帶測度權(quán)Dirichlet空間上的復(fù)合算子

邱志云， 曹廣福

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院， 廣州 510642)

引 言

在算子理論的一些基本問題中，解析函數(shù)論的相關(guān)方法起到了決定性作用，相反地，算子理論也成為探索函數(shù)空間的重要工具，這在研究單復(fù)變和多復(fù)變的本質(zhì)差異中起到了巨大作用。正是在解析函數(shù)論和算子理論的相互發(fā)展與碰撞中，復(fù)合算子開始進(jìn)入人們的視線中。由于各函數(shù)空間的特征不盡相同，因此，在復(fù)合算子的研究中，其有界性和緊性的判定成為眾人的首選，相關(guān)理論結(jié)果有很多而且較為深刻[1]。作為數(shù)學(xué)研究中的一種常用運(yùn)算，函數(shù)的復(fù)合在算子理論中起到了重要作用，在1960年前后開始使用。1987年是復(fù)合算子進(jìn)入熱點的時間節(jié)點，以Shapiro等人為代表，國內(nèi)外廣大數(shù)學(xué)工作者對復(fù)合算子的有界性、緊性和可逆性等性質(zhì)的研究熱情不斷。在1981年以前，大部分關(guān)于復(fù)合算子的研究是基于單個復(fù)合算子的，此后逐漸把函數(shù)空間上的所有(有界)復(fù)合算子看成一個拓?fù)淇臻g進(jìn)行研究，里面的算子也有了范數(shù)。

近些年來，復(fù)合算子的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)中許多重要部分得到了深刻的理解，這也是研究各種空間上復(fù)合算子的意義所在[2-4]。復(fù)合算子的可逆性、緊性、有界性以及Fredholm性一直受到關(guān)注[5-6]。如Bloch空間上的微分復(fù)合算子差分的有界性及緊性[7]、廣義Fock空間之間的Volterra型復(fù)合算子的有界性及其本性范數(shù)[8]以及其他空間上的復(fù)合算子的可逆性[9-11]等。對連通域上的Bergman空間對可逆和Fredholm復(fù)合算子的刻畫[12-13]也是復(fù)合算子研究的重要成果。隨后人們對可乘復(fù)合算子的Fredholm性[14]也進(jìn)行了研究，得出了較為有趣的結(jié)果。

Dirichlet空間是與Hardy空間平行的解析函數(shù)空間，其函數(shù)結(jié)構(gòu)理論很多都依賴于Hardy空間中相應(yīng)的理論基礎(chǔ)[15-16]。在對Dirichlet空間上復(fù)合算子的研究中，大多限定在單位圓盤上，也有很多矚目的成果，本文將其推廣到一般域上以及帶測度權(quán)上，使其復(fù)合算子的性質(zhì)更具有一般性。

令D是C(復(fù)平面)上的開單位圓盤，dA表示D上正規(guī)化的Lebesgue測度。Dirichlet空間D是由D上具有有限D(zhuǎn)irichlet積分的解析函數(shù)f構(gòu)成，使得

在此定義下, D不僅是一個賦范線性空間，而且是一個再生核Hilbert空間，其內(nèi)積表示為

D的再生核為

令Ω表示C上的連通域，dμ表示Ω上的非負(fù)測度。帶測度權(quán)Dirichlet空間Dμ是由Ω上具有有限D(zhuǎn)irichlet積分的解析函數(shù)f(z)構(gòu)成，使得

顯然，這里的權(quán)與單位圓盤上的權(quán)有所不同，更具有一般性。

令M和N表示C(復(fù)平面)中兩個開、連通、非空子集，簡單稱它們?yōu)橛?。令L2(M)表示M上有定義的，且相對于M上的測度可平方積分的復(fù)值可測函數(shù)空間。M的帶測度權(quán)Dirichlet空間用Dμ(M)表示，它由M所有解析函數(shù)構(gòu)成，滿足

用?M表示M的拓?fù)溥吔?。點λ∈?M叫做相對Dμ(M)可去的，如果存在λ的一個的開鄰域V，使得對于Dμ(M)上所有函數(shù)f，其導(dǎo)數(shù)f′皆可解析延拓到M∪V上。用?μ-rM表示?M中所有相對于Dμ(M)可去的點組成的集合。用?μ-eM表示M的Dirichlet本質(zhì)邊界，即?M中非相對Dμ(M)可去點的集合，因此有

?μ-eM=?M-?μ-rM

本文研究得出了帶測度權(quán)Dirichlet空間中復(fù)合算子的可逆性和Fredholm性質(zhì)。

1 復(fù)合算子的可逆性

定義1令μ是M上一有限正測度。μ被稱為M上的Carleson型測度，如果存在常數(shù)C>0, 對于任意f∈L2(M,dμ), 有

顯然，μ是Carleson型測度當(dāng)且僅當(dāng)存在正常數(shù)C，使得對于M的任意子集E，有

μ(E)≤CA(E)

其中，A(E)是E的勒貝格測度。

命題1假設(shè)M和N表示C中的域，并且ρ是一個從M到N的解析映射，使得dμ°ρ-1是Carleson型測度。那么Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的有界算子。

證明由等式

和Carleson型測度的定義，很容易看出Cρ是有界的。

引理1[17]對于C中的任何域G，?rG的面積測度為零。

定理1假設(shè)M和N是C中的域，并且ρ是一個從M到N的非恒定解析映射，使得dμ°ρ-1和dμ°ρ都是Carleson型測度。那么Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個條件同時成立：

(1)ρ是單射的。

(2)N-ρ(M)??μ-r(ρM)。

證明首先證明定理1的必要性。假設(shè)Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子，若條件(1)不成立，即若ρ不是單射，則存在z1,z2∈M且z1≠z2，使得ρ(z1)=ρ(z2)。Dμ(M)和Dμ(N)的再生核分別用KM和KN表示。任何符號的復(fù)合算子的共軛作用在再生核上，有

對于?ω∈ρ(M)，很容易有(Cρh)(ρ-1ω)=g(ω)，進(jìn)而h(ω)=g(ω)。因此，Dμ(ρ(M))中的每一個函數(shù)延拓到Dμ(N)中的一個函數(shù)。這就證明了條件(2)。

這就完成了定理1的證明。

推論1假設(shè)M和N是C中的域，并且ρ是一個從M到N的解析映射，使得?μ-r(ρM)=φ。若dμ°ρ-1和dμ°ρ均為Carleson型測度，則Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子，當(dāng)且僅當(dāng)ρ可逆。

Cρf1=f1°ρ=g1∈Dμ(M)

因此ρ是可逆的。

接著證明其充分性。由于ρ可逆，逆為ρ-1，那么對任意λ∈N-ρ(M)，有ρ-1λ∈M。因為ρ(ρ-1λ)∈ρ(M)，則λ∈ρ(M)，所以N-ρ(M)??μ-r(ρM)，于是N-ρ(M)=φ，所以M和N的點就一一對應(yīng)了，因此M和N上的函數(shù)也就一一對應(yīng)了，則Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子。

這就證明了推論1。

從前面的論述可知，如果ρ是單位圓盤D在復(fù)平面C上的解析自映射，則Cρ始終是Dirichlet空間或Hardy空間上的有界線性算子，并且Cρ是可逆的，當(dāng)且僅當(dāng)ρ可逆。通過定理1，可以看出復(fù)合算子的可逆性不等于其符號在復(fù)平面中的可逆性。但是，如果域的拓?fù)溥吔绮话ㄈ魏慰扇c，則復(fù)合算子的可逆性就等同于其符號的可逆性。

2 復(fù)合算子的Fredholm性

眾所周知，在經(jīng)典解析函數(shù)的空間上, 復(fù)合算子的可逆性都等同于其Fredholm性，但在帶測度權(quán)Dirichlet空間上，要將假定條件做一定的改動，才有復(fù)合算子的Fredholm性的充分必要條件。

定理2假設(shè)M和N是C中的有界域，并且ρ是一個從M到N的非恒定解析映射，使得dμ°ρ-1和dμ°ρ為Carleson型測度。那么Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的Fredholm算子當(dāng)且僅當(dāng)：

(1)ρ是單射的，且。

(2)N-ρ(M)??μ-r(ρM)。

這與Cρ的 Fredholm性相矛盾，因此ρ是單射的，(1)得證。

因為z≠ω，所以當(dāng)k≥1時，{fk}是一個線性獨(dú)立序列，并且該序列屬于Dμ(ρ(M))，以及fk?Dμ(N)。因為Cρ(Dμ(N))是Dμ(M)的閉子空間，并且dμ°ρ為Carleson型測度，所以Dμ(M)/Cρ(Dμ(N))的維度是有限的。

用[fi]表示Dμ(ρ(M))/Dμ(N)中fi的類別。如果{[fi]}是線性相關(guān)的，則存在αi∈C,i=1,…,k，并且αi≠0，使得

因此有

{z∈?(ρ(M))||z-p|

{p}∪{z∈?μ-r(ρ(M))||z-p|

因為fi∈Dμ(ρ(M))，所以

因為對于p是fi的極點，有

而{z∈?(ρ(M))||z-p|

那么就知道fi都在p處解析擴(kuò)展。也就是每個f1,f2,…,fn都能在p處解析擴(kuò)展，由于Dμ(ρ(M))是由f1,f2,…,fn和Dμ(N)生成的，因此

那么

因此有

N∩?μ-e(ρ(M))=φ

3 結(jié)束語

通過對各空間上復(fù)合算子的研究，將單位圓盤上的Dirichlet空間推廣到帶測度權(quán)的Dirichlet空間Dμ，并對該空間上復(fù)合算子的可逆性和Fredholm性進(jìn)行研究，結(jié)合Carleson測度，得出以下兩個充要條件：

(1)假設(shè)M和N是C中的域，并且ρ是一個從M到N的非恒定解析映射，使得dμ°ρ-1和dμ°ρ都是Carleson型測度。那么Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的可逆算子當(dāng)且僅當(dāng)以下兩個條件同時成立

(a)ρ是單射的。

(b)N-ρ(M)??μ-r(ρM)。

(2)假設(shè)M和N是C中的有界域，并且ρ是一個從M到N的非恒定解析映射，使得dμ°ρ-1和dμ°ρ為Carleson型測度。那么Cρ是從Dμ(N)到Dμ(M)的Fredholm算子，當(dāng)且僅當(dāng)

(a)ρ是單射的，且

(b)N-ρ(M)??μ-r(ρM)。