論數(shù)學(xué)解題反思的實(shí)踐路徑

鄭麗兵

[摘? 要] 解題反思是解題領(lǐng)域中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，不僅關(guān)系到理解性學(xué)習(xí)的開(kāi)展，而且關(guān)系到數(shù)學(xué)解題能力和解題技巧的及時(shí)提煉與總結(jié)，同時(shí)對(duì)學(xué)生思維靈活性和多向性的培養(yǎng)也具有非常重要的意義. 在解題后，學(xué)生需從題目特征、題目條件、解題過(guò)程、解題方法、解題錯(cuò)誤和解題結(jié)論等角度著手，通過(guò)不斷反思彌補(bǔ)知識(shí)的“不足”和思維的“欠缺”，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的高效性. 文章對(duì)解題反思的具體路徑進(jìn)行探究.

[關(guān)鍵詞] 解題反思;解題方法;解題錯(cuò)誤;解題結(jié)論

所謂的“解題反思”，就是對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的“再認(rèn)識(shí)”，對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的“再記憶”，對(duì)解題方法和技巧的“再思考”. 它可以幫助學(xué)生對(duì)解題過(guò)程實(shí)施深層次的再思考，有利于學(xué)生解題規(guī)律和解題技巧的及時(shí)總結(jié)和提煉，有助于學(xué)生思維靈活性和多向性的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生自身解題能力的提升具有非常重要的意義，從而實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的高效化，并達(dá)到教學(xué)相長(zhǎng)的目的.

高中生受認(rèn)知水平的影響，呈現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的不求甚解，尤其鐘情于大量的習(xí)題練習(xí)，在解題過(guò)程中常常表現(xiàn)出思維策略的缺失，解題時(shí)不加思索地隨性選擇方法和策略，更不善于去進(jìn)行題后反思和方法概括，忽視了提高解題能力的核心環(huán)節(jié)，從而導(dǎo)致了知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性缺失. 因此，教師需針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生回顧和評(píng)價(jià)解題方法和過(guò)程，并對(duì)解題的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生在不斷反思中彌補(bǔ)知識(shí)的“不足”以及思維的“欠缺”，從而實(shí)現(xiàn)思維的拓寬和優(yōu)化. 那么，需要反思什么呢？筆者認(rèn)為，可以從以下角度著手.

一思題目特征

在解題后，對(duì)題目所涉及知識(shí)進(jìn)行反思，可以有效提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力;對(duì)題目中所涉及能力要求進(jìn)行反思，可以強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)能力的再認(rèn)識(shí)和再提升. 通過(guò)透過(guò)題目表象而進(jìn)行的深入思考，可以深化學(xué)生對(duì)題目特征的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到培養(yǎng)思維深刻性的目的.

例1：已知異面直線a和b所成角60°，定點(diǎn)P在空間內(nèi)，那么過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線有且僅有（? ）

A. 1條? B. 2條

C. 3條 D. 4條

分析：從“異面直線所成角”的概念出發(fā)，本題可以過(guò)點(diǎn)P作a和b的平行線a′和b′，那么過(guò)點(diǎn)P的直線l和a′，b′所成角也就等價(jià)于直線l和a，b所成角.分析不難得出直線l和a′，b′所成角是60°的直線有3條，故本題選C. 從本題的特征著手，可以更替題設(shè)中的“60°”，并借助反思來(lái)引領(lǐng)學(xué)生的思維.

反思1：若將題設(shè)中的“過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“20°”，其余條件均不變，那么答案應(yīng)是（? ）？搖

反思2：若將題設(shè)中的“過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“30°”，其余條件均不變，那么答案應(yīng)是（? ）

反思3：若將題設(shè)中的“過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“45°”，其余條件均不變，那么答案應(yīng)是（? ）

反思4：若將題設(shè)中的“過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“75°”，其余均條件不變，那么答案應(yīng)是（? ）

反思5：若將題設(shè)中的“過(guò)點(diǎn)P與a，b所成角都為60°的直線”中的“60°”改為“90°”，其余條件均不變，那么答案應(yīng)是（? ）

二思題目條件

在完善解題后，可以對(duì)題目的條件多方位地進(jìn)行反思，從而開(kāi)辟新的思維途徑.數(shù)學(xué)知識(shí)間縱橫交錯(cuò)，解題思路也是千變?nèi)f化的，通過(guò)解題后對(duì)題目條件的深入反思，去探求一題多解，尋求最優(yōu)解法;又或是實(shí)施變式題組，有效溝通知識(shí)，不斷權(quán)衡解法的優(yōu)劣，開(kāi)辟新的解題思路，把握解題的規(guī)律，實(shí)現(xiàn)高層次上創(chuàng)造性學(xué)習(xí)的新路徑.

例2：已知sin（α+β）=1，證明：sin（2α+β）=sinβ.

證明：因?yàn)閟in（α+β）=1，則有α+β=2kπ+■，α=2kπ+■-β，sin（2α+β）=sin（4kπ+π-β）=sinβ.

反思1：據(jù)sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，則有sin（2α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=sinβ.

反思2：據(jù)sin（α+β）=1，可得cos（α+β）=0，sin（2α+β）-sinβ=2cos（α+β）sinα=0，所以sin（2α+β）=sinβ.

例3：已知拋物線y2=2px（p>0），過(guò)頂點(diǎn)O作弦OA和OB，與拋物線交于點(diǎn)A，B，使得kOAkOB=-1，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn).

本題難度較小，學(xué)生解答起來(lái)問(wèn)題不大，在成功解答后，可以進(jìn)一步反思題設(shè)，并得出以下變式題組.

變式1：將原題中的“點(diǎn)O”變換為“過(guò)拋物線上任一點(diǎn)P（x0，y0）作兩條相互垂直的弦PA和PB”，那么直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？

變式2：將原題中的條件變換為“過(guò)拋物線頂點(diǎn)O作弦OA和OB，使得kOAkOB=m，且m為非零常數(shù)”，那么直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？

變式3：一般化地將原題條件變換為“過(guò)拋物線上任一點(diǎn)P（x0，y0）作兩條相互垂直的弦PA和PB，使得kOAkOB=m，且m為非零常數(shù)”，那么直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？

三思解題過(guò)程

反思解題過(guò)程，也就是反思解題策略和思路，其內(nèi)容有解題方法運(yùn)用的優(yōu)劣性以及解題過(guò)程中思維困頓之處，通過(guò)反思不斷質(zhì)疑、不斷糾錯(cuò)、不斷改進(jìn)、不斷完善，從而讓解題過(guò)程最優(yōu)化.

例4：設(shè)函數(shù)f（x）=a+■，g（x）=■x+1，當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，有f（x）≤g（x）恒成立，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：據(jù)f（x）≤g（x），可得a+■≤■x+1，將參數(shù)a分離，得出a≤-■+■x+1. 令h（x）=-■+■x+1，則有h′（x）=■+■.

令h′（x）=■+■=0，則有x1= -■（舍去）或x2=-■，當(dāng)x∈-4，-■時(shí)，h′（x）<0;當(dāng)x∈-■，0時(shí)，h′（x）>0.所以當(dāng)x=-■時(shí)，h（x）取得最小值-5，a≤-5.

反思：通過(guò)反思此題的解題過(guò)程，發(fā)現(xiàn)a+■≤■x+1還可以轉(zhuǎn)化為■≤■x+1-a. 設(shè)y1=■，y2=■x+1-a，如圖1所示，函數(shù)y1的圖像為半圓（x+2）2+y2=4（y≥0），函數(shù)y2的圖像為斜率是■且縱截距是1-a的系列直線，經(jīng)過(guò)分析不難得出半圓相切直線所對(duì)截距是6.又■≤■x+1-a恒成立，也就是說(shuō)y2的圖像在y1的上方，所以1-a≥6，所以a≤-5.

四思解題方法

解完一道題目后，還需不斷反思學(xué)習(xí)的過(guò)程，總結(jié)和回顧自身的思維策略，并反思自身解題的方法，通過(guò)多層次、多角度和多方位的觀察、思考和聯(lián)想，找尋出解題的最優(yōu)方法，并關(guān)注解題方法的歸類和演變，最終實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用.

例5：求函數(shù)y=■+■的最大值.

解：設(shè)m=■，n=■，則有m+n=y=2×■. 由此可得，m，■，n成等差數(shù)列，若設(shè)公差d，則有m=■-d，n=■+d. 因?yàn)閙2+2n2=5，所以■-d■+2■+d■=5，即3y2+4yd+12d2-20=0，則12d2+4yd+（3y2-20）=0.

關(guān)于d的二次方程有解，據(jù)Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

反思：以上解題方法中“m+n=y=2×■，可得m，■，n成等差數(shù)列”這一思路的形成難度較大.而將參數(shù)m與n引入后，則可以借助消元生成新的解題方法：

解：設(shè)m=■，n=■，有y=m+n，消除變量x，可得m2+2n2=5，再代入m=y-n，可得3n2-2yn+y2-5=0，關(guān)于n的二次方程有解，據(jù)Δ≥0，可得y2≤■，故ymax=■.

五思解題錯(cuò)誤

學(xué)生在解題過(guò)程中由于知識(shí)層面的“缺陷”，或是能力上的欠缺，又或是受非智力因素的影響，可能會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤. 因此，教師需適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、反思、總結(jié)和整理，實(shí)現(xiàn)錯(cuò)誤資源的再利用和再開(kāi)發(fā)，以提升解析錯(cuò)誤的能力，從而為正確解題思路指明方向，培養(yǎng)學(xué)生的批判思維能力及創(chuàng)新素質(zhì).

例6：已知函數(shù)y=log■（x2-mx-m）在區(qū)間-∞，-■上為增函數(shù)，試求出m的取值范圍.

錯(cuò)解：設(shè)y=log■t，t（x）=x2-mx-m，即為t（x）在區(qū)間-∞，-■上為減函數(shù)，而t（x）為二次函數(shù)，其圖像對(duì)稱軸的方程為x■=■，則有■≥-■，且Δ=m2+4m<0，可得m∈[-1，0）.

反思：形成以上錯(cuò)解的根源在于函數(shù)定義域的模糊，而顯然題目中區(qū)間-∞，-■為定義域子集，則可以看出上述解答的不完整，還需增加t-■=-■■-m-■-m>0，即m<■，綜上所述，m∈-1，■.

六思解題結(jié)論

解題后，應(yīng)對(duì)結(jié)論進(jìn)行再思考，培養(yǎng)自身思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，并進(jìn)行力所能及的推廣和引申，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，培養(yǎng)勇于猜想和驗(yàn)證的探究能力，激發(fā)創(chuàng)造新思維.

例7：已知等差數(shù)列{an}中，有a1>0，Sn是前n項(xiàng)的和，且S9=S17，當(dāng)n的值為多少時(shí)，該數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和最大？

解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差是d，據(jù)S9=S17，得出a1=-■d，則有an=n-■d.因?yàn)閍1>0，所以當(dāng)an≥0;an+1<0時(shí)，該數(shù)列前n項(xiàng)的和最大，解得n∈■，■. 又n∈N*，所以n=13.

反思：以上解題方法中可以看出13剛好為9，17的算術(shù)平均數(shù)，據(jù)題意d<0，那么Sn則為n的二次函數(shù)，點(diǎn)（n，Sn）在開(kāi)口向下的拋物線上，對(duì)稱軸方程為n=13∈N*，所以n=13時(shí)，Sn最大.

總之，題后反思是很有必要的. 注重題后反思可以提升數(shù)學(xué)意識(shí)，可以有效培養(yǎng)優(yōu)良的思維品質(zhì)，可以促進(jìn)“雙基”的掌握，可以強(qiáng)化知識(shí)的正遷移，從而事半功倍地提升教學(xué)效益.