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    “創(chuàng)新?運算素養(yǎng)”視角下一道初三數(shù)學題的深入探究

    2020-10-20 07:14馬向玲
    教育周報·教研版 2020年38期
    關(guān)鍵詞:最值問題二次函數(shù)

    馬向玲

    摘要:二次函數(shù)壓軸題是歷年中考的熱點與難點,其中動點與幾何圖形結(jié)合的最值問題?存在性問題,知識覆蓋面廣,綜合性強,構(gòu)思精巧,解題方法靈活,對學生分析問題和解決問題的能力要求較高,是近幾年中考的熱點。最值問題解決策略是建立函數(shù)模型,根據(jù)自變量范圍求解最值;存在性問題解決的一般思路:假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論,解決此類問題策略是化動為靜,化大為小,逐一解決的過程。

    關(guān)鍵詞:二次函數(shù)? 最值問題? 存在性問題

    函數(shù)是中學數(shù)學中相當重要的一部分內(nèi)容,其中求函數(shù)的最值問題和存在性問題是一個重點,但由于函數(shù)形式的多樣性和復(fù)雜性,如何求解函數(shù)的存在性問題又是中學生學習的一個難點。因此關(guān)于此項內(nèi)容的研究一直就是本學科的一個重點內(nèi)容。

    《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011)版》提出10個數(shù)學核心素養(yǎng),包括符號意識,數(shù)感,幾何直觀,運算能力,推理能力,數(shù)據(jù)分析觀念,空間觀念,模型思想,應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。在數(shù)學教學中,一題多解,變式訓練都是培養(yǎng)學生創(chuàng)新素養(yǎng)的方式。本文著重討論一個典型的二次函數(shù)最值和存在性問題,通過變式訓練?邏輯歸納和靈活運算,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新?運算素養(yǎng),達到綜合提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的目標。

    一?中考解讀

    二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容,難度高,綜合性強,既可以與代數(shù)知識相結(jié)合,又可以與幾何知識相結(jié)合,與幾何相關(guān)的二次函數(shù)最值和存在性問題更是重中之重,該類存在性問題主要有線段存在性?面積存在性?特殊三角形存在性?相似三角形存在性?特殊四邊形存在性和角的存在性等問題,在這里精選典型例題有選擇地針對某些方面進行深入探究。

    二?典例分析

    題目:如圖,拋物線y=-x2+bx+cx軸交于A(4,0),B(-1,0)兩點與y軸交于點C,動點P在拋物線上.①求拋物線的解析式;②若點P是第一象限拋物線上一動點,過P作X軸的垂線,垂足為點E,交直線AC于點F,當線段PF有最大值時,求點P的坐標,并求出線段PF的最大值。③是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,說明理由.

    分析如下:①待定系數(shù)法求解析式。將已知點A(4,0),B(-1,0)坐標帶入拋物線y=-x2+bx+c,得到關(guān)于b,c的二元一次方程組,解方程組得到b,c的值,從而得到拋物線解析式y(tǒng)=-x2+3x+4;②由(1)得點C(0,4),再由點A(4,0),待定系數(shù)法求得直線AC解析式,根據(jù)拋物線解析式y(tǒng)=-x2+3x+4,設(shè)點P(x,-x2+3x+4),,點F(x,-x+4),根據(jù)題意PF=(-x2+3x+4)-(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2 +4(0≤x≤4),當x=2時,PF最大值=4,則P(2,6)

    挖掘變式1:當點P是拋物線上任意一點時,過P作X軸的垂線,垂足為點E,交直線AC于點F,當線段PF有最大值時,求點P的坐標,并求出線段PF的最值?

    分類討論:設(shè)點P(x,-x2+3x+4),,點F(x,-x+4);當點P在點F上方時,PF=(-x2+3x+4)-(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2 +4(0≤x≤4);當x=2時,PF最大值=4;當點P在點F下方時,PF=(-x+4)-(-x2+3x+4)=x2-4x=(x-2)2 -4;當x=2時,PF最小值=-4,挖掘變式2:對稱軸上一動點P到點C,B的距離之和最短。求點P的坐標?(最短路徑解決)(3)存在.

    方法一:第一種情況,當以點C為直角頂點時,過點C作CP1垂直AC,交拋物線于點P1.過點P1作y軸的垂線,垂足是M,∵∠ACP1=900,∴∠MCP+∠ACO=900,∵∠ACO+∠OAC=900 ,∴∠MCP1=∠OAC,∵OA=OC=4,∴∠MCP1=∠OAC=450,∴∠MCP1=∠MP1C,MC=MP1,設(shè)P(m,-m2+3m+4),則m=-m2+3m+4-4,解得m1=0(舍去),m2=2,∴m=2,此時-m2+3m+4=6,即p1的坐標是(2,6)

    第二種情況,當點A為直角頂點時,過點A作AP2⊥AC交拋物線于點p2,過點P2作y軸的垂線,垂足是N,AP交y軸于點F,則P2N平行x軸.∵∠CAO=450,∴∠OAP2=45.,AO=OF,∴P2N=NF,設(shè)P2(n,-n2+3n+4),

    則-n+4=-(-n2+3n+4),解得:n1=-2,n2=4(舍去),∴n=-2,此時-n2+3n+4=-6,即P2的坐標是(-2,-6),綜上所述:P的坐標是(2,6)或(-2,-6)此方法用分類討論的數(shù)學思想,通過作垂線,借助已知條件,構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形兩邊相等特質(zhì)建立方程模型解決問題。這是學生常用的方法,在這里對學生思路的啟發(fā)是重點。

    方法二:直線AC解析式:y=-x+4,∵AC為直角三角形的直角邊,則設(shè)另一條直角邊PC為:y=x+k,過點C(0,4);即直線PC:y=x+4,又點P既在直線AC上,又在拋物線上聯(lián)立方程組:,解得x=0(舍去), x=2即p(2,6),同理直線PA:y=x-4與拋物線解析式聯(lián)立方程組,求解得P(-2,-6),綜上所述:P的坐標是(2,6)或(-2,-6),此方法在明確一次函數(shù)和二次函數(shù)與方程的關(guān)系的基礎(chǔ)上,建立方程組模型解決問題。該方法思路簡單,直接明了,重在計算。

    挖掘變式3:拋物線上是否存在點P,滿足三角形PCA是直角三角形?存在,求點P坐標;不存在,請說明理由。

    挖掘變式4:拋物線上是否存在點P,滿足三角形PCA是等腰三角形?存在,求點P坐標;不存在,請說明理由。

    三?思考總結(jié)

    通過對這道二次函數(shù)重點題型的最值和存在性問題的深入剖析,充分挖掘,歸納方法:二次函數(shù)最值問題解決方法是可以建立二次函數(shù)模型,根據(jù)自變量的取值范圍輕松求解;二次函數(shù)存在性問題解決的一般思路是“假設(shè)存在→推理論證→得出結(jié)論”,解決此類問題策略是化動為靜,化大為小,逐一解決的過程。

    通過對這道二次函數(shù)重點題型的最值和存在性問題的一步步探索,使學生親身經(jīng)歷探索知識和函數(shù)建模的思維過程。通過數(shù)形結(jié)合?分類討論思想地洗禮,使學生解題的思維靈活性與深刻性得到深刻的鍛煉,使學生的數(shù)學創(chuàng)新素養(yǎng)與運算素養(yǎng)得到無形的提升。

    二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容,也是初高中數(shù)學知識銜接的重要內(nèi)容,二次函數(shù)已經(jīng)成為中考命題的重頭戲。尤其是這些以二次函數(shù)為背景的動點最值問題?存在性問題,它融合了一次函數(shù)?平面幾何等知識點,綜合性較強,區(qū)分度高,受到命題組的一致青睞。因此通過典例訓練,能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學能力,提高學生數(shù)學成績,提升學生創(chuàng)新素養(yǎng)和運算素養(yǎng),提升學生整體數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

    參考文獻:

    (1)王真.二次函數(shù)壓軸題解題策略.中考數(shù)學試題研究.[J],2018(02)

    (2)李遠翠,潘亦寧,李玥.二次函數(shù)動點存在性問題的破解策略[J].中學數(shù)學教學參考,2016(1)

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