數(shù)學(xué)教學(xué)必須突出數(shù)學(xué)本質(zhì)

李樹臣 劉文成

[摘要]數(shù)學(xué)教學(xué)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本所在，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的各項(xiàng)構(gòu)成“指標(biāo)”都是在突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸形成和發(fā)展而來的。數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的宏觀途徑是精心創(chuàng)設(shè)問題情境，突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分揭示數(shù)學(xué)概念（定理、法則、公式、規(guī)律）的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和應(yīng)用過程。在過程中充分感悟有關(guān)的數(shù)學(xué)思想。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)本質(zhì);問題情境;數(shù)學(xué)概念;數(shù)學(xué)思想;經(jīng)歷過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是為了提高學(xué)生的這種基本素養(yǎng)，實(shí)踐證明，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下，通過長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸形成和發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)本質(zhì)是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其它學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì)。數(shù)學(xué)教學(xué)如何反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)呢？這是大家都在思考與探索的問題，筆者認(rèn)為應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注五個(gè)問題。

1精心創(chuàng)設(shè)問題情境

任何數(shù)學(xué)知識(shí)都不是“無中生有”的，都有其產(chǎn)生的基本“土壤”（也有應(yīng)用的“場(chǎng)地”），在學(xué)習(xí)這樣的知識(shí)時(shí)，教師首先要找到這樣的“土壤”，并設(shè)計(jì)一些問題，然后用這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究、思考、交流等活動(dòng)，在活動(dòng)的過程中完成對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)，這個(gè)過程就是創(chuàng)設(shè)問題情境。

創(chuàng)設(shè)問題情境對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要的作用，有的老師利用問題情境“澄清”對(duì)某些知識(shí)的模糊認(rèn)識(shí)，從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)知識(shí)。例如在學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)和判定時(shí)，由于學(xué)生搞不清楚二者之間的本質(zhì)差別，經(jīng)常出現(xiàn)把“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”混用的現(xiàn)象。為了幫助學(xué)生從根本上理解二者的本質(zhì)。我們可創(chuàng)設(shè)下面的問題情境：

案例1小澤林的證明正確嗎？

如圖1，AC和BD相交于點(diǎn)O，AB//CD，OA=OB。

求證：OC=OD。

下面是小澤林給出的證明過程：

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)案例選自學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的真實(shí)案例，由于許多學(xué)生不能從根本上理解“等腰三角形的性質(zhì)和判定”的本質(zhì)，學(xué)習(xí)中往往不能正確選擇利用，表現(xiàn)在解題時(shí)“混用”二者。本案例是為了幫助學(xué)生真正理解等腰三角形的“性質(zhì)”和“判定”，明確二者的區(qū)別與聯(lián)系：“性質(zhì)”指的是已知這個(gè)三角形是等腰三角形，然后推出的一些結(jié)論，如等腰三角形的兩邊相等，兩個(gè)底角相等。所以在等腰三角形的性質(zhì)中“邊相等”在前面，即“等邊對(duì)等角”：而“判定”指的是根據(jù)一些條件來判斷一個(gè)三角形是不是等腰三角形?！斑呄嗟取笔峭瞥龅慕Y(jié)論，應(yīng)寫在后面，即“等角對(duì)等邊”。

教學(xué)中，利用學(xué)生容易混淆、模糊的知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)設(shè)“矛盾”的問題情境是引導(dǎo)學(xué)生明確有關(guān)知識(shí)之間區(qū)別與聯(lián)系的常用方法。這樣的問題情境突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，符合《課標(biāo)（2011年版）》提出的“幫助學(xué)生理清相關(guān)知識(shí)之間的區(qū)別和聯(lián)系”的要求。

2 要注重突出知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三部分之間的內(nèi)容以及每個(gè)部分內(nèi)部的知識(shí)之間都存在著“實(shí)質(zhì)性”的聯(lián)系，教學(xué)時(shí)，突出有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，就能揭示出教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

案例2平方差公式的探究發(fā)現(xiàn)過程。

平方差公式（a+b）·（a+b）=a²-b²，是整式乘除中的一個(gè)重要內(nèi)容。把公式的左、右兩邊交換位置得到a²-b²=（a+b）（a-b），利用這個(gè)公式可以進(jìn)行因式分解。為了引導(dǎo)學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)公式a²-b²=（a+b）（a-b），我們從“數(shù)形”之間的聯(lián)系出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探索如下：

實(shí)驗(yàn)操作

（1）剪一個(gè)邊長為a的正方形硬紙片;

（2）按照?qǐng)D2所示的方式，在邊長為a的正方形硬紙片上，剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b）：

思考發(fā)現(xiàn)

（1）圖2中減去邊長為b的小正方形后，剩下部分（陰影部分）的面積為____;

（2）如果把剩下的部分（陰影部分）沿著虛線剪開，然后利用這兩部分紙片進(jìn)行拼圖試驗(yàn)，那么你能拼成一個(gè)怎樣的圖形？相互交流。

（3）計(jì)算你拼出的圖形的面積____;

（4）由此你能得到一個(gè)怎樣的公式？請(qǐng)寫出來：____。

學(xué)生在上述問題的引導(dǎo)下，從“幾何”的角度得到了“代數(shù)”的結(jié)論，更加認(rèn)識(shí)到代數(shù)與圖形之間存在的固有聯(lián)系，并且加深了對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和理解。積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在以后的學(xué)習(xí)過程中，當(dāng)他們?cè)儆龅筋愃频那榫硶r(shí)，便能積極主動(dòng)的開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，這樣的活動(dòng)可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力。

教學(xué)中，教師要把每堂課的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系之中。引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)逐步體會(huì)到知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，從而感受到數(shù)學(xué)的整體性。

3 充分揭示數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一定要充分揭示其內(nèi)涵。數(shù)學(xué)概念的建立過程大致需要經(jīng)過“感知-分析-概括-表述”四個(gè)階段，首先教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境，給出一些問題，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)問題進(jìn)行思考的基礎(chǔ)上形成感性認(rèn)識(shí)，然后教師給出若干個(gè)具有這種“特性”的“結(jié)構(gòu)式子”，讓學(xué)生進(jìn)行觀察與分析，由此抽象概括出它們的本質(zhì)，最后給出規(guī)范的數(shù)學(xué)定義。為突出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，應(yīng)從這個(gè)概念的內(nèi)涵與外延上進(jìn)行深層次的剖析。

案例3正弦概念本質(zhì)的分析過程。

《課標(biāo)（2011年版）》指出“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）”。筆者認(rèn)為在這些概念的建立過程中“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”中的“比”是核心知識(shí)。把銳角A的正弦、余弦、正切叫銳角三角比更能反映它們的實(shí)質(zhì)。

銳角三角比在本質(zhì)上是個(gè)“比”值，為突出這個(gè)比值，可設(shè)計(jì)下面的問題情境：

操作計(jì)算

（1）如圖4，把平放在地面上的長為2m的平滑木板AB的一端B抬高1m。在木板上分別取點(diǎn)B₁，B₂，B₃，B₄，并量取它們到A點(diǎn)的距離AB₁，AB₂，AB₃，AB₄，以及它們距地面的高度B₁C₁，B₂C₂，B₃C₃，B₄C₄，數(shù)據(jù)如下表所示：

剖析本質(zhì)

以正弦為例結(jié)合圖5與圖6，通過相互討論、交流、歸納出正弦的本質(zhì)。

①正弦在本質(zhì)上是一個(gè)“比”：

④因?yàn)閨y|≤r，所以這個(gè)比值不會(huì)超過1.

如圖6，只要點(diǎn)P（x，y）確定了，三個(gè)量x，y，r也是確定的，任意兩個(gè)量都能確定一個(gè)比值，由此可得六個(gè)比值。因此，基本銳角三角比有且只有六個(gè)，這便是銳角三角比的外延，我們?cè)诔踔袃H學(xué)習(xí)其中的三個(gè)。

研究表明，一個(gè)新的概念如果沒有操作過程很難轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)體。因此，在對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理（定理、法則、公式、規(guī)律）的教學(xué)中，首先要認(rèn)真研讀教材，分析概念、原理的本質(zhì)，然后設(shè)置一個(gè)問題系列，以此引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)問題的思考、探索，找出概念、原理的內(nèi)涵，在此基礎(chǔ)上給出概念和原理。只有這樣學(xué)生才能從“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的高度上去理解數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)原理的實(shí)質(zhì)。

4 突出數(shù)學(xué)思想

日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏曾經(jīng)指出：學(xué)生在校學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)一段時(shí)間不用，很快就會(huì)忘掉，但是數(shù)學(xué)的精神、思維方法、研究方法和著眼點(diǎn)卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，相伴終生。數(shù)學(xué)思想同數(shù)學(xué)概念、定理、法則、規(guī)律以及描述它們的數(shù)學(xué)語言一樣，都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，這種知識(shí)“蘊(yùn)涵在知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括”，突出數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，能注重知識(shí)之間的聯(lián)系，當(dāng)然也就突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

案例4感悟模型思想的“載體”分析。

《課標(biāo)（2011年版）》在“總目標(biāo)”中提出的“基本思想”主要包含三種，模型思想是其中的一種，模型思想主要是在建立數(shù)學(xué)模型的過程中形成和發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的。采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。”數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系體現(xiàn)在“數(shù)學(xué)化”上。數(shù)學(xué)化的本質(zhì)就是“數(shù)學(xué)模型”的運(yùn)用。

模型思想是學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，逐漸感悟形成的，在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容中存在著大量的“數(shù)學(xué)模型”，例如，用字母、數(shù)字或其他數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建得到的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。近幾年中考題中涉及的主要數(shù)學(xué)模型有：方程（組）模型、不等式（組）模型、函數(shù)模型、幾何模型（或三角模型）、統(tǒng)計(jì)模型、概率模型等。利用這些模型可以解決的問題涉及學(xué)習(xí)、生產(chǎn)和生活的方方面面。

讓學(xué)生感悟模型思想的知識(shí)“載體”散見于《課標(biāo)（2011年版）》界定的課程內(nèi)容之中，建立“五光十色”的數(shù)學(xué)模型解答“豐富多彩”的數(shù)學(xué)問題是幫助學(xué)生感悟、形成模型思想的重要途徑。對(duì)于“模型思想應(yīng)該在數(shù)學(xué)本質(zhì)意義上給學(xué)生以感悟，以形成正確的數(shù)學(xué)態(tài)度?！睂W(xué)生在學(xué)習(xí)這些“載體”知識(shí)時(shí)，教師要及時(shí)設(shè)置一些通過建立相應(yīng)“模型”解決的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生去解答。這樣學(xué)生就不僅能學(xué)好這些知識(shí)，還能感悟到模型思想。并且能實(shí)現(xiàn)“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系的目標(biāo)。

數(shù)學(xué)思想是以具體知識(shí)為“載體”的，是數(shù)學(xué)知識(shí)的“靈魂”，教材就是用數(shù)學(xué)思想“串聯(lián)”起來的，要突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，就必須讓學(xué)生在過程中感悟數(shù)學(xué)思想，而且感悟的過程還要體現(xiàn)“逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升”原則。

5 充分展示知識(shí)的形成和應(yīng)用過程

華羅庚先生曾說過：“不要只給學(xué)生看做好了的飯，更要讓學(xué)生看做飯的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)要設(shè)法使數(shù)學(xué)知識(shí)‘活起來?！弊⒅剡^程教學(xué)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的使然。這里的過程主要指：

5.1 知識(shí)的形成過程

在引導(dǎo)學(xué)生探究、學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師要按照“知識(shí)背景一知識(shí)形成一揭示聯(lián)系”的程序進(jìn)行。設(shè)置一些引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的問題系列，讓他們以“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的方式經(jīng)歷一些數(shù)學(xué)過程。這樣的導(dǎo)學(xué)過程能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好的理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，了解知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。如前面的案例2就很好的體現(xiàn)了平方差公式的探究發(fā)現(xiàn)過程。

5.2 知識(shí)的應(yīng)用過程

在學(xué)生掌握了具體的數(shù)學(xué)知識(shí)后。教師要按照“問題情境一建立模型一求解驗(yàn)證”的程序設(shè)置一些運(yùn)用這些知識(shí)解決問題的活動(dòng)。學(xué)生在解決問題的過程中，特別是在解決一些綜合程度稍微高一點(diǎn)的問題時(shí)，不僅能加深對(duì)有關(guān)知識(shí)的理解，明確知識(shí)之間的相互聯(lián)系，還有助于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，更好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

知識(shí)的應(yīng)用過程分為“單一”知識(shí)的應(yīng)用和多個(gè)知識(shí)的“綜合”應(yīng)用。前者主要體現(xiàn)在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，當(dāng)學(xué)生每學(xué)習(xí)了一個(gè)具體知識(shí)后，就及時(shí)設(shè)計(jì)能利用這個(gè)知識(shí)解決的問題。例如。在學(xué)習(xí)了各種具體方程的解法后，都可以設(shè)計(jì)通過列這種方程能解決的具體問題，通過解答這樣的問題，能讓學(xué)生反復(fù)體會(huì)到“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型”。對(duì)于方程的本質(zhì)也就有了進(jìn)一步的理解。后者則體現(xiàn)在“單元”復(fù)習(xí)或“綜合復(fù)習(xí)”之中，解答這樣的問題往往需要綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)才能解決。

（1）當(dāng)v=2時(shí)，解答：

①求S_頭與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）;

②當(dāng)甲趕到排頭位置時(shí)，求S_斗的值;在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為5fI，（m），求S_甲，與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）。

（2）設(shè)甲這次往返隊(duì)伍的總時(shí)間為T（s），求T與v的函數(shù)關(guān)系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊(duì)伍在此過程中行進(jìn)的路程。

析解：（1）①排頭與O的距離為S_斗=隊(duì)伍的速度×行進(jìn)時(shí)間+隊(duì)伍的長度，排頭走的路程為2t，則S_頭=2t+300;

②當(dāng)甲趕到排頭時(shí)，有4t=2t+300，得到t=150，此時(shí)，S_斗=2×150+300：600（m）。

甲從排頭返回到排尾用的時(shí)間為t-150.則S_甲=600-4（t-150）=-4t+1200.

設(shè)計(jì)意圖 本題是基本的“行程問題”，本質(zhì)上是由追及與相遇問題“合成”的問題。將其“還原”為“甲在初始地，排頭在距甲300米處。兩者同時(shí)開始向前進(jìn)。甲的速度為2v，排頭的速度為v，一段時(shí)間后兩者相遇：相遇后排頭繼續(xù)前進(jìn)，甲反向前進(jìn)，兩者速度大小不變，當(dāng)排頭與甲相距300米時(shí)，兩者同時(shí)停下”。

本題主要考查學(xué)生綜合利用方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，解答的關(guān)鍵是將甲與隊(duì)伍分開來分析，把行程問題分為兩個(gè)小問題分別進(jìn)行思考。學(xué)生通過解答本題，不僅進(jìn)一步加深了對(duì)方程、一次函數(shù)以及反比例函數(shù)的理解，而且更加體會(huì)到這些知識(shí)本身存在的內(nèi)部聯(lián)系，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)必須突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。以上討論了數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的五個(gè)宏觀途徑。為實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育目標(biāo)，教師應(yīng)認(rèn)真研究《課標(biāo)（2011年版）》，結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)問題情境，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷各種活動(dòng)的過程中，實(shí)現(xiàn)掌握知識(shí)、把握概念本質(zhì)、感悟數(shù)學(xué)思想、體驗(yàn)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，這都是突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的具體表現(xiàn)。