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    波利亞解題理論解決中考米勒問題的探究及反思

    2020-07-31 09:35:34崔濤
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2020年3期
    關(guān)鍵詞:切點米勒中考

    崔濤

    1米勒問題及相關(guān)研究

    1.1 米勒問題

    1471年。德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了一個十分有趣的問題:在地球表面什么部位,一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長?即在什么部位,可視角最大?該問題作為數(shù)學(xué)史上100個著名極值問題的第一個而備受關(guān)注。因為問題本身由德國數(shù)學(xué)家米勒提出。所以最大視角問題又被稱為“米勒問題”。

    為了方便問題的研究,將米勒問題進行抽象,如圖1所示:

    已知A。B分別是∠GCK的邊CG上的兩個定點。點P是CK邊上的動點,當點P在什么位置時,∠APB最大?

    1.2 中考中的米勒問題簡評

    追尋近幾年米勒問題在中考中的蹤跡。筆者發(fā)現(xiàn):2014年淄博中考24(3)為米勒問題,作出輔助圓后,涉及的主要知識點為切線的性質(zhì)、勾股定理、切割線定理等;2015陜西中考26(3),求cos∠BPC最小即是求∠BPC最大,作出輔助圓,找到切點,用勾股定理可進行求解;2016年金華中考第9題的足球最佳射門位置問題,是米勒問題的實際應(yīng)用,分析出圓心、半徑,作出輔助圓即可解決;2019年衢州中考24(3)也涉及米勒問題。題目雖需要分類討論。但只要以相切為突破口。打開解題局面,題目可迎刃而解;2019年煙臺中考25(3)的米勒問題,題面簡潔,解題脈絡(luò)清晰,易于引發(fā)學(xué)生的思考。可作為典型的解題案例。

    2 波利亞解題理論指導(dǎo)下的解題探究

    第(2)問,如圖5,因G,D為定點,所以GD長度固定要使四邊形GDNF周長最小,也即使GF+FN+ND最小。作G關(guān)于y軸的對稱點G,作D關(guān)于x軸的對稱點D',連接G'D'與x軸,y軸分別交于點N,f。此時,以G,D,N,F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小。為G'D'+GD的租

    第(3)問:

    1.理解題意

    該問為最值問題,已知條件有點B,D為定點,動點P的運動軌跡為y軸正半軸。初步判斷,該問題為米勒問題。過B,D兩點,作出與y軸相切的輔助圓。此時的切點P是使∠BPD度數(shù)最大的點。所以問題的實質(zhì)是求切點P的坐標。

    2.擬定方案

    在坐標系中。求點的坐標是常見問題。但是具體到不同的問題情境中。求解方法有所不同。筆者在波利亞解題理論的指導(dǎo)下。對擬定方案過程中的思維活動進行了詳細分析:

    方案一(如圖6):

    (1)點P在y軸上,可先設(shè)出其坐標P(0,n);找到長度為n的線段,設(shè)n=OP,進而將n轉(zhuǎn)數(shù)為形:

    (2)OP長度能直接求嗎?無法直接求出怎么辦?找與OP相等或成倍數(shù)關(guān)系的線段代替。或者構(gòu)造線段OP的和差關(guān)系。

    4.回顧反思

    再次對上述解題活動中用到的知識點進行梳理。重點是對學(xué)生解題思維的啟發(fā),即:遇到此類問題,我們應(yīng)該聯(lián)想什么。怎樣聯(lián)想。

    3 反思

    由解題到解題教學(xué)。從中考題目的研究到中考備考。筆者做出以下幾點反思。

    3.1 解題教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生思維活動的清晰建構(gòu)

    筆者認為。要想充分啟發(fā)學(xué)生的邏輯思維,高效開展解題教學(xué)。首先要引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)清晰的思維活動。思維活動由教師的提問、學(xué)生的獨立思考和師生之間的對話等激發(fā)。思維活動的建構(gòu)可在擬定方案的過程中充分進行,這對于啟發(fā)學(xué)生思維、總結(jié)解題經(jīng)驗、提高備考效率大有裨益。

    3.2 中考備考知識點復(fù)習(xí)重在“聯(lián)”不求“全”

    進人中考備考階段,知識點多、散,有些知識點靈活度高。因此,與“全面復(fù)習(xí)”相比,筆者認為更應(yīng)注重知識點的“內(nèi)在聯(lián)系”。這些知識點。學(xué)習(xí)之初。略顯分散,但是進入備考階段之后,學(xué)生們的知識儲備達到了一定量。在特定問題情景之下。這些看似分散的知識點,以思維為經(jīng)絡(luò),以運算為骨骼,進行了一次有機的結(jié)合。結(jié)合能力越強,學(xué)生解題能力越強,數(shù)學(xué)素養(yǎng)越高。因此中考備考階段?!奥?lián)系”的作用顯而易見。

    3.3 數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典問題應(yīng)該重回課堂

    對米勒問題進行探究后。筆者發(fā)現(xiàn)了問題本身的趣味性和實際應(yīng)用價值。在直線和圓的位置關(guān)系之后引入對該問題的探討,不僅可以將歷史名人和名題重現(xiàn),拉近學(xué)生和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的距離。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且能夠提高學(xué)生運用知識的靈活度,增強學(xué)生主動進行探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)能力。

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