關(guān)于圓切線的考向例析與探究思考

顧亞平

[摘? 要] 圓切線是初中幾何的重點(diǎn)，其性質(zhì)、定理也是?？贾R(shí). 分析近幾年的中考試題會(huì)發(fā)現(xiàn)，中考試題題型靈活，考查知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的知識(shí)綜合運(yùn)用能力及思維能力有著較高的要求，所以結(jié)合考查方法對(duì)圓切線內(nèi)容加以探究有著重要的意義. 文章結(jié)合實(shí)例對(duì)幾個(gè)圓切線常見(jiàn)考查視角進(jìn)行探討，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 圓切線;考向;性質(zhì);判定;三角形;翻折

圓是初中數(shù)學(xué)的核心圖形，含有眾多的考點(diǎn)，其中與圓切線相關(guān)的定理既是中考考查的重點(diǎn)，又是幾何問(wèn)題突破的關(guān)鍵. 而切線的考查方向及視角較為多樣，下面結(jié)合實(shí)例對(duì)圓切線的考向進(jìn)行探究.

關(guān)于圓切線的考向舉例

圓切線的概念相對(duì)容易理解，但切線背后隱含了幾何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，由切線所構(gòu)成的直角更是特殊圖形形成的基礎(chǔ). 中考對(duì)圓切線的考向較多，其中有如下幾個(gè)重要方向：圓切線的計(jì)算及證明、三角形的內(nèi)切圓、切線性質(zhì)的推理與計(jì)算.

1. 切線的計(jì)算及證明

論證圓切線的關(guān)系有多種考查方式，通常有如下兩個(gè)方向：一是從動(dòng)點(diǎn)角度命題，直接考證圓運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與直線的交點(diǎn);二是從量的角度出發(fā)，偏重與圓相切時(shí)隱含的數(shù)量關(guān)系. 但無(wú)論如何命題，考查切線的判定定理這一本質(zhì)是不變的，只需要充分結(jié)合切線的判定方法來(lái)構(gòu)建思路即可.

例1? （2019年遂寧中考卷）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，直徑AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F，使DF=2OD，連接FC并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)A的切線于點(diǎn)G，且滿足AG∥BC，連接OC. 若cos∠BAC= ，BC=6.

（1）求證：∠COD=∠BAC;

（2）求⊙O的半徑OC的長(zhǎng);

（3）求證：CF是⊙O的切線.

解析? 此處主要剖析第（3）問(wèn)，證明OC⊥GF或∠OCF=90°即可. 直接進(jìn)行角度推導(dǎo)存在一定的難度，可在圖形中提取相似三角形. 已知Rt△COE，若能證明△COE與△FOC相似，即可直接推導(dǎo)出∠OCF=∠OEC=90°，即CF是⊙O的切線，過(guò)程如下.

因?yàn)镈F=2OD，所以O(shè)F=3OD=3OC. 所以 = = . 又∠COE=∠FOC，所以△COE∽△FOC. 由相似三角形的性質(zhì)可得∠OCF=∠OEC=90°. 所以CF是⊙O的切線.

評(píng)析? 切線的計(jì)算及證明，實(shí)質(zhì)就是考查圓相切關(guān)系的證明方法. 相切意味著垂直，故可通過(guò)角度推導(dǎo)和三角形邊長(zhǎng)關(guān)系分析來(lái)加以論證. 該考查方向還可以綜合三角形相似、勾股定理、三角形全等等知識(shí).

2. 三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)切圓是考查圓切線的另一特殊考向. 三角形的內(nèi)切圓與三角形的三條邊均相切，此時(shí)的圓心為三角形的內(nèi)心. 分析圖像可知，圓心到三角形三邊的距離相等，深入分析可將其與角平分線的性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，故該考向主要考查三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等.

例2? （2019年興化期末卷）如圖2，△ABC的周長(zhǎng)為20 cm，BC=6 cm，△ABC的內(nèi)切圓為⊙O，MN是⊙O的切線，MN與AB相交于點(diǎn)M，與CA相交于點(diǎn)N，則△AMN的周長(zhǎng)為_(kāi)_____.

解析? 題干設(shè)定△ABC的內(nèi)切圓為⊙O，則圓心O到△ABC三條邊的距離相等. 同時(shí)可在圖形中提取角平分線，獲得相應(yīng)的全等三角形，進(jìn)而進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化，完成△AMN的周長(zhǎng)求解，具體如下.

過(guò)點(diǎn)O分別作AB，BC，AC和MN的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，D，G，連接BO. 分析可知OF=OE，顯然BO為∠FBE的平分線，進(jìn)而可證△FBO≌△EBO. 由全等性質(zhì)可得BE=BF. 同理可得CF=CD，DN=NG，EM=GM，AD=AE. 因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為20 cm，BC=6 cm，所以可推得AE=AD=4. 所以△AMN的周長(zhǎng)=AM+AN+MN=AE+AD=8.

評(píng)析? 三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題涉及角平分線、三角形全等等知識(shí)，利用其中的等角和全等圖形可完成等線段轉(zhuǎn)化，因此，其中的周長(zhǎng)問(wèn)題實(shí)則就是等線段轉(zhuǎn)化問(wèn)題. 可見(jiàn)，理解考向的本質(zhì)是解題突破的關(guān)鍵.

3. 切線性質(zhì)的推理與計(jì)算

切線性質(zhì)的推理與計(jì)算是常見(jiàn)的考查方向，雖考點(diǎn)一般，但其中涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，通常融合了三角函數(shù)，圓周角、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，深刻理解切線的性質(zhì)，充分利用其性質(zhì)進(jìn)行關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化是問(wèn)題突破的關(guān)鍵.

例3? （2019年成都中考卷）如圖3，AB是⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，OC∥BD，弦AD，BC相交于點(diǎn)E.

（1）求證： = ;

（2）若CE=1，EB=3，求⊙O的半徑;

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥CB交⊙O于F，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)F在線段PQ上），求PQ的長(zhǎng).

解析? 上述與圓相關(guān)的問(wèn)題涉及證明弧長(zhǎng)相等、求圓半徑長(zhǎng)和求線段長(zhǎng)三大問(wèn)題，分析時(shí)需要充分利用圓的性質(zhì).

（1）等弧所對(duì)的圓周角相等，只需證明∠OBC=∠CBD即可. 由于OC=OB，所以∠OBC=∠OCB. 又OC∥BD，所以∠OCB=∠CBD. 所以∠OBC=∠CBD. 所以 = .

（2）求⊙O的半徑可先求直徑AB，連接AC，則∠ACB=90°. 分析可知BC=4，△ACE∽△BCA，由相似性質(zhì)可得 = ，則AC2=CB·CE=4. 所以AC=2. 在Rt△ACB中，由勾股定理可得AB= =2 ，所以⊙O的半徑為 .

（3）根據(jù)題干信息作圖，再過(guò)點(diǎn)O作PQ的垂線，垂足為H，如圖4. 因?yàn)镻C是⊙O的切線，所以∠PCO=90°. 所以∠PCA=∠BCO=∠CBO. 又∠CPB=∠CPA，所以△APC∽△CPB. 由相似性質(zhì)可得PC=2PA，PC2=PA·PB，所以PA= ，PO= . 分析可證△PHO∽△BCA，由相似性質(zhì)可得 = = ，可解得PH= ，OH= ，所以HQ= = . 所以PQ=PH+HQ= .

評(píng)析 上述求證弧長(zhǎng)相等及求線段長(zhǎng)，考查了切線性質(zhì)等與圓相關(guān)的知識(shí)，其中相似三角形的性質(zhì)、勾股定理是本題思路構(gòu)建的關(guān)鍵. 因此，對(duì)于圓切線的綜合性問(wèn)題，應(yīng)關(guān)注復(fù)合圖形的特點(diǎn)，充分利用特殊圖形及特殊關(guān)系來(lái)進(jìn)行線段、角度的轉(zhuǎn)化.

4. 幾何翻折與圓切線

幾何翻折是初中幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，圓切線知識(shí)也可與幾何翻折聯(lián)合起來(lái)考查. 解析時(shí)需要充分理解圖形翻折的過(guò)程，利用翻折過(guò)程中“變”與“不變”的量、圓的切線性質(zhì)來(lái)剖析圖形、構(gòu)建思路.

例4? 如圖5，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，現(xiàn)將 沿著直線BC進(jìn)行翻折，恰好 的中點(diǎn)D落在圓心O處. 連接OC，CD，BD，過(guò)點(diǎn)C的切線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，連接AD，于PB的另外一側(cè)作∠MPB=∠ADC.

（1）分析PM與⊙O的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)述理由;

（2）若PC= ，試求四邊形OCDB的面積.

解析? （1）連接DO并延長(zhǎng)交PM于點(diǎn)E. 根據(jù)折疊性質(zhì)可得OC=DC，BO=BD，又BD=CD，所以四邊形OBDC為菱形. 由菱形性質(zhì)可得OD⊥BC. 又OD=OC=OB，所以△OCD和△OBD均為等邊三角形. 所以∠COP=∠EOP=60°. 通過(guò)證明PM∥BC得到OE⊥PM，進(jìn)一步推得OE= OP，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥PC，且有OC= OP，故OC=OE，從而可判定PM是⊙O的切線.

（2）在Rt△OPC中，OC= PC=1，所以四邊形OCDB的面積=2S =2× ×12= .

評(píng)析? 本題的翻折背景中涉及圓切線的性質(zhì)，由切線中的垂直關(guān)系來(lái)構(gòu)造圖形是突破的關(guān)鍵. 綜合考查折疊、圓切線性質(zhì)、圓周角定理也是中考的重點(diǎn)考向，在復(fù)習(xí)階段應(yīng)重視對(duì)幾何知識(shí)的整合，提升解題的綜合能力.

關(guān)于圓切線考向的學(xué)習(xí)建議

1. 挖掘定理，串聯(lián)定理

圓切線的判定、性質(zhì)定理雖內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，但在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)深入挖掘定理內(nèi)涵，理解其中的知識(shí)原理，如圓與線段相切中隱含著如下特殊關(guān)系：數(shù)量關(guān)系——圓半徑與圓心到切線的距離相等，垂直關(guān)系——切線和圓心與切點(diǎn)的連線垂直. 而對(duì)于切線判定定理，則應(yīng)把握其中的條件，包括公共點(diǎn)、垂直關(guān)系等. 定理之間并不是獨(dú)立存在的，學(xué)習(xí)幾何定理時(shí)還應(yīng)聯(lián)系前后知識(shí)加以串聯(lián)，關(guān)注圓切線與角平分線性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等定理之間的聯(lián)系，建立完整的定理體系，為后續(xù)綜合問(wèn)題的突破奠定基礎(chǔ).

2. 考向綜合，技能提升

圓的性質(zhì)定理是中考的重點(diǎn)，上述例子探討了圓切線性質(zhì)定理的主要考向，其中包括基本的相切論證、線長(zhǎng)推斷，也涉及綜合性的三角形與圓內(nèi)切、翻折與圓切線. 從考查內(nèi)容來(lái)看，涉及相似性質(zhì)、全等性質(zhì)、勾股定理、角平分線性質(zhì)、三角函數(shù)、翻折特性等，這些內(nèi)容是平面幾何的核心，因此對(duì)于該部分的學(xué)習(xí)需要立足基礎(chǔ)，綜合知識(shí)，發(fā)展思維. 同時(shí)，圓切線問(wèn)題的解決離不開(kāi)輔助線，合理添加輔助線有助于挖掘圓內(nèi)特性，有利于解題思路的構(gòu)建，因此應(yīng)掌握?qǐng)A切線問(wèn)題中輔助線添加的技巧，增強(qiáng)作圖能力，促進(jìn)綜合素養(yǎng)的提升.

總之，圓切線的考向較多，充分理解定理、把握知識(shí)關(guān)聯(lián)、關(guān)注問(wèn)題類型、總結(jié)解題技巧是該內(nèi)容學(xué)習(xí)的關(guān)鍵. 另外，圓切線問(wèn)題的求解中滲透著數(shù)學(xué)思想，合理利用數(shù)形結(jié)合、模型思想、轉(zhuǎn)化思想可提高解題效率，故應(yīng)重視思想方法的學(xué)習(xí)，綜合提升解題能力.