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    借助互聯(lián)網(wǎng)教學,讓數(shù)學建模課乘風飛翔

    2020-09-26 11:16:35孫曉紅
    數(shù)學教學通訊·高中版 2020年5期
    關鍵詞:三角函數(shù)數(shù)學建模互聯(lián)網(wǎng)

    孫曉紅

    [摘? 要] 數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng).如何讓數(shù)學建模課在數(shù)學課堂落地生根,是我們一線教師亟待解決的問題. 利用互聯(lián)網(wǎng)+教學,可在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行數(shù)學建模教學.文章以《生活中的三角函數(shù)》的教學設計為例,對數(shù)學建模進行深入探討.

    [關鍵詞] 互聯(lián)網(wǎng)+教學;數(shù)學建模;三角函數(shù)

    ?搖為促進創(chuàng)新人才素質培養(yǎng),青島二中2014年9月開始實施互聯(lián)網(wǎng)+教學改革,開展基于學習任務單的課前自主學習,培養(yǎng)學生自主學習能力;開展基于學習社區(qū)的學習,培養(yǎng)學生合作學習能力.在學習過程中,按照學生興趣、特點,建立高效、互補的學習社區(qū),開展課上、課下的合作學習,逐步形成了“生學為本、合作內(nèi)化、師教為要、點撥升華”的互聯(lián)網(wǎng)+教學原則. 這樣的教學方式使學生從傳統(tǒng)教學中知識的被動接受者,轉變?yōu)橹R的主動學習積極獲取者,轉變?yōu)榛趯W習社區(qū)的小組合作學習者,轉變?yōu)檎n堂上基于重點問題展開的教學活動的參與研討者,充分體現(xiàn)了學習者的主體地位. 借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學模式,大大提升了學生的學習興趣,提高了教學效率.以下是高中數(shù)學人教B版必修四第一章《三角函數(shù)》最后一節(jié)“三角函數(shù)模型的簡單應用”,以往教學都是以例題的形式,展現(xiàn)三角函數(shù)的簡單應用,突出三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的一種數(shù)學模型,其在刻畫周期變化規(guī)律、頂測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 同時,也體現(xiàn)化歸轉化、方程與函數(shù)、數(shù)形結合等思想方法在研究解決問題中的作用. 教師在教學中也經(jīng)常是以例題的形式,層層引入,讓學生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)模型來源于生活、為生活解決實際問題的工具性作用.但這種教學方式對于學生還是被動接受,主動探究的意識不強,對培養(yǎng)數(shù)學建模的思想不夠完善. 筆者的教學設計是變被動為主動,讓學生提前一周查閱資料,查找相關的資源,以小組自主探究、合作學習的模式發(fā)現(xiàn)生活中的三角函數(shù),通過生活中周期性變化的事例大膽猜想其與三角函數(shù)的關系、建立三角函數(shù)模型、把求三角函數(shù)解析式的題型放在生活實例中、預測未來的發(fā)展趨勢,并同時教給學生數(shù)學建模的方法. 教學中,筆者讓學生做課堂的主人,提升學生的學科核心素養(yǎng). 以下是本節(jié)課的具體教學設計環(huán)節(jié).

    環(huán)節(jié)一:課前教學設計

    (一)提前一周的學生活動

    按照五個教學班把學生分成五組,以“生活中的三角函數(shù)”為課題查找材料,選出組長、確定主講人,學生借助互聯(lián)網(wǎng)查找資料,制作PPT或視頻、文件材料,做好課上交流的準備.

    教師活動:及時監(jiān)督、指導學生活動的進度、內(nèi)容、分工和輔導學生發(fā)言及研究工作.

    設計意圖:前面對三角函數(shù)的定義、圖像和性質的學習是純數(shù)學知識,三角函數(shù)來源于生活、服務于生活的理念學生并不知曉,為了調動學生的學習興趣和學習積極性,讓學生自己發(fā)現(xiàn)、挖掘、猜想和應用生活中的三角函數(shù),大大提高了學生的參與度和學習興趣,為數(shù)學建模做好鋪墊.

    (二)上課前一晚的教學活動

    通過PAD給學生發(fā)自主學習任務單,學生獨立完成,教師及時批閱.以下是自主學習任務單的具體內(nèi)容:

    1. 函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖像與性質

    (1)圖像的畫法:“五點法”和圖像變換法.

    (2)定義域:_______________.

    (3)值域:________________,當x=_______________(k∈Z)時,f(x)取最大值A+B;當x=_______________(k∈Z)時,f(x)取最小值-A+B.

    思考:如何用f(x)■和f(x)■求A和B的值?

    (4)周期:T=_______________.

    (5)奇偶性:當且僅當φ=kπ(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)是_________函數(shù);當且僅當φ=kπ+■(k∈Z)時,函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)是__________函數(shù).

    (6)單調性:單調遞增區(qū)間是每一個____________;單調遞減區(qū)間是每一個_________.

    (7)對稱性:函數(shù)圖像與直線y=B的交點是對稱中心,即對稱中心是_________,對稱軸與函數(shù)圖像的交點的縱坐標是函數(shù)的最值,即對稱軸是直線________.

    2. f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,φ<■)的圖像如圖1所示.

    (1)求f(x)的解析式;

    (2)要得到y(tǒng)=sinx的圖像,只需將f(x)的圖像進行怎樣的圖像變換?

    設計意圖:復習并鞏固函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖像與性質,為本節(jié)課做好知識儲備.

    環(huán)節(jié)二:課堂教學設計

    (一)復習反饋

    對自主學習任務單的內(nèi)容進行總結性講評,學生的易錯點是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的對稱中心是■,B(k∈Z),教師強調第2題圖像變換的格式.

    (二)新課引入

    學生朗讀白居易《琵琶行》片段并配有琵琶樂曲:“低眉信手續(xù)續(xù)彈,說盡心中無限事. 輕攏慢捻抹復挑,初為《霓裳》后《六幺》. 大弦嘈嘈如急雨,小弦切切如私語. 嘈嘈切切錯雜彈,大珠小珠落玉盤. 間關鶯語花底滑,幽咽泉流冰下難. 冰泉冷澀弦凝絕,凝絕不通聲暫歇.別有幽愁暗恨生,此時無聲勝有聲……座中泣下誰最多?江州司馬青衫濕.”學生深情地朗讀完后,教師現(xiàn)場采訪該學生,師說:“你能從這首詩里感受到數(shù)學的韻律嗎?說得再貪婪些,這里有沒有三角函數(shù)的味道?”生很嚴肅地答:“絕對有!琵琶旋律由舒緩到急促再到舒緩,音調由高到低再到高,在平面直角坐標系下描繪出的就是正弦型函數(shù)的圖像.”由此引出本節(jié)課的課題《生活中的三角函數(shù)》.

    設計意圖:以詩的形式作為本節(jié)課的開篇之作,增強數(shù)學的人文素養(yǎng),最出彩的是讀詩后的師生對話,幽默而又切合主題,課堂氣氛立刻被調動起來!

    (三)開啟《生活中的三角函數(shù)》之旅

    第一組:經(jīng)濟團隊的《愛心曲線》

    學生活動:學生介紹了笛卡爾的生平簡介和主要的思想成就、心形線背后凄美的愛情故事,由此引出極坐標系下的曲線和方程的關系,并讓學生親手繪制愛心曲線,鞏固了極坐標系的相關內(nèi)容.

    教師點評:從凄美的愛情故事中我們引出了與平面直角坐標系不同的極坐標系,它在生活實際中應用非常廣泛,而且通過愛心曲線,我們發(fā)現(xiàn)極坐標系與三角函數(shù)有著非常密切的聯(lián)系. 對老師感觸最深的是笛卡爾晚上睡不著,看到蜘蛛在棚頂織網(wǎng),發(fā)明了直角坐標系,由此有了方程,然后所有的數(shù)學問題都可以歸結為代數(shù)問題,用方程來解決.教師希望學生也要有這樣的數(shù)學洞察力,把生活中的問題概括出數(shù)學模型,用數(shù)學知識得以解決.

    設計意圖:從凄美的愛情故事中讓學生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)無處不在,極坐標系雖然還沒學,但讓學生利用所學知識自主探究完全可以勝任,從笛卡爾的發(fā)明創(chuàng)造開啟了數(shù)學建模意識和思想,順利地過渡到下一組的《聲音與三角函數(shù)》模塊.

    第二組:數(shù)學微團2班的《聲音與正弦》

    學生活動:學生發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)圖像與聲音的傳播形式聲波以及產(chǎn)生的三要素高度一致,猜想物理中的聲音與數(shù)學中的三角函數(shù)有高度的相關性,學生通過查找資料、在網(wǎng)上下載視頻“聲波形成的正弦曲線”,讓學生高度感知到數(shù)理不分家,三角函數(shù)與物理中的簡諧振動、聲音的傳播、交流電等都有非常密切的聯(lián)系.

    教師點評:這個團隊的優(yōu)點是發(fā)現(xiàn)案例后,學生敢大膽地猜想,并用實驗和視頻材料加以論證,最記憶猶新的是主持人告訴筆者他的猜想,過了幾天后,他激動而又驚喜地告訴筆者,他找到了證明這個猜想的視頻材料,隨著聲音要素的改變,手龍頭下出來的水花形狀就是正弦曲線!那孩子眼中的驚喜是筆者一輩子都不會忘記的,也更加堅定了筆者要把課堂還給學生,讓學生做課堂的主人,學生的潛力無限,只有這樣才能充分地施展他們的才華!

    第三組:數(shù)學微團1班的《潮汐》

    學生活動:生活在大海邊的孩子非常有必要了解一下潮汐的概念,這其中也蘊含著三角函數(shù). 數(shù)學微團1班的主持人為學生們介紹了潮汐的概念和現(xiàn)象,并用上述知識解決了船舶進港和出港時間的數(shù)學應用問題.

    教師點評:本小組的最大優(yōu)點是利用潮汐的規(guī)律解決了船舶進港和出港時間問題,由一組數(shù)據(jù)擬合出三角函數(shù)模型,利用所學的三角函數(shù)知識解決生活實際問題,這正是數(shù)學建模和數(shù)學應用的步驟方法,本節(jié)課的教學目標被凸顯出來.

    第四組:數(shù)學微團4班的《如何設計生活中的三角函數(shù)模型》

    學生活動:本小組系統(tǒng)地概括了數(shù)學建模的方法和具體步驟,并以“關于日地之間距離的三角函數(shù)模型討論”為具體事例加以說明,并讓學生以“天安門廣場國旗升降具體時間”為課題讓學生進行數(shù)學建模,解決實際問題.

    教師點評:作為展示的最后一組,不僅引出了數(shù)學建模的案例,還教會學生數(shù)學建模的方法和步驟、需要注意的問題,本節(jié)課達到了實施教學目標的高潮!

    (四)課外延伸

    1. 自出生之日起,人的情緒、體力、智力等心理、生理狀況就呈周期變化. 根據(jù)心理學家的統(tǒng)計,人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種. 這些節(jié)律的時間周期分別為23天、28天、33天.每個節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個階段. 以上三個節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日,這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日. 臨界日的前半期為高潮期,后半期為低潮期. 生日前一天是起始位置(平衡位置),請根據(jù)自己的出生日期,繪制自己的體力、情緒和智力曲線,并總結自己在什么時候應當控制情緒,在什么時候應當鼓勵自己;在什么時候應當加強鍛煉,在什么時候應當保持體力?

    設計意圖:在人的生理和心理領域也存在著三角函數(shù),此案例實用性強,很受學生喜歡.

    2. 請撰寫一篇有關《生活中的三角函數(shù)》數(shù)學小論文.

    設計意圖:從發(fā)現(xiàn)、猜想、思考、論證、寫作出發(fā),讓學生經(jīng)歷數(shù)學建模的全部過程,培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng),讓學生終身受益.

    (五)以詩結尾,首尾呼應

    生活是正弦曲線

    有時波峰,有時波谷

    波峰時別得意忘形

    波谷時別灰心喪氣

    沒有波谷就沒有波峰

    沒有波峰亦沒有波谷

    有波谷沒有波峰人生不完美

    有波峰沒有波谷人生不完整

    善待他人,理解命運

    得意時不以物喜,失意時不以己悲

    喜憂相伴,歲月飄香

    學生活動:學生朗讀,意猶未盡,意味深長……

    設計意圖:在正弦曲線中感悟人生,教給學生做人的道理,更緊扣主題:生活中的三角函數(shù)!

    環(huán)節(jié)三:教學反思

    本節(jié)課首先凸顯學生的主體意識.在教學活動中充分發(fā)揮學生的主體作用,讓學生親自尋找生活中的三角函數(shù),通過各小組的交流學習讓學生深刻體會生活即數(shù)學的教育理念.

    首先,學生從知識的被動接受轉變?yōu)橹鲃拥膮⑴c者和積極的探索者,教師尊重學生個性,一切教學活動都應針對不同學生提供多種選擇,為不同水平的學生設置不同層次的問題,打破“一把尺子量天下的做法”. 其次,培養(yǎng)學生數(shù)學建模的思想和能力,為后續(xù)數(shù)學建模奠定基礎. 數(shù)學建模是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一,如何在課堂上培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力,值得每一位教師反思.通過本課的學習,學生掌握了數(shù)學建模的方法和步驟,數(shù)學論文的撰寫方法,提升了學生的應用意識和創(chuàng)新素養(yǎng). 再者,營造開放、平等的課堂氣氛. “開放”就是實行民主教學,給學生思考的余地和交流的機會,讓他們真正參與進來. “平等”就是師生間平等、學生間平等,讓每一位學生都能以積極的心態(tài)和舒暢的心情參與學習活動,使其個性得以張揚.教師可嘗試“互換教學角色”的課堂模式,安排一定課時,讓學生在課堂展示和講解其課外成果,教師只需現(xiàn)場提問或點評升華. 這種形式的課堂將大大調動學生的參與積極性,增強學生的學習興趣和學習樂趣. 最后,在數(shù)學課堂滲透人文氣息,加強多學科融合,對學生進行數(shù)學哲理和價值觀教育,讓課堂真正地活起來,讓學生熱愛數(shù)學,這才是教育的真諦!

    環(huán)節(jié)四:對互聯(lián)網(wǎng)+教學下的數(shù)學建模課總結與反思

    2014年青島二中開始實施的互聯(lián)網(wǎng)+教學改革大大提升了學生的自學能力、提高了課堂效率. 2017年隨著新課程改革的深入進行,青島二中數(shù)學組的老師們借助互聯(lián)網(wǎng)和PAD教學模式,使數(shù)學建模課在常規(guī)課程、選修課程、競賽課程三個層次由淺入深進行教學. 常規(guī)課程:由現(xiàn)實情境問題引入課題,在章節(jié)結束安排建模實踐案例講解和探究實踐,旨在提升學生的數(shù)學應用意識;選修課程:開設數(shù)學建模選修課,供數(shù)學MT學生選修,介紹和講解更多基于高中知識的建模案例,加深學生對數(shù)學建模環(huán)節(jié)與流程的理解,能自主發(fā)現(xiàn)問題并建模解決問題;競賽課程:組織學生參與各類數(shù)學建模競賽,提供數(shù)學建模論文寫作指導和軟件編程實踐機會,能合作解決問題并形成規(guī)范的論文. 例如函數(shù)章節(jié)的放穩(wěn)椅子問題,三角函數(shù)章節(jié)的氣溫預測問題,解三角形章節(jié)的高度測量問題,數(shù)列章節(jié)的體溫、體重預測問題,存款、貸款問題,不等式章節(jié)的洗衣服問題,立體幾何章節(jié)的3D設計問題等. 青島二中給予學生有充分的自主發(fā)展空間,利用周二周三選修課時間將數(shù)學熱情高、數(shù)學能力強的學生聚集到數(shù)學MT,團隊內(nèi)具備濃厚的數(shù)學學習氛圍.數(shù)學MT的導師們給予數(shù)學建模課程教學充分支持,同時也聘請豐富而優(yōu)質的校外教學資源,如中國海洋大學數(shù)學院和青島大學數(shù)學院的老師們給予學生建模學習的指導,學生多次參與海大的建模課程觀摩;學校建有數(shù)學建模實驗室,給學生軟件操作、合作交流提供便利條件,使得一些建模能力強興趣高的學生脫穎而出,發(fā)展了特長,為未來的專業(yè)選擇確立了方向. 近三年來有多支隊伍獲得登峰杯初賽、決賽一等獎,美國高中生數(shù)學建模比賽特等獎及特等獎入圍獎,成功舉辦了三屆全國山海杯數(shù)學建模大賽并獲得特等獎、一等獎等好成績;數(shù)學建模社獲得2017年優(yōu)秀社團榮譽稱號.

    未來之路還很長,為了學生的長遠發(fā)展,在互聯(lián)網(wǎng)+教學的助力下,數(shù)學建模課定會乘風破浪、繼續(xù)遠航!

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