淺析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類(lèi)討論思想

林金山

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行觀察、分析、比較、判斷、概括和推理的過(guò)程. 分類(lèi)討論思想作為數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)分支，具有幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，樹(shù)立正向的數(shù)學(xué)觀的作用. 文章從圖形問(wèn)題、方程問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題三個(gè)角度淺析分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞] 分類(lèi)討論思想;方程;圖形;解題

所謂的分類(lèi)討論思想是初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中常用的一種方法，主要考查學(xué)生在思考問(wèn)題過(guò)程中的嚴(yán)謹(jǐn)性、邏輯性和全面性，一般需要運(yùn)用這種方法的問(wèn)題綜合性都比較強(qiáng)，有一定難度，在試卷中常作為壓軸題. 因此，運(yùn)用此類(lèi)解題思想的問(wèn)題大多屬于區(qū)分學(xué)生層次的問(wèn)題. 分類(lèi)是指將數(shù)學(xué)現(xiàn)象的異同點(diǎn)，使用各種分類(lèi)的辦法進(jìn)行區(qū)分，學(xué)生在分類(lèi)過(guò)程中感知分類(lèi)方法及分類(lèi)思想，感悟分類(lèi)的本質(zhì)，加深對(duì)知識(shí)的理解程度，從而提高解題能力. 其中特別要注意的是分類(lèi)必須無(wú)重復(fù)、無(wú)遺漏，確?？紤]的周全.

分類(lèi)涉及面及分類(lèi)原則

想要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要有良好的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 其中分類(lèi)討論思想是數(shù)學(xué)思想中的重要思想之一，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著舉足輕重的作用. 而初中階段涉及分類(lèi)討論思想的知識(shí)點(diǎn)主要有以下三個(gè)類(lèi)別：第一是代數(shù)類(lèi)，其中的方程、絕對(duì)值和根的概念，函數(shù)部分的概念及坐標(biāo)所在象限等均有涉及;第二是幾何類(lèi)中的圖形位置及對(duì)應(yīng)關(guān)系，相似或全等類(lèi)情況;第三是代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用類(lèi)題型. 分類(lèi)過(guò)程中要遵循以下原則：一是分類(lèi)的各個(gè)部分互相獨(dú)立;二是統(tǒng)一分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn);三是分類(lèi)需逐級(jí)有序地進(jìn)行;四是常以公式、性質(zhì)或定理等條件作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn).

例析分類(lèi)討論思想的運(yùn)用

1. 應(yīng)用于幾何問(wèn)題中

幾何圖形的學(xué)習(xí)中三角形作為基本圖形，是初中數(shù)學(xué)考核的重點(diǎn)之一. 尤其是相似、等腰三角形的問(wèn)題常涉及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，以考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯能力.？搖

案例1? 如圖1，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)H.

（1）求證： = ;

（2）設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？請(qǐng)求出其最大值.

（3）當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時(shí)，該矩形EFPQ以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線QC做勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)就停止運(yùn)動(dòng)），假設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

分析? 該題的第（1）問(wèn)很簡(jiǎn)單，只需證明△AEF∽△ABC即可.

至于第（2）問(wèn)，可根據(jù)第（1）問(wèn)的結(jié)論，求出AH的長(zhǎng)度為 x，EQ=8- x，矩形EFPQ的面積就是S=x8- x，經(jīng)化簡(jiǎn)整理，可得S=- （x-5）2+20，故當(dāng)x=5時(shí)，S最大，為20.

第（3）問(wèn)的難度要更大些，可以先求出EF=5，EQ=4，證明△FPC是等腰直角三角形，得PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9. 根據(jù)實(shí)際，從以下三種情況：0≤t<4，4≤t<5，5≤t≤9進(jìn)行分類(lèi)討論. 經(jīng)討論可得以下幾種函數(shù)關(guān)系式：

當(dāng)0≤t<4時(shí)，S=- t2+20;

當(dāng)4≤t<5時(shí)，S=-4t+28;

當(dāng)5≤t≤9時(shí)，S= （t-9）2.

此類(lèi)題型都比較靈活，學(xué)生只有掌握分類(lèi)討論的思想，將三角形的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合在一起進(jìn)行思考才能獲取解題的思路.

2. 應(yīng)用于方程問(wèn)題中

方程問(wèn)題也是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，分類(lèi)討論思想一般運(yùn)用在帶參數(shù)的方程問(wèn)題中.

案例2? 關(guān)于x的方程（m-4）x2-（2m-1）x+m=0，m為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

分析? 本題沒(méi)有具體闡述實(shí)數(shù)根的情況，實(shí)數(shù)根可能有一個(gè)或兩個(gè). 因此，判斷此方程是一元一次方程還是一元二次方程是重要的一步，而判斷標(biāo)準(zhǔn)又由方程的系數(shù)來(lái)決定. 鑒于此，本題首先要分類(lèi)討論的是未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)m-4：

當(dāng)m-4=0即m=4時(shí)，方程為一元一次方程-7x+4=0，求解，得一個(gè)實(shí)數(shù)根x= ;

當(dāng)m-4≠0即m≠4時(shí)，方程是含有參數(shù)m的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，可得Δ≥0，即（2m-1）2-4（m-4）m≥0，解得m≥- .

因此，當(dāng)m≥- 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根.

由本題可見(jiàn)，含有參數(shù)的方程用分類(lèi)討論思想解題是最佳的途徑，可避免解題過(guò)程中因考慮不周全而出現(xiàn)失誤.

應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的在于為生活實(shí)際服務(wù). 怎樣利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題對(duì)于初中階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，將抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題需要從多角度全面地思考問(wèn)題. 學(xué)生的障礙主要表現(xiàn)在方案的選擇上，而分類(lèi)討論思想對(duì)解決此類(lèi)問(wèn)題有很大的幫助.

案例3? 電吹風(fēng)生產(chǎn)廠家有兩種型號(hào)的電吹風(fēng)，A種定價(jià)為200元，B種定價(jià)為40元，受疫情影響，廠家決定開(kāi)展一次促銷(xiāo)活動(dòng)來(lái)促進(jìn)消費(fèi)，經(jīng)討論后形成兩套促銷(xiāo)方案：第一種，買(mǎi)A送B;第二種，A，B兩種電吹風(fēng)都打9折，但兩種促銷(xiāo)方案只能選擇一種. 一位經(jīng)銷(xiāo)商計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)20個(gè)A種電吹風(fēng)和若干個(gè)B種電吹風(fēng)（超過(guò)20個(gè)），請(qǐng)問(wèn)他應(yīng)該選擇哪種促銷(xiāo)方案更劃算？

分析? 哪種方案更省錢(qián)跟購(gòu)買(mǎi)電吹風(fēng)的數(shù)量有關(guān)系，因?yàn)锽種電吹風(fēng)的數(shù)量是未知的，可將B種電吹風(fēng)的數(shù)量假設(shè)為x個(gè).

采用方案一所需的費(fèi)用為：200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）;

采用方案二所需的費(fèi)用為：（200×20+40x）×0.9=36x+3600（元）.

哪種方案更劃算一些，可進(jìn)行分類(lèi)討論：

若方案一劃算，40x+3200<36x+3600，解得20

若方案二劃算，40x+3200>36x+3600，解得x>100.

問(wèn)題在分類(lèi)討論中迎刃而解.

總之，分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)中運(yùn)用較多，師生只有從思想上和行動(dòng)上都高度重視這種解題思想，將它貫徹落實(shí)到各類(lèi)解題中，通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練，才能運(yùn)用自如. 用分類(lèi)討論思想驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)解題，不僅表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維能力的提升，更表現(xiàn)在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.