)生完成知覺抽象. 比如上面所舉的堆鋼管的例子，在生活中有很多變式，教師提供給學(xué)生的可以是一個(gè)實(shí)物圖，也可以是一個(gè)抽象圖（如圖1）. 但需要強(qiáng)調(diào)的是，必須以“圖”的形式來引入，也就是說必須讓學(xué)生在這個(gè)環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)思維對圖形的加工，學(xué)生很容易實(shí)現(xiàn)由“圖”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，于是抽象就進(jìn)入下一個(gè)階段.

二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維，以完成數(shù)量抽象. 數(shù)量抽象不只是完成由“圖”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，還需要尋求數(shù)量之間的關(guān)系，尤其是對于數(shù)列概念的建構(gòu)而言，只有發(fā)現(xiàn)數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)列概念才有可能形成. 如圖1之中，得到的數(shù)是“1，3，6， 10，…”，那么這些數(shù)之間的關(guān)系是什么？這才是數(shù)量抽象這一環(huán)節(jié)的本質(zhì). 這個(gè)過程中，學(xué)生的思維很難一下子邏輯化，因?yàn)閷W(xué)生一下子發(fā)現(xiàn)不了這些數(shù)字之間的邏輯關(guān)系，因此學(xué)生的思維必然要試錯(cuò)，即猜想基礎(chǔ)上的判斷. 如有學(xué)生認(rèn)為3是1+2的結(jié)果，而6是3+3的結(jié)果，10則是6+4的結(jié)果，于是規(guī)律就若隱若現(xiàn)，探究也就進(jìn)一步深入……隨著探究的深入，抽象的水平其實(shí)也就越來越高，數(shù)量抽象同樣也就越來越充分.

三是概念抽象過程中完成數(shù)列概念的建立. 如同上面所說的一樣，數(shù)列概念建立的關(guān)鍵是“一定順序”的理解，這個(gè)理解實(shí)際上是建立在上述數(shù)量抽象的基礎(chǔ)之上的，但在建立概念的時(shí)候，要進(jìn)行一定程度上的變式，要讓學(xué)生對“按一定順序排列著的一列數(shù)”產(chǎn)生非常直觀的感覺，這是概念建立的認(rèn)知基礎(chǔ).

事實(shí)證明，通過上述教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施，學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識是深刻的，所理解的數(shù)列概念，可以支撐起后續(xù)知識的學(xué)習(xí).

基于數(shù)學(xué)抽象研究教育理論

筆者一直認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)教學(xué)作為一門具有高度重要性的基礎(chǔ)性學(xué)科，擔(dān)負(fù)著發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要作用. 對于這門學(xué)科的教學(xué)，不能只滿足于應(yīng)試，不能只從分?jǐn)?shù)這一個(gè)角度去判斷自己的教學(xué)過程. 核心素養(yǎng)雖然與考試評價(jià)分屬學(xué)生的當(dāng)前與未來兩個(gè)維度，但是數(shù)學(xué)教師就是要同時(shí)關(guān)注學(xué)生當(dāng)下與未來的發(fā)展，而要做到這一點(diǎn)，除了日常教學(xué)中積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)之外，還需要進(jìn)行必要的理論研究.

從數(shù)學(xué)抽象的背景、產(chǎn)生、內(nèi)容、方法和形式等方面探討數(shù)學(xué)抽象活動(dòng)的過程與結(jié)果、形式與實(shí)質(zhì)之間的思辨關(guān)系是深化數(shù)學(xué)教育理論研究的需要. 筆者以為，作為一線數(shù)學(xué)教師，要研究的更多的理論應(yīng)當(dāng)是符合當(dāng)下學(xué)生成長需要的（如核心素養(yǎng)理論），同時(shí)是對學(xué)生的學(xué)業(yè)的成績有發(fā)展、有促進(jìn)作用的，如見之于常見教育期刊上的同行文章等. 認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象研究，就是筆者在這一思路下進(jìn)行的初步嘗試. 實(shí)踐之后發(fā)現(xiàn)，雖然整個(gè)認(rèn)知理論比較繁雜，但從中選擇最基本的部分，來解釋高中數(shù)學(xué)教學(xué)，還是非常恰當(dāng)?shù)?，尤其是對?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素研究，都能夠帶來新的啟發(fā). 認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象研究是筆者進(jìn)行的第一個(gè)研究，后面筆者還將繼續(xù)努力.