問題引領(lǐng)模型構(gòu)建，面積轉(zhuǎn)化解法分析

卞明宇

[摘? 要] 函數(shù)背景中的面積最值問題是中考的經(jīng)典問題. 各地中考試卷中出現(xiàn)了各式的面積問題，其問題特征和解法特點(diǎn)有一定的差異，所以開展面積最值問題探討對(duì)提升學(xué)生的解題能力有極大的幫助. 文章對(duì)2019年兩道中考函數(shù)面積最值問題開展思路突破，深入分析問題及解法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);面積;對(duì)比;模型;分割法;轉(zhuǎn)化

二次函數(shù)中的三角形面積問題是近幾年中考的重要考查題型，其中涉及拋物線性質(zhì)、三角形面積、最值分析等核心知識(shí)點(diǎn). 對(duì)于不同的面積情形，所采用的面積模型構(gòu)建、轉(zhuǎn)化方式也有較大的差異，下面對(duì)兩道二次函數(shù)背景下的三角形面積問題進(jìn)行剖析.

兩道面積考題的思路突破

考題1? （2019年遵義中考數(shù)學(xué)第24題）如圖1，拋物線C1：y=x2-2x與拋物線C2：y=ax2+bx的開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)A，OA=2OB.

（1）求拋物線C2的解析式.

（2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MOC的面積最大？并求出最大面積.

思路分析? （1）拋物線C1和C2的開口大小相同、方向相反，則拋物線C2中的a=-1. 容易求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），根據(jù)OA=2OB，可推導(dǎo)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）. 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的解析式，即可求出b的值，從而確定C2的解析式.

（2）略.

（3）點(diǎn)M位于直線OC上方的拋物線C2上，求△MOC的最大面積時(shí)，可采用面積割補(bǔ)法，同時(shí)應(yīng)充分利用點(diǎn)C和點(diǎn)O的坐標(biāo)，故分割為兩個(gè)同底三角形時(shí)模型構(gòu)建較為簡潔. 即，過點(diǎn)M作y軸的平行線，與直線OC交于點(diǎn)H，則S△MOC=S△MHO +S△MHC . 代入面積公式，即可得S△MOC= ·MH·（h1+h2）（h1和h2分別表示點(diǎn)O和點(diǎn)C到直線MH的距離），而h1+h2的大小可以表示為xC-xO . 設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可構(gòu)建關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)參數(shù)的面積函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)即可確定△MOC面積的最大值. 需要注意的是，點(diǎn)M位于直線OC上方，故分析面積函數(shù)時(shí)需要考慮點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值.

過程突破? （1）分析可知a=-1，于是拋物線C2的解析式為y=-x2+bx. 容易求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），又OA=2OB，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）. 將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的解析式中，可求得b=4，所以拋物線C2的解析式為y=-x2+4x.

（2）略.

（3）可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，3）. 過點(diǎn)M作y軸的平行線，與直線OC交于點(diǎn)H，如圖2. 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x2+4x），容易求得直線OC的解析式為y=x，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x，x）. 所以MH=-x2+3x. △MOC的面積可以表示為S△MOC= ·MH·xC= ·（-x2 +3x） ·3=- x2+ x. 因?yàn)辄c(diǎn)M位于直線OC的上方，所以0

考題2? （2019年聊城中考數(shù)學(xué)第25題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC，又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于P，D，E三點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式;

（2）連接AC，AP，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得△PEA和△AOC相似的點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值.

思路分析? （1）由于點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線與x軸的交點(diǎn)，故不需要構(gòu)建復(fù)雜的三元一次方程組，可結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)將拋物線的表達(dá)式設(shè)為y=a（x+2）（x-4），然后將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，即可確定a的值，從而完成拋物線表達(dá)式的求解.

（2）略.

（3）△PFD雖為直角三角形，但其頂點(diǎn)位置較為一般，無法直接利用條件來構(gòu)建面積模型. 分析可知∠PDF=∠BDE=∠BCO，于是有△PFD∽△BOC. 利用相似三角形的面積關(guān)系可知，面積的比等于相似比的平方，因此可以通過分析△BCO的面積來確定Rt△PFD的面積. △BCO在坐標(biāo)系中的位置較為特殊，有兩邊位于坐標(biāo)軸上，可以較為簡捷地構(gòu)建面積函數(shù).

過程突破? （1）已知A（-2，0），B（4，0），所以可將拋物線的表達(dá)式設(shè)為y=a（x+2）（x-4）. 將點(diǎn)C（0，8）代入其中，可求得a=-1，化簡并整理后可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+8.

（2）略.

（3）因?yàn)椤螾DF=∠BDE=∠BCO，∠PFD=∠BOC=90°，所以△PFD∽△BOC. 所以 = 2. 所以S△PFD=S△BOC· 2，其中S△BOC= ·OB·OC=16，BC=4 . 可得S△PFD= PD2，即當(dāng)PD取得最大值時(shí)，△PFD的面積取得最大值. 由點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=-2x+8，又點(diǎn)P位于拋物線上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+8），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-2x+8）. 可得PD=-（x-2）2+4. 分析可知當(dāng)x=2時(shí)，PD取得最大值，且最大值為4，此時(shí)△PFD的面積也取得最大值，為 .

兩道面積考題的分析與思考

上述兩道考題的最后一問均求三角形面積的最大值，總體來看求解時(shí)均經(jīng)歷了模型構(gòu)建和最值分析兩個(gè)階段，考題圖像和解法均具有一定的特點(diǎn)，其轉(zhuǎn)化思路具有一定的借鑒價(jià)值，下面對(duì)其深入剖析.

1. 問題本質(zhì)剖析

上述均為二次函數(shù)背景下的面積最值分析，結(jié)合拋物線的坐標(biāo)特征，可知求解的實(shí)質(zhì)就是將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的面積函數(shù)，屬于限定條件下的函數(shù)最值問題. 這是所有函數(shù)背景下面積問題的本質(zhì)，因此求解過程離不開幾何模型構(gòu)建和函數(shù)性質(zhì)分析這兩步.

2. 問題圖像特征

問題的圖像特征直接決定了考題解法的選取. 考題1中所求最大面積的三角形雖為一般的三角形，但其中的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)（O和C）可求，因此可過動(dòng)點(diǎn)M作分割線來構(gòu)造圖形，合理利用頂點(diǎn)坐標(biāo)來簡化函數(shù)模型. 考題2中所求最大面積的三角形雖為特殊的三角形，但無法直接構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F之間的坐標(biāo)關(guān)聯(lián)，這是不直接構(gòu)建面積模型的原因，而與其相似的Rt△COB的位置特殊，且面積可求，因此可借此進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.

3. 問題的解法特點(diǎn)

上述考題同為面積最值問題，其解法不同與問題圖像緊密相關(guān). 其中考題1采用的是割補(bǔ)法，而考題2采用的是相似轉(zhuǎn)化法. 考題1中面積割補(bǔ)的關(guān)鍵是過動(dòng)點(diǎn)作垂線來確定分割線，而利用交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解法的根本;考題2中相似轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是確定相似三角形，而利用相似三角形面積比的性質(zhì)是解法的根本. 但無論是面積割補(bǔ)法，還是相似轉(zhuǎn)化法，均是通過對(duì)特定問題圖像結(jié)構(gòu)剖析而確定的最適解法，需充分把握解法的使用關(guān)鍵及本質(zhì)內(nèi)容.

考題探究的教學(xué)建議

1. 認(rèn)真審題，把握問題圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

函數(shù)背景下的面積最值問題屬于中考典型的綜合性問題，理解題干條件，把握?qǐng)D形特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，因此解題時(shí)需要認(rèn)真審題，深入讀圖. 審題時(shí)，需要結(jié)合題干的文字信息來理解圖像特征，包括曲線與直線的位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)軌跡、幾何圖形的頂點(diǎn)位置，以及區(qū)分圖像中已知與未知的條件. 例如上述考題2中的△OCB與目標(biāo)三角形均為直角三角形，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)已知，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，PD∥OC，點(diǎn)F的坐標(biāo)未知等均是關(guān)鍵信息，也是后續(xù)確定相似轉(zhuǎn)化法的依據(jù).

2. 合理選法，理解問題解法的本質(zhì)

合理選定方法是破解面積最值問題的重要環(huán)節(jié). 對(duì)于位置、頂點(diǎn)特殊的圖形，則可以采用直接構(gòu)建的方式，而抽象且頂點(diǎn)一般的三角形則可以采用轉(zhuǎn)化法，常用的方法有面積割補(bǔ)法、相似轉(zhuǎn)化法、等積轉(zhuǎn)化法等，這些方法適用于不同的問題圖形. 學(xué)習(xí)時(shí)，需要深刻理解方法的本質(zhì)，所用方法實(shí)則為等價(jià)轉(zhuǎn)化，其中滲透著模型思想和轉(zhuǎn)化思想，理解方法的思想內(nèi)涵才能準(zhǔn)確地選定方法、構(gòu)建思路. 因此，教學(xué)中需要對(duì)面積問題的解法加以歸納，引導(dǎo)學(xué)生理解方法的內(nèi)涵，掌握方法的使用技巧.

3. 重視思辨，提升學(xué)生解決問題的思維能力

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是考題教學(xué)的重點(diǎn)所在，尤其是歷年的中考?jí)狠S題，具有極高的研究價(jià)值. 教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)考題進(jìn)行整合，針對(duì)類型問題的解法進(jìn)行辨析、探究，整體上把握問題的解析策略，如面積最值問題中需要關(guān)注問題的模型構(gòu)建方法、最值分析方法. 同時(shí)，重視函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合方法，合理利用數(shù)形結(jié)合分析策略來突破考題. 而在考題辨析過程中，則要多引導(dǎo)學(xué)生思考條件與問題之間的聯(lián)系，解題方法與問題特點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，形成從問題特點(diǎn)入手，方法思想構(gòu)思路的解題策略.