紙上得來(lái)終覺淺 絕知此事要躬行

曹洪章 郭懷玉

摘 要：通過(guò)對(duì)教材選修2-3章末一道習(xí)題的研究，領(lǐng)會(huì)教材的目的，嘗試進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，開展研究性學(xué)習(xí)，把新課程理念運(yùn)用到實(shí)際的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，進(jìn)行創(chuàng)新性能力實(shí)踐的研究，讓學(xué)生和教師真正悟得“紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行”的道理。

關(guān)鍵詞：相關(guān)系數(shù);核心素養(yǎng);數(shù)據(jù)分析;數(shù)學(xué)建模

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書高中數(shù)學(xué)選修2-3第三章統(tǒng)計(jì)案例第102頁(yè)B組題第2題，“分別研究數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系、數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？”教師教參書上簡(jiǎn)單地進(jìn)行了闡述：本題主要是考查學(xué)生們應(yīng)用回歸分析模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，解答應(yīng)該包括如何獲取數(shù)據(jù)，如何根據(jù)散點(diǎn)圖尋找合適的數(shù)學(xué)模型去擬合數(shù)據(jù)，以及所得結(jié)果的解釋三方面的內(nèi)容。這道開放性題目是符合現(xiàn)在新課程的標(biāo)準(zhǔn)，具有多樣性和不唯一性，需要學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、比較、分析、類比、概括、模擬等方法來(lái)探究結(jié)論或結(jié)論成立的條件，對(duì)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新性有較高要求，能夠有利于學(xué)生主體的意識(shí)形成和主體能力的發(fā)展，有利于提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和提高學(xué)生的實(shí)踐能力。進(jìn)行這類題的練習(xí)和講解，這既是新課程改革的需要又符合高考的新理念，能更有效地促進(jìn)教學(xué)。

此項(xiàng)作業(yè)布置下去后，學(xué)生開始反應(yīng)是無(wú)所適從，不知從何抓起，不知需要怎么做。為了完成任務(wù)，我降低了難度，多設(shè)置了些臺(tái)階。我先把班級(jí)九個(gè)的6人學(xué)習(xí)小組劃分成A、B、C三個(gè)大組，A組包括1組、2組、3組，B組包括4組、5組、6組，C組包括7組、8組、9組，并且布置了新的任務(wù)，就是把任務(wù)具體化，再進(jìn)行分工合作。1組、4組、7組負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行抽樣選取，合作協(xié)商，最后得到一個(gè)包含十個(gè)人的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、物理的成績(jī)樣本數(shù)據(jù)，我們暫且把這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為問(wèn)題①;2組、5組、8組負(fù)責(zé)選擇合適的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析，我們把這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為問(wèn)題②;3組、6組、9組負(fù)責(zé)文字表達(dá)、抽象概括、整理匯總等，我們把這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為問(wèn)題③。要求學(xué)生必須全員參與、分工合作，積極工作，并且要求ABC三組的獲取樣本數(shù)據(jù)的方法必須不同，最先以文本形式呈現(xiàn)給教師的小組具有選擇最佳方法的優(yōu)先權(quán)，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，后面選擇的方法必須與前面的不同，但是需要教師幫助的可以咨詢教師，言外之意別人用過(guò)的方法不得重復(fù)，避免抄襲的可能，既調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性又為一題多解創(chuàng)設(shè)了教學(xué)的情境氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

經(jīng)過(guò)學(xué)生的合作探究，第二天，我把ABC三個(gè)組分別交上來(lái)的作業(yè)情況分析如下：首先交上來(lái)的是B組。問(wèn)題①采用的方法是學(xué)生通過(guò)詢問(wèn)小組中學(xué)生上次月考成績(jī)，進(jìn)行簡(jiǎn)單匯總，得到一組十個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、物理三科成績(jī)表。我進(jìn)行了追問(wèn)：“你們組使用的抽樣方法是什么？”學(xué)生想了想回答：“我們用的方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，就是從本班隨機(jī)的抽取十個(gè)同學(xué)，用他們的成績(jī)作為樣本。”我又緊接著問(wèn)道：“那這種方法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？這種方法抽出的樣本能不能較好地代表全班或全校的成績(jī)？隨機(jī)性能不能得到體現(xiàn)？簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的基本步驟是什么？表達(dá)的步驟體現(xiàn)是否充分？”學(xué)生有點(diǎn)明白，“老師，我們是不是太隨意了，不是隨機(jī)的抽取，失去了科學(xué)性?！薄澳阏f(shuō)的太好了，希望你們能進(jìn)行適當(dāng)?shù)母?，讓你們的樣本更有說(shuō)服力，更具有代表性！?！闭n后他們做了很好的更改，他們依據(jù)數(shù)學(xué)成績(jī)由高到低做了排序，進(jìn)行了編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣，抽出全年級(jí)理科生十個(gè)隨機(jī)號(hào)，并把他們的三科成績(jī)摘錄如下表。

C組同學(xué)向網(wǎng)絡(luò)百度學(xué)習(xí)，借用Excel表格工具，整理、匯總了整個(gè)年級(jí)理科學(xué)生305人的數(shù)學(xué)、物理、語(yǔ)文的成績(jī)，他們直接用年級(jí)的所有學(xué)生作為研究樣本對(duì)象，對(duì)于C組同學(xué)沒有按照教師給定的抽取十人樣本數(shù)據(jù)，而是采用年級(jí)所有數(shù)據(jù)作為樣本，教師及時(shí)肯定了C組同學(xué)大膽地創(chuàng)新之舉，同時(shí)也進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)靥嵝褜忣}的重要性，分析了兩者的利弊，讓學(xué)生有針對(duì)性地進(jìn)行甄別自己行為的利害。

問(wèn)題②的處理方法各組也積極思考，采用了不同的方法來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。A組同學(xué)借助計(jì)算器很快計(jì)算出數(shù)學(xué)和物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r1=0.87046，數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r2=0.449828，依據(jù)相關(guān)系數(shù)得出結(jié)論：數(shù)學(xué)與物理的相關(guān)系數(shù)大于0.75，而且數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的相關(guān)系數(shù)不到0.5，故可以說(shuō)明數(shù)學(xué)和物理的相關(guān)性更好些，要比數(shù)學(xué)和語(yǔ)文的相關(guān)性更好些。B組同學(xué)首先畫出了數(shù)學(xué)和物理的散點(diǎn)圖，并借助Excel表，得到了兩者的線性回歸方程和R2，數(shù)學(xué)和語(yǔ)文的數(shù)據(jù)也一樣的得到散點(diǎn)圖和回歸方程與R2，如圖1所示：

B組同學(xué)由散點(diǎn)圖和R2的含義從而得出：數(shù)學(xué)和物理的線性相關(guān)性相比于數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的線性相關(guān)性更好些，且用線性回歸擬合的情況更貼切一些;由數(shù)學(xué)與物理的相關(guān)系數(shù)r1=R1=0.839047，數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的相關(guān)系數(shù)為r2=R2= 0.626099，也可以得出相似的結(jié)論，數(shù)學(xué)和物理的相關(guān)性相比于數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的相關(guān)性要更好些。C組同學(xué)首先也是借助Excel表得到數(shù)學(xué)和物理、數(shù)學(xué)和語(yǔ)文的散點(diǎn)圖，并進(jìn)行了線性回歸和R2的計(jì)算，得到如下圖所示：

C組同學(xué)通過(guò)散點(diǎn)圖和回歸直線R2的數(shù)值對(duì)比，發(fā)現(xiàn)盡管數(shù)學(xué)和物理的R2大于數(shù)學(xué)和語(yǔ)文的R2，但是數(shù)學(xué)和物理的相關(guān)系數(shù)r=R==0.502991，并不大于0.75，數(shù)學(xué)與語(yǔ)文的相關(guān)系數(shù)就更小，更不具有相關(guān)性了。

看到B組和C組研究的方法類似，我進(jìn)行了提示，“鑒于你們兩組所用方法有很大的相似點(diǎn)，我希望有個(gè)小組主動(dòng)進(jìn)行進(jìn)一步的研究，如：獨(dú)立性檢驗(yàn)研究，誰(shuí)能主動(dòng)地承擔(dān)呢？結(jié)果C組同學(xué)自告奮勇承擔(dān)了做進(jìn)一步的研究。經(jīng)過(guò)C組同學(xué)們的努力和研究，得到數(shù)學(xué)與物理成績(jī)及格的獨(dú)立性相關(guān)分析表如下：

由此表求出K2=1.485>1.323，得出有75%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)與語(yǔ)文成績(jī)及格有相關(guān)性。比較兩者的結(jié)論分析，可以得出在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.001的前提下可認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)具有更強(qiáng)更好的相關(guān)性。結(jié)合三個(gè)小組的研究情況，從不同的抽樣不同的研究方法不同的研究角度都得到了一個(gè)相同的結(jié)論：數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)相對(duì)于數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)具有更好更強(qiáng)的相關(guān)性。

通過(guò)這道題的作業(yè)布置和活動(dòng)研究，既可以讓學(xué)生復(fù)習(xí)到本章的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，在應(yīng)用的情境中掌握必要的基本技能，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)用樣本估計(jì)總體的基本思想，豐富學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，鍛煉學(xué)生在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生“能夠會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”的能力，這是新課程提倡的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)。

本章統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中作了較大調(diào)整，學(xué)習(xí)層次性更加明確，也更加強(qiáng)調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)創(chuàng)新性等核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要性。細(xì)細(xì)品味，該板塊內(nèi)容對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的全面發(fā)展具有重要意義，它帶給學(xué)生應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)時(shí)的一種態(tài)度與策略，帶給學(xué)生一種更加寬廣的思考方式，而這一切都基于數(shù)據(jù)分析觀念的養(yǎng)成。但是，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中又如何具體開展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的研究，對(duì)于絕大多數(shù)教師來(lái)說(shuō)還是一片空白。廣大的中學(xué)教師為了適應(yīng)和應(yīng)對(duì)高考，一味地追求高考升學(xué)率，片面地進(jìn)行解題教學(xué)，忽視新課程新教材對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的要求，不自覺地降低了對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的要求，更不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用技術(shù)要求，無(wú)法真正地開展基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)。

從學(xué)生的表現(xiàn)，感受到學(xué)生的變化，學(xué)生能使用Excel數(shù)據(jù)表進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算、數(shù)據(jù)分析，讓我深深地嘆服學(xué)生在探究活動(dòng)中表現(xiàn)出的能力，對(duì)學(xué)生表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大加贊揚(yáng)。通過(guò)章末一道實(shí)踐應(yīng)用題的小組合作探究活動(dòng)，學(xué)生既復(fù)習(xí)運(yùn)用了本章絕大多數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，鞏固了學(xué)生所學(xué)內(nèi)容，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，就在我們的身邊，增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)

題解決問(wèn)題的能力，對(duì)同一個(gè)問(wèn)題讓不同的小組使用不同的方法來(lái)進(jìn)行一題多解思維訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，是教育教學(xué)改革的一條創(chuàng)新之路。學(xué)而時(shí)習(xí)之不亦悅乎。習(xí)為實(shí)習(xí)、實(shí)踐，學(xué)以致用。創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力，實(shí)踐則是人類社會(huì)發(fā)展的根本，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新與實(shí)踐能力是學(xué)校教育的終極目標(biāo)，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力是教師教學(xué)改革的頭等大事。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：教科書編寫“應(yīng)把‘?dāng)?shù)學(xué)探究’等活動(dòng)恰當(dāng)?shù)卮┎灏才旁谟嘘P(guān)的教學(xué)內(nèi)容中”，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，“初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論的產(chǎn)生過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程和創(chuàng)造的激情，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)新精神”。新課標(biāo)在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力培養(yǎng)上有若干新要求和新變化：在高中課程性質(zhì)和基本理念中體現(xiàn)了實(shí)踐能力培養(yǎng)的價(jià)值導(dǎo)向，首次明確提出發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的目標(biāo);處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與實(shí)踐能力培養(yǎng)的關(guān)系，在核心素養(yǎng)中融入數(shù)學(xué)實(shí)踐能力培養(yǎng)的要求;在課程內(nèi)容設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、問(wèn)題解決過(guò)程、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)上加強(qiáng)數(shù)學(xué)實(shí)踐要求，力求將數(shù)學(xué)實(shí)踐能力培養(yǎng)更好地落實(shí)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。在人教版高中數(shù)學(xué)教科書正文、附錄和習(xí)題中設(shè)計(jì)了眾多的數(shù)學(xué)實(shí)踐探究?jī)?nèi)容，為高中數(shù)學(xué)實(shí)踐探究教學(xué)的開展提供了充足的課程資源?！皩?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一途徑”，實(shí)踐是認(rèn)識(shí)的來(lái)源，是認(rèn)識(shí)發(fā)展的動(dòng)力，是檢驗(yàn)認(rèn)識(shí)正確與否的唯一標(biāo)準(zhǔn)，也是認(rèn)識(shí)的最終目的。真正的學(xué)問(wèn)不僅僅是從課本上學(xué)來(lái)的，更重要的是通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)、鞏固和應(yīng)用它，甚至通過(guò)實(shí)踐讓它產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)價(jià)值等。從書本上得到的知識(shí)畢竟比較膚淺，要透徹地認(rèn)識(shí)事物還必須親自實(shí)踐，正是“紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行”。

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