關(guān)于對(duì)偶對(duì)的Gorenstein平坦模及其維數(shù)

何東林， 樊 亮

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院, 甘肅 隴南 742500)

引 言

1 定義和引理

設(shè)x是一個(gè)左R-模類,y是一個(gè)右R-模類，M為任意左R-模。

定義1[12]稱M是Gorenstein (x,y)-平坦模，如果存在左R-模正合列

X:…→X1→X0→X0→X1→…，

用GF(x,y)表示所有Gorenstein (x,y)-平坦模組成的類。

例1(1)對(duì)任意X∈x，有X∈GF(x,y)。

(2)正合列X的每個(gè)核、像及余核均是Gorenstein (x,y)-平坦模。

(3)如果x是平坦左R-模類F(R)，y是內(nèi)射右R-模類I(R)，則Gorenstein (x,y)-平坦模就是Gorenstein-平坦模。

(4)如果x是平坦左R-模類F(R)，那么Gorenstein (x,y)-平坦模與Gorensteiny-平坦模一致。

引理1[12]設(shè)GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉，則以下條件等價(jià)：

定義2[12]稱(x,y)是一個(gè)對(duì)偶對(duì)，如果滿足以下條件：

(1)X∈x當(dāng)且僅當(dāng)X+∈y，其中X+=HomR(X,Q/Z)。

(2)y關(guān)于直和因子和有限直和封閉。

進(jìn)而，稱對(duì)偶對(duì)(x,y)是完備的，如果R∈x且x關(guān)于擴(kuò)張及直和因子封閉。

引理2[14]如果(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，那么F(R)?x且I(R)?y。

例2(1)(Fn,In)是一個(gè)完備對(duì)偶對(duì)，其中Fn是平坦維數(shù)不超過(guò)n的左R-模組成的類，In是平坦維數(shù)不超過(guò)n的右R-模組成的類。

(2) (Fn,FIn)是一個(gè)完備對(duì)偶對(duì)，其中Fn是FP-內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)n的右R-模組成的類。

(1)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(3)存在左R-模正合列0→M→X→G→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。

引理4設(shè)w是x的余生成子且v是y的生成子,x和y關(guān)于擴(kuò)張封閉，0→M′→M→M″→0是R-模正合列，則以下說(shuō)法成立：

證明由文獻(xiàn)[12]中命題3.1易證。

2 主要結(jié)果

命題2設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，則以下條件等價(jià)：

(i)M是Gorenstein (x,y)-平坦模。

0→M→X0→X1→…，其中Xi∈x。

(v)存在左R-模正合列0→M→X′→G′→0，其中X′∈x且G′∈GF(x,y)。

證明(i)?(ii)?(v)由引理3易證。

(i)?(iv)設(shè)M是Gorenstein (x,y)-平坦模，則由定義1知存在左R-模正合列

(1)

定理1設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，則

(i)如果U,W∈GF(x,y)，那么V∈GF(x,y)。

(iii)如果V,W∈GF(x,y)，那么U∈GF(x,y)。

證明(i)設(shè)U,W∈GF(x,y)。因?yàn)镚F(x,y)是投射可解的，由文獻(xiàn)[12]中命題2.12知，GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉，所以V∈GF(x,y)。

(iii)設(shè)V,W∈GF(x,y)。由V是Gorenstein (x,y)-平坦模及命題2可知，存在正合列0→G→X→V→0，其中X∈x且G∈GF(x,y)。構(gòu)造拉回圖，如圖1所示。

圖1 U→V與X→V的拉回圖

(2)

定理2設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，則

(i)如果V∈GF(x,y)，那么GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1。

(ii)如果U∈GF(x,y)，那么GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

證明(i)設(shè)V∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞，則GF(x,y)-pd(W)≤GF(x,y)-pd(U)+1顯然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞，不妨設(shè)x-GF(x,y)-pd(U)=n，則存在長(zhǎng)度為n的正合列

0→Gn→…→G1→G0→U→0

(3)

其中Gi∈GF(x,y)(i=0,1,…,n)。將式(3)與(ε)拼接可得正合列

0→Gn→…→G1→G0→V→W→0

(4)

其中Gi∈GF(x,y)且V∈GF(x,y)。從而GF(x,y)-pd(W)≤n+1 =GF(x,y)-pd(U)+1。

(ii)設(shè)U∈GF(x,y)。若GF(x,y)-pd(W)=+∞，則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(W)<+∞，不妨設(shè)GF(x,y)-pd(W)=m，由文獻(xiàn)[12]中定理2.16知，存在正合列0→K0→X0→W→0，其中X0∈x且GF(x,y)-pd(K0)=m-1。構(gòu)造拉回圖,如圖2所示。

圖2 V→W與X0→W的拉回圖

在中間行正合列0→U→H→X0→0中，U,X0∈GF(x,y)且GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉，可見(jiàn)H∈GF(x,y)。又因?yàn)閳D2中間列正合列0→K0→H→V→0中，GF(x,y)-pd(K0)=m-1，所以GF(x,y)-pd(V)≤m-1+1=m，即GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(W)。

定理3設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，(ε):0→U→V→W→0是左R-模正合列，如果W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合，那么GF(x,y)-pd(U)=GF(x,y)-pd(V)。

證明設(shè)W∈GF(x,y)且(ε)在HomR(x,-)下正合。

先證不等式GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。若GF(x,y)-pd(V)=+∞，則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(V)<+∞，不妨設(shè)GF(x,y)-pd(V)=n。當(dāng)n=0時(shí)，V是Gorenstein (x,y)-平坦模。由W∈GF(x,y)及定理1可知，U∈GF(x,y)?？梢?jiàn)GF(x,y)-pd(U)=0≤GF(x,y)-pd(V)，不等式成立。當(dāng)n≥0時(shí)，存在長(zhǎng)度為n的正合列

0→Gn→Xn-1→…→X1→X0→V→0

(5)

其中Xi∈x且Gn∈GF(x,y)。令K0=Ker(X0→V)，顯然GF(x,y)-pd(K0)=n-1。構(gòu)造拉回圖,如圖3所示。

圖3 U→V與X0→V的拉回圖

在正合列0→H→X0→W→0中，X0∈x且W∈GF(x,y)，由命題1可得H∈GF(x,y)?？紤]圖3中第一列正合列0→K0→H→U→0，因?yàn)镚F(x,y)-pd(K0)=n-1且H∈GF(x,y)，所以GF(x,y)-pd(U)≤n-1+1=n，即GF(x,y)-pd(U)≤GF(x,y)-pd(V)。

再證GF(x,y)-pd(V)≤GF(x,y)-pd(U)。若GF(x,y)-pd(U)=+∞，則不等式顯然成立。若GF(x,y)-pd(U)<+∞，不妨設(shè)GF(x,y)-pd(U)=m。對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)m=0時(shí)，由GF(x,y)關(guān)于擴(kuò)張封閉易知GF(x,y)-pd(V)=0，可見(jiàn)結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)于m-1成立，下面討論對(duì)于m的情形。由文獻(xiàn)[12]中定理2.16知，存在長(zhǎng)度為m的正合列

(6)

圖4 交換圖

綜上所述，GF(x,y)-pd(U)=GF(x,y)-pd(V)。

定理4設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，則x是GF(x,y)的生成子和余生成子。

證明對(duì)任意左R-模M∈GF(x,y)，根據(jù)定義3可得，存在左R-模正合列

X:…→X1→X0→X0→X1→…，

(7)

0→M′→X0→M→0和0→M→X0→M″→0，其中X0,X0∈x。又由例1中(2)可知，M′∈GF(x,y)且M″∈GF(x,y)。因此x是GF(x,y)的生成子和余生成子。

推論1設(shè)(x,y)是一個(gè)完全對(duì)偶對(duì)，0→M′→M→M″→0是R-模正合列，則

證明根據(jù)定理4、引理4以及完備對(duì)偶對(duì)的定義可證。

3 結(jié)束語(yǔ)