關(guān)于L-半拓?fù)淇臻g中連續(xù)性和分離性的探究

李 飛， 朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院， 成都 611731)

引 言

2002年，匈牙利數(shù)學(xué)家A.Csaszar在文獻(xiàn)[1]中引入廣義拓?fù)涞母拍畈⑶业玫交窘Y(jié)果之后，文獻(xiàn)[2-9]對(duì)廣義拓?fù)溥M(jìn)行了一些較為深入研究，得到了廣義拓?fù)淇臻g上的一些點(diǎn)集性質(zhì)、廣義拓?fù)浠男再|(zhì)、映射性質(zhì)、廣義拓?fù)涞谋容^等一系列結(jié)果。由于廣義拓?fù)涓拍顑H包含拓?fù)涓拍钪腥齻€(gè)條件的一半，即廣義拓?fù)鋵?shí)際上是一個(gè)“半拓?fù)洹薄?015年，文獻(xiàn)[10]把廣義拓?fù)渲匦旅麨樯习胪負(fù)?，引入了下半拓?fù)涞母拍畈⑶翌惐韧負(fù)淇臻g的基本性質(zhì)，在下半拓?fù)淇臻g上獲得了一些基本的點(diǎn)集性質(zhì)。以此同時(shí)，文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]利用文獻(xiàn)[10]的方法，

將拓?fù)溥M(jìn)行重新剖分成兩個(gè)新的半拓?fù)洌鹤蟀胪負(fù)渑c右半拓?fù)?。文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]主要對(duì)右半拓?fù)淇臻g的點(diǎn)集理論與網(wǎng)收斂性質(zhì)進(jìn)行研究，得到了一些關(guān)于閉包、子空間、分離性和網(wǎng)收斂方面的一列結(jié)果。在此，人們自然會(huì)問：

問題：左半拓?fù)淇臻g是否具有類似于右半拓?fù)淇臻g的上述一系列研究結(jié)果？

文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[14]就上述問題進(jìn)行研究，在左半拓?fù)?L-半拓?fù)?空間上得到了一些關(guān)于基本點(diǎn)集(鄰域、開集、閉集、閉包、子空間)與網(wǎng)收斂等方面的一些結(jié)果。本文，首先對(duì)文獻(xiàn)[11]的子空間性質(zhì)與開集性質(zhì)進(jìn)行補(bǔ)充，用一個(gè)例子說明L-半拓?fù)淇臻g中關(guān)于開集的一個(gè)結(jié)果；然后討論L-半拓?fù)淇臻g上映射的連續(xù)性以及點(diǎn)集的分離性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出L-半拓?fù)淇臻g中的定義以及相關(guān)概念。

定義1[11]設(shè)X是任一非空集合，δ是X的一些子集構(gòu)成的集族，如果下列條件被滿足:

(1)X∈δ。

(2)若Gλ∈δ(λ∈Λ)，則∪λ∈ΛGλ∈δ(其中Λ為任意指標(biāo)集)。則稱δ為集合X的L-半拓?fù)?，并且稱有序偶(X,δ)為一個(gè)L-半拓?fù)淇臻g，集族δ中的每一個(gè)集合都稱為L-半拓?fù)淇臻g(X,δ)的L-開集。

類比拓?fù)鋵W(xué)(參考文獻(xiàn)[15])中相應(yīng)概念，引入L-半拓?fù)渲腥缦乱恍└拍睢?/p>

定義6設(shè)Χ，Y為兩個(gè)L-半拓?fù)淇臻g，f：X→Y是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，如果f：X→Y與f-1：Y→X都L-連續(xù)，則稱映射f：X→Y為一個(gè)L-同胚映射。

定義7設(shè)Χ為L-半拓?fù)淇臻g，在同映射下保持不變的性質(zhì)稱為L-半拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。

定義8設(shè)(Χ,δ)是一個(gè)L-半拓?fù)淇臻g。

定義9設(shè)(Χ,δ)是一個(gè)L-半拓?fù)淇臻g。

定義10設(shè)(Χ,δ)是一個(gè)L-半拓?fù)淇臻g，L-半拓?fù)淇臻gΧ稱為L-完全正則空間，如果對(duì)于Χ中任何閉集F以及任何x∈XF，存在L-連續(xù)映射f：X→[0,1]，使得f(x)=0且f(F)?{1}。

定義12設(shè)(X,δ)為L-半拓?fù)淇臻g，L-半拓?fù)淇臻gX稱為L-A1空間，對(duì)于?x∈X，點(diǎn)x有一個(gè)至多可數(shù)的L-鄰域基。

定義13設(shè)(X,δ)為L-半拓?fù)淇臻g，L-半拓?fù)淇臻gX稱為L-A2空間，如果X有一個(gè)至多可數(shù)的L-半拓?fù)浠?/p>

此外，本文中涉及到的概念、術(shù)語和記號(hào)，如果沒有特殊申明，都來自于文獻(xiàn)[15]。

2 L-半拓?fù)淇臻g中的基本點(diǎn)集性質(zhì)

定理1設(shè)(X,δ)為L-半拓?fù)淇臻g，A?Y?X，則：

(1)Y是X的L-閉集，則A是X的L-閉集當(dāng)且僅當(dāng)A是Y的L-閉集。

(2)Y是X的L-開集，若A是X的L-開集，那么A是Y的L-開集。反之結(jié)論不成立。

證明(1)(必要性)A閉于X，則A∩Y閉于Y，而A∩Y=A,因此A閉于Y。

(充分性)設(shè)A閉于Y，由文獻(xiàn)[11]定理2.6(1)可知，存在X中閉集F使得A=F∩Y,又因Y是X中閉集，由文獻(xiàn)[11]定理2.2(LF2)可知F∩Y是X中閉集，故A閉于X。

(2) 因?yàn)锳開于X，則A∩Y開于Y，又A?Y，則A∩Y=A，因此A開于Y。

反之，取X={a,b,c},δ={{a,b},{b,c},X}，Y={a,b}，A=，則A?Y?X，顯然Y是X中的L-開集，A是Y中的L-開集，但A不是X中的L-開集。

定理2設(shè)(X,δ)為L-半拓?fù)淇臻g，A?Y?X，有intX(A)≠intY(A)∩intX(Y)。

證明取X={a,b,c},δ={{a,b},{b,c},X}并且Y={b,c},A=,則intX(A)=φ,intY(A)=,intX(Y)={b,c}，所以,intY(A)∩intX(Y)=。進(jìn)而，intX(A)≠intY(A)∩intX(Y)。

3 L-半拓?fù)淇臻g上的連續(xù)映射和同胚映射

為了給出L-連續(xù)映射的等價(jià)刻畫，先引入L-鄰域基和L-鄰域子基的概念：

在此，關(guān)于L-連續(xù)映射有如下等價(jià)刻畫：

定理3設(shè)Χ與Y都是L-半拓?fù)淇臻g，f:X→Y，x∈X，則下列三個(gè)命題等價(jià)：

(1)f在點(diǎn)x處L-連續(xù)。

(2)點(diǎn)f(x)有一個(gè)L-鄰域基νf(x)，使得?V∈νf(x)，有f-1(V)∈U(x)。

(3)點(diǎn)f(x)有一個(gè)L-鄰域子基Wf(x)，使得?W∈Wf(x),有f-1(W)∈U(x)。

證明采用(1)?(2)?(3)?(1)的順序進(jìn)行證明。

定理4若f:X→Y和g:Y→Z均為L-連續(xù)映射，則復(fù)合映射g°f:X→Z也是L-連續(xù)映射。

證明 設(shè)G開于Z，因?yàn)間:Y→Z為L-連續(xù)，故g-1(G)開于Y，又因?yàn)閒:X→Y為L-連續(xù)，故g°f-1G=f-1(g-1(G))開于X，故g°f是L-連續(xù)。

定理5鄰域、內(nèi)點(diǎn)、閉包都具有L-半拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。

(2)再證內(nèi)點(diǎn)具有L-半拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。

設(shè)A?X，f：X→Y是一個(gè)L-同胚映射，則f(A0)=(f(A))0。

事實(shí)上，?x∈A0，存在G開于X使得x∈G?A，則f(x)∈f(G)?f(A)。因?yàn)閒:X→Y是L-同胚，則f(G)開于Y，所以，f(x)∈(f(A))0。即f(A0)?(f(A))0。

反過來，?y∈(f(A))0，存在W開于Y使得y∈W?f(A)，則f-1(y)?f-1(W)?f-1f(A)=A。因此f-1(y)?f-1(W)?A0，故y∈W?f(A0)，所以(f(A))0?f(A0)，從而，f(A0)=(f(A))0。

(3) 下證閉包具有L-半拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)。

4 L-半拓?fù)淇臻g中的分離性質(zhì)

在L-半拓?fù)淇臻g中，L-T0空間、L-T1空間和L-T2空間三者之間有如下關(guān)系。

定理6存在L-T0空間不是L-T1空間，也存在L-T1空間不是L-T2空間。

證明(1)先證L-T0?L-T1。

取X={a,b,c}，δ={{a,b},{a,c},X}，顯然X是L-T0空間，然而對(duì)于點(diǎn)a,b而言，含b的L-開集必含有a，所以X不是L-T1空間。

再證L-T1?L-T2。

L-半拓?fù)淇臻g中L-T1空間和L-T2空間有如下兩個(gè)等價(jià)條件。

(充分性)反證若X不是L-T1空間，則?x,y∈X,x≠y,則?U∈U(x),有y∈U,則y∈b,c∩G(x)，又∩G(x)={x}，則y∈{x}，這與x≠y矛盾，則X是L-T1空間。

在一般拓?fù)淇臻g中有(參考文獻(xiàn)[15])：(1)T1空間的任意有限子集的導(dǎo)集是空集。(2)X為T1空間，A?X，則A的導(dǎo)集必為閉集。但在L-半拓?fù)淇臻g中，上述兩個(gè)結(jié)論不成立。

例1取X={a,b,c},δ={{a,b},{b,c},{a,c},X}，則X為L-T1空間，再取X中任一有限子集A={a,b},則A′={c}，顯然A′≠φ。

例2取X={a,b,c},δ={{a,b},{b,c},{a,c},X}，則X為L-T1空間，取A={a,b,c}，則A′={a,b,c}，顯然A′不是閉集。

下面是關(guān)于L-半拓?fù)淇臻g中正則空間以及正規(guī)的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論。

定理9設(shè)X為L-半拓?fù)淇臻g，則正則的L-T0空間是L-T2空間。

定理12設(shè)X為L-半拓?fù)淇臻g，則L-正規(guī)空間X為完全L-正則空間當(dāng)且僅當(dāng)它是L-正則空間。

定理13設(shè)B為X的一個(gè)L-半拓?fù)浠?，則?x∈X,Bx={B|x∈B∈B}為點(diǎn)x的一個(gè)L-開鄰域基。

5 結(jié)束語

本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步的研究了L-半拓?fù)淇臻g中的一些性質(zhì)，得到了L-半拓?fù)淇臻g中關(guān)于連續(xù)性和分離性的一些結(jié)果。從而，豐富了L-半拓?fù)淇臻g理論。同時(shí)，給出反例說明了在拓?fù)淇臻g中成立的命題而在L-半拓?fù)淇臻g中不成立。