一個(gè)函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的兩種解法

曹彬

摘 要：函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，函數(shù)題常常是高考試卷上的壓軸題之一.恒成立問(wèn)題是函數(shù)題的常見(jiàn)題型，恒成立問(wèn)題最終都轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題，但是當(dāng)函數(shù)解析式相對(duì)復(fù)雜時(shí)，轉(zhuǎn)化過(guò)程相當(dāng)繁瑣.本文根據(jù)高考考試大綱要求，指出在高考復(fù)習(xí)階段，如何利用常規(guī)方法和高等數(shù)學(xué)知識(shí)解出函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的參數(shù)取值范圍.

關(guān)鍵詞：高考復(fù)習(xí);函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題;洛必達(dá)法則

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）16-0049-02

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，是歷年高考的熱點(diǎn)，函數(shù)題常常作為高考?jí)狠S題出現(xiàn).以研究函數(shù)性質(zhì)為主要解題手段的不等式稱為函數(shù)不等式，函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題是高考函數(shù)題中的重點(diǎn)，在高考試卷上較為常見(jiàn).通常以一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考察函數(shù)的圖象與性質(zhì)，滲透換元、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)新性，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起到積極的作用.

函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題都要轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，但對(duì)于解析式較復(fù)雜的函數(shù)，學(xué)生普遍感到難以找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和突破口.本文旨在介紹洛必達(dá)法則應(yīng)用的同時(shí)，多種解法求一類特殊函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)取值范圍.

一、問(wèn)題的提出

評(píng)析 這是最容易找到入手點(diǎn)的解法，但在最后階段卻出現(xiàn)疑惑，因?yàn)樵趚=1處的函數(shù)值不能直接解出，所以要用洛必達(dá)法則求極限值.

運(yùn)用上述兩種解法，可解決如下同類型題：已知函數(shù)f（x）=（1-x2）ex，當(dāng)x≥0時(shí)，都有f（x）≤ax+1恒成立，求a的取值范圍.

函數(shù)題的得分率歷來(lái)不高，學(xué)生普遍感到困難，分析有如下原因：需要對(duì)證明的等式或者不等式進(jìn)行變形，此過(guò)程需要技巧，經(jīng)驗(yàn)性很高，學(xué)生一般很難掌握;含有參數(shù)的問(wèn)題需要分類討論，討論的類別較多，運(yùn)算量大還容易遺漏;對(duì)研究的函數(shù)不能畫(huà)出圖象，難以構(gòu)造出直觀模型輔助思考;很多函數(shù)題需要多次求導(dǎo).

所以，如果用高中知識(shí)解答高考函數(shù)題，對(duì)學(xué)生的思考靈活性、思維嚴(yán)密性、表達(dá)邏輯性等方面的要求較高，難度較大.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳賢盛.不等式恒成立，參數(shù)值妙求解——2019年全國(guó)卷Ⅰ文第20題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（23）：69-70.

[2]張智云.淺析含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（22）：114.

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