D-Z矩陣和D-Z B-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計式的改進(jìn)

周 平, 黃衛(wèi)華

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)與工程學(xué)院， 云南 文山 663099)

引 言

李艷艷等在文獻(xiàn)[16]中給出如下結(jié)果：

以上兩個估計式計算量大，當(dāng)矩陣階數(shù)很大時，計算困難，從而尋找簡單易行的估計式是非常有必要的。關(guān)于D-ZB-矩陣的線性互補(bǔ)問題解的誤差界估計問題，通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)目前沒有相應(yīng)的研究結(jié)果。

本文在前人研究的工作基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了該問題，得到了僅依賴于D-Z矩陣和D-ZB-矩陣元素的新估計式，且給出了D-ZB-矩陣最小奇異值的新結(jié)果，應(yīng)用例子驗證了這些新獲得的估計式的有效性和優(yōu)越性，提高了估計的精度。

1 預(yù)備知識

為了便于后文的研究，先給出如下記號：

N={1,2,…,n}，Cn×n(Rn×n)是全體n×n階復(fù)(實)矩陣構(gòu)成的集合。

設(shè)A=(aij)∈Cn×n，M=(mij)∈Cn×n，記

定義1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，q∈Rn，尋找解x∈Rn，使得

(Ax+q)Tx=0，Ax+q≥0，x≥0

則該問題稱為線性互補(bǔ)問題，記作LCP(A,q)。

定義3[4]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，如果?i∈N,存在j∈N={1,2,…,n}，j≠i,使得

那么A叫做Dashnic-Zusmanovich矩陣，常記作D-Z矩陣。

定義4[4]設(shè)M=(mij)∈Rn×n，將M表示成M=B++C的形式，其中

(1)

引理1[8]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，它是P-矩陣，則LCP(A,q)的解存在且唯一。

引理2[8]設(shè)M是P-矩陣，x*和x分別是LCP(M,q)的精確解和近似解，則

其中：r(x)=min{x,Mx+q}，表示取向量x和Mx+q對應(yīng)分量的最小值；x*表示LCP(M,q)的解；D=diag(d1,d2,…,dn),0≤di≤1。

引理3[8]設(shè)M是D-Z矩陣，則M是P-矩陣。

引理4[9]若γ>0,η≥0，則對任意的x∈[0,1]，有

且

引理5[7]設(shè)A=(aij)∈Cn×n為D-Z矩陣，則

引理6[7]設(shè)M=(mij)∈Cn×n為D-Z矩陣，且mii>0，如果B=I-D+DM，其中I是n階單位矩陣,D=diag(di),0≤di≤1,i=1,2,…,n，那么B是D-Z矩陣。

2 主要結(jié)果

下面應(yīng)用前文給出的相關(guān)定義和引理，并結(jié)合幾個不等式的放縮技術(shù)，對D-Z矩陣和D-ZB-矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界進(jìn)行研究，并結(jié)合引理5給出了D-ZB-矩陣的最小奇異值新下界。

其中：

ψi,j(M)=

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

應(yīng)用式(2)～式(6)，得

ψi,j(M)

即

故有

定理2設(shè)M=(mij)∈Cn×n是D-ZB-矩陣，將M表示成M=B++C的形式，其中B+與式(1)定義相同，則有

其中：

ψi,j(B+)=

證明設(shè)MD=I-D+DM，則

MD=I-D+D(B++C)=

(I-D+DB+)+DC

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是D-ZB-矩陣,則

推論2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是D-ZB-矩陣,則A的最小奇異值

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn×n是D-ZB-矩陣,則

σ1(A)≥σ2(A)

其中

β(A)=

證明因為文獻(xiàn)[7]的定理3驗證了

則

σ1(A)-σ2(A)=

所以

σ1(A)≥σ2(A)

下面用數(shù)值例子對文中給出的新估計式的有效性和可行性做進(jìn)一步說明。

3 數(shù)值算例

經(jīng)驗證該矩陣是D-Z矩陣，分別運(yùn)用文獻(xiàn)[15]中定理1給出的估計式計算得

運(yùn)用文獻(xiàn)[16]中定理1的估計式計算得

運(yùn)用本文給出的定理1計算得

應(yīng)用文獻(xiàn)[7]中的推論1和本文推論2中的估計式分別計算得σ(A)≥5.8527，σ(A)≥4.9146。

4 結(jié)束語

從數(shù)值算例的計算結(jié)果可知，文中給出的新誤差界比文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]中的更小，說明定理1給出的D-Z矩陣線性互補(bǔ)問題解的誤差界優(yōu)于已有結(jié)果，同時推論2中獲得的最小奇異值新的下界改進(jìn)了現(xiàn)有的結(jié)論，且計算簡單易行，該研究進(jìn)一步完善了該矩陣類的相關(guān)理論知識。