強(qiáng)化幾種意識(shí) 破解向量最值問題

郭建華+于健

摘 要：學(xué)生遇到較靈活的向量最值問題時(shí)還是會(huì)出現(xiàn)思維受阻的情況.教師在教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)化六種意識(shí)，幫助學(xué)生形成向量解題意識(shí)，突破向量最值問題的解題“瓶頸”.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉向量最值問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生進(jìn)一步理解和把握變量分離法、數(shù)形結(jié)合方法（基于幾何表示的幾何法，基于坐標(biāo)表示的代數(shù)法）、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的實(shí)質(zhì)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維能力.

關(guān)鍵詞：意識(shí)；向量；最值問題

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種有效工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.平面向量是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)之一，特別是與最值相關(guān)的題目，更是備受命題者的關(guān)注. 其設(shè)計(jì)精巧、入口寬、解法靈活，可有效考查學(xué)生用向量的語言和方法表述和解決一些問題，同時(shí)也發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力以及分析問題、解決問題的能力.但學(xué)生遇到較靈活的向量最值問題時(shí)還是不知所措，思維受阻，錯(cuò)誤率高.筆者認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的“幾種意識(shí)”，讓學(xué)生形成“向量思想”，以此突破向量最值問題.下面筆者試舉例加以分析.

一、 “坐標(biāo)”意識(shí)

所謂“坐標(biāo)”意識(shí)，是指通過構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將向量改用坐標(biāo)表示，將要求解的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理的一種思維方式. “坐標(biāo)法”是解決向量問題的一條重要途徑，依據(jù)題設(shè)條件中所給的等邊三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，很容易想到建立直角坐標(biāo)系求解.其優(yōu)點(diǎn)是思維方式比較“固定”，學(xué)生很容易掌握[1]3.關(guān)鍵是合理建立直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo). 特別是處理與向量相關(guān)的最值問題時(shí)，若利用向量和函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解使得運(yùn)算復(fù)雜，解題過程較煩瑣時(shí)，則可以考慮用“坐標(biāo)法”來嘗試一下，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果.

評(píng)析 充分利用平面幾何圖形的幾何特征，恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，將幾何問題坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，突出了問題求解的通性通法.通過引入?yún)?shù)和坐標(biāo)運(yùn)算，立即得目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.這樣求解可以大大降低思維難度，同時(shí)也能起到化難為易的效果.

二、“基底”意識(shí)

所謂“基底”意識(shí)，是指有預(yù)見性地選擇適當(dāng)?shù)摹盎住?，并用“基底”來表示有關(guān)向量，以實(shí)現(xiàn)化歸的一種思維方式.“基底”意識(shí)的本質(zhì)是平面向量基本定理的靈活運(yùn)用，難點(diǎn)是如何選擇“基底”有利于簡化運(yùn)算[1]4.對(duì)于處理與向量相關(guān)的最值問題時(shí)，適當(dāng)選擇基底，將未知向量用基底表示，再進(jìn)行線性運(yùn)算，將幾何問題代數(shù)化，會(huì)使復(fù)雜問題簡單化.

三、“投影”意識(shí)

所謂“投影”意識(shí)，是指能自覺運(yùn)用向量的“投影”來解決實(shí)際問題的一種思維方式.其 實(shí)，它是對(duì)向量數(shù)量積本質(zhì)的理解和把握.向量的數(shù)量積是向量知識(shí)中非常重要的核心知識(shí)，但許多學(xué)生對(duì)它的掌握往往只停留在膚淺運(yùn)用的層面，只會(huì)機(jī)械地套用公式[1]1，缺乏對(duì)公式中隱含的“本質(zhì)信息”——向量“投影”的意義和價(jià)值的認(rèn)識(shí).要想讓學(xué)生較深刻地理解和把握向量數(shù)量積的概念，必須強(qiáng)調(diào)對(duì)向量“投影”概念的理解與應(yīng)用.即讓學(xué)生理解數(shù)量積a· b的幾何意義：數(shù)量積a· b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影 |b|cosθ的乘積.利用投影意識(shí)處理與向量相關(guān)的最值問題，則可以回避煩瑣的代數(shù)運(yùn)算.

四、“構(gòu)造”意識(shí)

“構(gòu)造”法解題對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，是指通過對(duì)試題結(jié)構(gòu)特征的分析，聯(lián)想以前做過的熟悉的題型，對(duì)原題進(jìn)行重組、推廣、替換等，使其變成一個(gè)情景新穎、處理方法常規(guī)的問題.所謂向量中的“構(gòu)造”意識(shí)，是指在一個(gè)含有向量關(guān)系的等式兩邊同時(shí)“點(diǎn)乘”一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆橇阆蛄?，把含有向量關(guān)系的等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，“點(diǎn)積”的對(duì)象要依據(jù)題意適當(dāng)?shù)倪x擇，才能達(dá)到求解的目的.因此，加強(qiáng)“構(gòu)造”意識(shí)的培養(yǎng)可以提升學(xué)生思維的廣闊性和解題的靈活性.

評(píng)析 抓住要求解的目標(biāo)，利用向量數(shù)量積將題設(shè)中向量等式“量化”，讓目標(biāo)中x，y的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征凸顯出來，使得解題具有思路清晰、方法簡捷、趣味性強(qiáng)等特點(diǎn).加強(qiáng)這種解題意識(shí)的培養(yǎng)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性大有益處.

五、“幾何”意識(shí)

六、“特殊”意識(shí)

所謂“特殊”意識(shí)，是指當(dāng)已知條件中含有某些不確定的量，但結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值（或特殊角、圖形的特殊位置、特殊點(diǎn)、特殊模型等）進(jìn)行處理，從而得出探求結(jié)論的一種思維方式.特別是對(duì)于求解與向量相關(guān)的最值問題，這樣可大大地簡化推理、論證的過程，加強(qiáng)“特殊”意識(shí)解題，對(duì)提升學(xué)生的解題速度和準(zhǔn)確度有一定的幫助.

評(píng)析 結(jié)合已知條件，將已知圖形特殊化為直角梯形，題目就顯得更容易解決了.

學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生將信息與頭腦中的已有信息重新整合、建構(gòu)的過程.對(duì)于求解與向量相關(guān)的最值問題，平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要抓住題目的本質(zhì)和特征，引導(dǎo)學(xué)生展開積極的思維活動(dòng)，尋找問題解決的突破口、切入點(diǎn)，更應(yīng)該拓展學(xué)生思維的廣度和深度，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，真正做到既知其一更知其二，最終揭示問題的本質(zhì).只要不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，形成“向量思想”，多角度審視問題，便會(huì)使問題迎刃而解.

參考文獻(xiàn)：

[1]盧明.平面向量復(fù)習(xí)要強(qiáng)化“五種意識(shí)”的培養(yǎng)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（4）.

[2]郭建華，孫西洋.重視借題“發(fā)揮” 提高學(xué)生學(xué)習(xí)效能[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2015（12）：7.