聯(lián)想衍生 反思升華

何良

一道數(shù)學(xué)題的解法可能有多種。而且其中的某幾個(gè)解法之間還存在著某種關(guān)聯(lián)。從解題切入的角度看。并不是這幾個(gè)解法均能同時(shí)想到。而往往是最先想到其中的一種。然后由此衍生出其他解法。下面就一道考題，分析其解題切入，解法衍生，反思升華。供教學(xué)參考。

1 考題呈現(xiàn)

2 聯(lián)想衍生

2.1 聯(lián)想

這是2019年無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)填空壓軸題。它是在靜態(tài)的等腰三角形與動(dòng)態(tài)的正方形基礎(chǔ)上架構(gòu)起來(lái)的，并由此派生出待求面積最大值的三角形。那么如何求解這道考題呢？

如圖2的“內(nèi)弦圖”模型。也稱“一線三直角”模型。在幾何畫板中，以DE為直徑作圓，并在該圓上任取一點(diǎn)C。則△DEG是直角三角形。將△DEG繞正方形CDEF的中心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。即得△CDH。拖動(dòng)點(diǎn)G。當(dāng)Rt△DEG的直角邊EG與定角∠ABC的邊BA垂直時(shí)，即為圖2.那么拖動(dòng)點(diǎn)G，使Rt△DEG另一條直角邊DG與BA垂直。對(duì)解題是否有幫助呢？

類似地，拖動(dòng)點(diǎn)G，使Rt△DEG直角邊DG與∠ABC的另一邊BC垂直。問(wèn)題也可獲得解決。

在解法2中，由于待求面積最大值的△BDE與正方形CDEF是共邊的，通過(guò)建立“手拉手”模型，使問(wèn)題獲得解決那么對(duì)于△BDC來(lái)說(shuō)，雖然它與待求的結(jié)論沒(méi)有直接關(guān)系，但與正方形CDEF也是共邊的，倘若建立“手拉手”模型（如圖7），還能使問(wèn)題獲解嗎？在圖7中，當(dāng)連接CP時(shí)（如圖8），則△DCP的面積等于△BDE的面積。這個(gè)面積關(guān)系有助于求解△BDE的面積的最大值嗎？

3 反思升華

以上7種解法的生成可分為兩條線。由解法1衍生出解法3，4，5，由解法2衍生出解法6，并進(jìn)一步衍生出解法7.顯然，解法1、2是破門之法。它們分別涉及三角形的面積公式、“弦圖”、“手拉手”等模型（解法7所應(yīng)用的與兩正方形相關(guān)的面積等量關(guān)系可稱之為“等積”模型）。可見(jiàn)，模型在解題的切人中起到了關(guān)鍵作用。這給我們的啟示是在教學(xué)中應(yīng)多注意解題之后的總結(jié)反思，如反思解決問(wèn)題的切人模型、結(jié)論、變式、問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)。經(jīng)常這樣做有助于學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng)。特別是對(duì)發(fā)展學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識(shí)，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)等方面均有裨益。

4 一點(diǎn)建議

在所給的系列推廣中，推廣2中的結(jié)論（2）的證明是有難度的。也有意義，它是受前文考題的解法1的“一線三直角”特殊思想的啟發(fā)。在射線BH上構(gòu)造了“一線三等角”。由于問(wèn)題的一般化。其證明中涉及了字母運(yùn)算，這對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高要求，其證明又是分β<90°，β>90°兩種情形進(jìn)行的，而初中階段僅探討了銳角三角函數(shù)，沒(méi)有探討過(guò)sin（180°-β）=sinβ，tan（180°-β）=-tanβ等知識(shí)，故而對(duì)于β>90°情形，教學(xué)中，建議老師們只需探討特殊的鈍角情形，如β=120°，135°，150°，或給出鈍角β的補(bǔ)角的某三角函數(shù)值，當(dāng)然也可將其作為第二課堂的學(xué)習(xí)素材，或在推廣2，3的框架下，編擬一些具有一定層次的分步題，引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)地思考，以此提升學(xué)生的思維的廣度和深度。