微教研“完全平方式”引發(fā)的思考

崔恒劉

[摘要]蘇科版教材中沒(méi)有“完全平方式”的概念，然而在教材配套的補(bǔ)充習(xí)題中遇到有關(guān)“完全平方式”的問(wèn)題，教研組組織教師研討。出現(xiàn)套用相近概念“平方數(shù)、完全平方公式”的兩種不同解讀，一種觀點(diǎn)是可以寫作整式平方的式子就是“完全平方式”;另一種觀點(diǎn)是一個(gè)多項(xiàng)式（不能是單項(xiàng)式）的平方才能稱為“完全平方式”。研討的話題看似意義不大，但很典型，因?yàn)樵诮虒W(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到一些有爭(zhēng)議的概念、題目和解法，當(dāng)學(xué)生提出這類問(wèn)題時(shí)，總是采取繞開(kāi)、回避的策略肯定不是上策。在教研活動(dòng)中大家各抒己見(jiàn)，充分研討交流，并反思概念教學(xué)、選題改編的數(shù)學(xué)教育問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]完全平方式;描述性定義;概念教學(xué)

停課不停學(xué)，線上教學(xué)期間，我校各年級(jí)備課組的教研活動(dòng)改為視頻會(huì)議、線上研討，3月20日，備課組長(zhǎng)拋出了一個(gè)話題，教師各抒己見(jiàn)，筆者全程參與，感覺(jué)這是一次關(guān)于“數(shù)學(xué)概念教學(xué)、課堂練習(xí)選題”的深度研討，為豐富視角，促進(jìn)更多更廣泛的交流研討，筆者將研討內(nèi)容及個(gè)人一點(diǎn)思考整理成文。與讀者研討。

1研討話題

蘇科版七下數(shù)學(xué)課本配套的《補(bǔ)充習(xí)題》第49頁(yè)9.5“多項(xiàng)式的因式分解（3）”第5題：二項(xiàng)式4m²+9加上一個(gè)單項(xiàng)式后是一個(gè)含有m的完全平方式。請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的單項(xiàng)式。

教參提供的答案是：答案不唯一，如12m。

我們交流討論明確的問(wèn)題是：學(xué)生填寫單項(xiàng)式一9是否正確？也就是說(shuō)整式4m²是否是完全平方式？

2 研討紀(jì)要

師₁：這一題有幾個(gè)符合要求的答案？我們備課組要統(tǒng)一一下認(rèn)識(shí)。

師₂：題目不要求寫全，填寫一個(gè)，如12m即可。

師：如果學(xué)生填寫單項(xiàng)式-9對(duì)不對(duì)？

師₄：不對(duì)，不能填寫單項(xiàng)式-9.二項(xiàng)式4m²+9加上一個(gè)單項(xiàng)式-9后，為4m²，是一個(gè)單項(xiàng)式，不是完全平方式。

師₃：完全可以填單項(xiàng)式-9，4m²=（2m）²，是完全平方式。

師₄：完全平方式，顧名思義，得名于完全平方公式。

師₅：不對(duì)，書上沒(méi)有完全平方式的概念，我在網(wǎng)上搜索“什么叫做完全平方式”：完全平方式是指如果滿足對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸。如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B，使A=B²的條件話，則稱A是完全平方式。

師₃：是的，系數(shù)都不需要是整數(shù)，只要能改寫成一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B的平方形式，就是完全平方式。2m是單項(xiàng)式。也是整式，因此4m²是完全平方式。不但如此。m的平方和4都可以叫完全平方式。

師₆：我認(rèn)為不對(duì)。類比平方數(shù)，m的平方和4叫平方式即可。完全二字有點(diǎn)做作。

師₄：研讀教材，為什么第8章“冪的運(yùn)算”中沒(méi)有類似的問(wèn)題？學(xué)習(xí)了“完全平方公式”后，它才冒出來(lái)，由此應(yīng)該看出，一個(gè)多項(xiàng)式（不能是單項(xiàng)式）的平方才能稱為“完全平方式”。

師₇：題目只要寫一個(gè)答案，又沒(méi)有要求寫全的，講時(shí)要求學(xué)生補(bǔ)中間項(xiàng)即可。

師₁：我認(rèn)為還是要弄清楚好，如果學(xué)生做某本教輔用書時(shí)遇到困難來(lái)問(wèn)我?；蛘咂綍r(shí)考試中遇到此類問(wèn)題我們老師該如何處理？

師₇：我跟學(xué)生說(shuō)，這類題目不會(huì)考，遇到不做也沒(méi)有關(guān)系。

師₈：是的，教材也有說(shuō)不清的時(shí)候。

師₁：這類題考查的目的我們都顯而易見(jiàn)的，所以沒(méi)有辦法回避。還是弄清楚為好。

師₉：如果學(xué)生問(wèn)，就說(shuō)填寫-9也對(duì)。但是為了不失分。最好不要填寫-9.我以前與編輯交流這類有歧義的問(wèn)題時(shí)。他們的回答是盡量避開(kāi)。

師₈：是的，這類題挺重要的。但要說(shuō)清楚呢，又感覺(jué)到噦嗦。所以很無(wú)奈。

師₁₀：細(xì)讀上面討論，我同意師。的觀點(diǎn)！師。是研讀蘇科版教材后發(fā)表的意見(jiàn)！各位細(xì)評(píng)師。的話：完全平方式，顧名思義，得名于完全平方公式。為什么第8章“冪的運(yùn)算”中沒(méi)有類似的問(wèn)題？學(xué)習(xí)了“完全平方公式”后，它才冒出來(lái)，由此應(yīng)該看出，一個(gè)多項(xiàng)式（不能是單項(xiàng)式）的平方才能稱為“完全平方式”。

師₇：大家不要糾結(jié)，中考命題時(shí)，試卷上每一個(gè)概念都要翻課本，比如：負(fù)倒數(shù)、函數(shù)的解析式等名詞均不會(huì)出現(xiàn)。這個(gè)也是中考最后去審題的老師任務(wù)之一。

師₈：關(guān)鍵在于平時(shí)考試時(shí)，我們的命題老師可能疏忽所以師、說(shuō)得好，我們要統(tǒng)一思想，來(lái)一個(gè)考試規(guī)范。

3 研討思考

教研活動(dòng)雖然暫告一段落，但研討引發(fā)的思考并沒(méi)有停止。筆者談一點(diǎn)個(gè)人的所思所想。歡迎拍磚。

思考一 孟子曰：賢者以其昭昭，使人昭昭。意思是：賢人先使自己明白，然后才去使別人明白。教育者先受教育，教師先要自己弄明白，然后才能使學(xué)生明白。研討的話題看似意義不大，但很典型，在我們?nèi)粘５慕虒W(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些概念、規(guī)定，本身存在一定的爭(zhēng)議，而即使討論最終能夠探討明白，也并沒(méi)有多大的價(jià)值。因此有些教師、專家、教材編寫者認(rèn)為應(yīng)盡量避免在這種無(wú)意義的問(wèn)題上浪費(fèi)時(shí)間。正如討論中師，說(shuō)“我跟學(xué)生說(shuō)，這類題目不會(huì)考，遇到不做也沒(méi)有關(guān)系”。但是在學(xué)生提出這類問(wèn)題時(shí)?？偸遣扇±@開(kāi)的策略也不見(jiàn)得是上策。換一種思路思考：從這些模糊有爭(zhēng)議的地方出發(fā)，就可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于嚴(yán)謹(jǐn)性的追求正是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的動(dòng)力之一，有些看似無(wú)價(jià)值，但其中蘊(yùn)含的思維取向卻不見(jiàn)得沒(méi)有意義，特別是作為教學(xué)研究，不應(yīng)把實(shí)用價(jià)值作為唯一的評(píng)價(jià)取向。

思考二 關(guān)于“完全平方式”的定義。筆者查閱了不同的教科書及文獻(xiàn)資料：

（1）人教版數(shù)學(xué)課本在八上第十四章《整式的乘法與因式分解》，14.2“乘法公式”，14.2.2“完全平方公式”這一節(jié)中，明確指出：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。也就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式。

在14.3“因式分解”。14.3.2“公式法”一節(jié)中。則明確給出“完全平方式”的定義：“我們把a(bǔ)²+2ab+b²和a²-2ab+b²。這樣的式子叫做完全平方式”。利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項(xiàng)式因式分解。

（2）北師大版數(shù)學(xué)課本在八年級(jí)下冊(cè)第四章《因式分解》第3節(jié)“公式法”中：形如a²±2ab+b²的式子稱為完全平方式。

（3）浙教版數(shù)學(xué)課本七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”也指出：我們把多項(xiàng)式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式。在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)。關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式。

（4）蘇科版數(shù)學(xué)課本七下第9章《整式乘法與因式分解》，沒(méi)有“完全平方式”的概念，在9.4“乘法公式”一節(jié)中，用的語(yǔ)句是：我們得到完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。在9.5多項(xiàng)式的因式分解中，則沒(méi)有提及“完全平方式”，全章中無(wú)論是知識(shí)、例題，還是習(xí)題，也沒(méi)有出現(xiàn)“完全平方式”，只在教材組配套的《補(bǔ)充習(xí)題》中出現(xiàn)。

（5）網(wǎng)上搜索，百度百科“完全平方式”：（本詞條由“科普中國(guó)”科學(xué)百科詞條編寫與應(yīng)用工作項(xiàng)目審核，審核專家劉軍）完全平方式是指如果滿足對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B。使A=B²的條件話，則稱A是完全平方式，亦可表示為（a+b）²=a+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。該公式是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要的知識(shí)基礎(chǔ)，是因式分解的常用到的公式。中文名：完全平方式：外文名：Perfect square trinomial。

從文獻(xiàn)資料可以看出：人教版、北師大版、浙教版都是用的描述性定義，需要注意的是它們指明多項(xiàng)式a²±2ab+b²是“完全平方式”。但沒(méi)有說(shuō)完全平方式就一定是這兩種形式的多項(xiàng)式或者說(shuō)其它的就一定不是“完全平方式”;百度百科用的是嚴(yán)格規(guī)范的數(shù)學(xué)定義，由定義中的關(guān)鍵A=B²，B是一個(gè)實(shí)系數(shù)整式，單項(xiàng)式是整式。我們根據(jù)百度百科可以說(shuō)4m²=（2m）²，是完全平方式，但是值得注意的是百度百科給出定義后，又特別指明“亦可表示為（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²?！辈⑶艺f(shuō)該公式是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要的知識(shí)基礎(chǔ)。是因式分解的常用到的公式。

思考三 何為減負(fù)？教得多，考得少，才是減負(fù)。教得少，考得多。反會(huì)增加師生及家長(zhǎng)負(fù)擔(dān)。從人教版、北師大版、浙教版、百度百科等資料上我們還讀出：文獻(xiàn)資料都強(qiáng)調(diào)了“把多項(xiàng)式a²±2ab+b²叫做完全平方式”。并且強(qiáng)調(diào)是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算與變形的重要的知識(shí)基礎(chǔ)，是因式分解的常用到的公式。完全平方式，亦可表示為（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。該公式是只有多項(xiàng)式才能因式分解。蘇科版教材則淡化處理，把教學(xué)的重心放在能推導(dǎo)、多角度理解、運(yùn)用公式上。教師應(yīng)該認(rèn)真鉆研教材，領(lǐng)會(huì)編寫意圖，把教學(xué)的重心放在提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上。數(shù)學(xué)的核心知識(shí)。主干知識(shí)最重要。因此淡化概念教學(xué)。相配套的練習(xí)、習(xí)題、考試等也要與之相對(duì)應(yīng)。作為數(shù)學(xué)教師，我們要與時(shí)俱進(jìn)，不能任憑自己的主觀想象或經(jīng)驗(yàn)感覺(jué)，拿到題目就進(jìn)課堂。我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)研讀新課標(biāo)、新教材，明確課標(biāo)要求，吃透教材，明確哪些內(nèi)容該教，哪些知識(shí)不該講，題目想考查什么？能不能進(jìn)課堂，心中要有數(shù)。如針對(duì)討論的源題，我們應(yīng)該思考或者說(shuō)換個(gè)角度來(lái)看：這個(gè)題目考查目的是什么？是不是為了考查完全平方公式？

思考四 教師要學(xué)會(huì)選題改編題。選題應(yīng)緊扣教材、課標(biāo)和當(dāng)?shù)刂锌家?，而不能心系教輔。被教輔牽著走，不能說(shuō)練習(xí)冊(cè)上一出現(xiàn)就非得講。不適合的題堅(jiān)決刪除，如果感覺(jué)有可取之處，則必須將題目適當(dāng)?shù)母木帪槲医虒W(xué)所用。

如：常見(jiàn)填空題“____是9的平方根”就非常不好，你說(shuō)學(xué)生填3是9的平方根，錯(cuò)在哪兒？難道3不是9的平方根？為什么非要根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)答案填“3或一3”？你要考查學(xué)生一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，干嘛不出“9的平方根是____”？

再如研討所涉及的題目是好題。它能考查學(xué)生對(duì)完全平方公式的掌握程度和重要的數(shù)學(xué)思想分類。但是有爭(zhēng)議。我們需要改編：

（1）如果二項(xiàng)式4m²+9加上一個(gè)單項(xiàng)式后能成為一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，那么這個(gè)單項(xiàng)式是什么？

（2）如果多項(xiàng)式4m²-6m+9加上一個(gè)單項(xiàng)式后能成為一個(gè)整式的完全平方，那么這個(gè)單項(xiàng)式是什么？

這樣在課堂上組織引導(dǎo)學(xué)生分類討論。既能幫助學(xué)生深度理解完全平方公式，又將分類的數(shù)學(xué)思想自然滲透其中，考試時(shí)則用填空或選擇題的形式。