設(shè)計(jì)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)知識(shí)內(nèi)涵理解
——“角的初步認(rèn)識(shí)”案例分析

江蘇錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校第一小學(xué) 季欣陽(yáng)

“角”是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。小學(xué)階段主要分兩段教學(xué)：第一階段是初步認(rèn)識(shí)角；第二階段是角的再認(rèn)識(shí)。本文要討論的是蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)“角的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)。由于該年齡段的學(xué)生認(rèn)識(shí)抽象的角存在一定困難，所以精心設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)尤為重要。通過(guò)不斷摸索，我們終于從“模模糊糊”走向了“清清楚楚”，找到了一些容易被學(xué)生接受的教學(xué)方法。下面就結(jié)合幾個(gè)片段前后的設(shè)計(jì)對(duì)比，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)。

一、利用已有認(rèn)知，主動(dòng)建構(gòu)表象

【片段一 原設(shè)計(jì)】

認(rèn)識(shí)特征

看圖并用“角”組詞。（出示牛角、眼角、嘴角、三角尺、書角、五角星）

談話：把這些角描出來(lái)，像下面這三個(gè)圖形就是我們數(shù)學(xué)中的“角”。（出示圖片）

提問(wèn)：跟上面的3個(gè)圖形相比，你覺(jué)得角最大的特征是什么？

辨析圖形“/ ”是否為角。

指出：像這樣直直的線，數(shù)學(xué)家稱它為邊。角的兩邊連在一起，稱為相交。而這個(gè)相交的點(diǎn)稱為頂點(diǎn)。

教師示范指角方法，并用小弧線表示。學(xué)生指一指后兩個(gè)角。

提問(wèn)：仔細(xì)觀察，角有幾個(gè)頂點(diǎn)幾條邊？

判斷三個(gè)角旋轉(zhuǎn)后是否依舊是角，并小結(jié)?！酒我?修改后】

認(rèn)一認(rèn)。

（1）看圖并用“角”組詞。

提問(wèn)：你覺(jué)得這里面哪些可能是我們今天要研究的數(shù)學(xué)中的角？

引導(dǎo)：上面這些牛角、眼角、嘴角，雖然都帶有“角”字，但和數(shù)學(xué)上的角關(guān)系不大，今天就不研究了。把下面這些描出來(lái)，得到的圖形就是數(shù)學(xué)中的角。

提問(wèn)：仔細(xì)觀察，角有哪些特征？

預(yù)設(shè)：直直的邊、尖尖角。

相機(jī)指出：像這樣直直的線叫做“邊”。這是它的邊，這也是它的邊。角的兩邊連在一起的點(diǎn)就叫“頂點(diǎn)”。

追問(wèn)：角有幾個(gè)頂點(diǎn)幾條邊？

（2）教師邊說(shuō)邊示范指角方法，并用小弧線表示。學(xué)生指一指后兩個(gè)角。

（3）判斷三個(gè)角旋轉(zhuǎn)后是否依舊是角。

指出：雖然位置發(fā)生了改變，但它們還是具備角的兩個(gè)特征，所以是角。

教師在最初設(shè)計(jì)時(shí)考慮到角的知識(shí)過(guò)于抽象，為了降低理解難度，設(shè)計(jì)了很多引導(dǎo)，限制了學(xué)生的發(fā)揮空間，使得教學(xué)過(guò)程十分僵硬。但試課后卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知水平遠(yuǎn)高于預(yù)設(shè)，他們有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，之前也初步認(rèn)識(shí)了簡(jiǎn)單的平面圖形，完全能感知到立體的角和近乎平面的物品上的角的差別。所以經(jīng)過(guò)修改，讓學(xué)生憑借數(shù)學(xué)直覺(jué)從六個(gè)“角”中找出本節(jié)課要研究的對(duì)象，經(jīng)過(guò)抽象，舍去無(wú)關(guān)因素，突出數(shù)學(xué)意義上的角，讓學(xué)生在頭腦中初步建構(gòu)角的表象。在觀察角的特征時(shí)，并不需要教師提供“/ ”這樣的圖形，學(xué)生基本都能說(shuō)到“尖尖的”，教師結(jié)合回答指出：“角的兩條邊連在一起的點(diǎn)就叫做頂點(diǎn)”。由于“相交”概念不屬于本階段學(xué)習(xí)范疇，故在修改后刪除了這個(gè)詞。

此外，修改后的教學(xué)環(huán)節(jié)條理更清晰，安排更合理。主要分四個(gè)層次，第一層次，揭示數(shù)學(xué)意義上的角，讓學(xué)生在頭腦中初步形成角的表象。第二層次，通過(guò)觀察認(rèn)識(shí)角的特征。第三層次，規(guī)范指角的方法，即從頂點(diǎn)出發(fā)，指兩條邊，并用弧線表示兩邊所夾空間。這個(gè)層次一方面是讓學(xué)生進(jìn)一步感受角的特征，另一方面是為后續(xù)以靜態(tài)描述方式定義角（即“從一個(gè)點(diǎn)引出兩條射線可以組成角”）做孕伏。第四層次，提供角的變式，豐富角的感知材料，深化角的表象。

對(duì)比前后兩次教學(xué)，明顯能感覺(jué)到后者給了學(xué)生更大的發(fā)揮空間，也更尊重他們的已有認(rèn)知，充分體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體地位。通過(guò)層層遞進(jìn)的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主建構(gòu)角的表象，發(fā)展空間觀念。

二、借助游戲活動(dòng)，深化角的認(rèn)知

【片段二 原設(shè)計(jì)】

學(xué)生拼搭一個(gè)角，使它變大或變小。同桌兩人比角。

全班交流如何比較兩個(gè)差不多大的角。

小結(jié)方法——觀察法和重疊法。

（出示兩條邊很長(zhǎng)的角）

提問(wèn)：這個(gè)角比你們做的角都要大，你同意嗎？

學(xué)生上臺(tái)用重疊法比較。

指出：角的大小與兩邊張開(kāi)程度有關(guān)，兩邊張開(kāi)得大，角就大；張開(kāi)得小，角就小。與所畫邊的長(zhǎng)短有關(guān)系嗎？

【片段二 修改后】

做一做。

（1）出示要求，學(xué)生做一個(gè)角。

引導(dǎo)學(xué)生想辦法比較兩個(gè)差不多大小的角。

介紹重疊法，指出觀察法和重疊法的適用情況。

同桌兩人比較角的大小。

（2）談話：下面我可要請(qǐng)小朋友們給手中的活動(dòng)角施點(diǎn)魔法了。你可得邊玩邊思考！聽(tīng)好魔法指令！請(qǐng)讓手中的角變大點(diǎn)！再變大！還再大一點(diǎn)！變小！再變??！還要更小！

提問(wèn)：有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

談話：我這里還有一個(gè)超級(jí)角呢！比你們?nèi)魏我粋€(gè)人做的角都要大！

提問(wèn)：我這個(gè)角大不大？你怎么覺(jué)得它大了？（邊很長(zhǎng)）

請(qǐng)?zhí)岢龇磳?duì)意見(jiàn)的學(xué)生做一個(gè)比“超級(jí)角”大的角，并用重疊法比一比。

引導(dǎo)：我要把這個(gè)角的邊再變長(zhǎng)點(diǎn)，這下比他的角大了吧？再變長(zhǎng)點(diǎn)，夠大了吧？再變長(zhǎng)，大不大？如果我把邊剪短一些，這個(gè)角變小了嗎？再剪掉點(diǎn)，變小了嗎？再剪掉！變小了嗎？（很短的邊）

提問(wèn)：通過(guò)剛才的游戲活動(dòng)，你有什么想說(shuō)的嗎？

指出：角的大小只和兩邊張開(kāi)程度有關(guān)，兩邊張開(kāi)得大，角就大，兩邊張開(kāi)得小，角就小，和所畫邊的長(zhǎng)度沒(méi)有關(guān)系。

在游戲中學(xué)習(xí)是每個(gè)學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的形式，也是習(xí)得知識(shí)與技能的一種重要途徑，又特別符合二年級(jí)學(xué)生的心理特點(diǎn)，所以課堂中添加游戲無(wú)疑像注入了“催化劑”。

本節(jié)課的難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)角的大小只與兩邊張開(kāi)程度有關(guān)以及掌握比較角的大小的方法。如何才能讓學(xué)生深刻體會(huì)知識(shí)的內(nèi)涵，教師又如何引導(dǎo)學(xué)生以積極的心態(tài)投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一直是筆者思考的問(wèn)題。原本筆者的設(shè)想是只要讓學(xué)生玩起來(lái)，就能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)知識(shí)的吸收，但事實(shí)上缺乏“思”的“玩”在數(shù)學(xué)教學(xué)中毫無(wú)意義。所以就出現(xiàn)了學(xué)生玩過(guò)后還是沒(méi)有理解知識(shí)的內(nèi)涵的現(xiàn)象。所以修改后筆者引導(dǎo)學(xué)生帶著思考去玩，這樣更有針對(duì)性。該片段同樣設(shè)置了三個(gè)層次：第一層次，做角并比較大小，掌握重疊法；第二層次，讓學(xué)生經(jīng)歷角變大變小的過(guò)程，初步感受角的大小和兩邊張開(kāi)程度有關(guān)；第三層次，利用歸謬思想，讓學(xué)生在一次次辨析中進(jìn)一步感知決定角的大小的因素。其中最精彩的就是將角的兩邊三次延長(zhǎng)，再三次剪短，直至兩邊變得非常短的過(guò)程?？鋸埖难菔窘o學(xué)生留下了深刻的印象，使他們能更好地理解角的大小只與兩邊張開(kāi)程度有關(guān)，對(duì)角的認(rèn)識(shí)也更進(jìn)了一步。

三、分層拓展訓(xùn)練，有效內(nèi)化知識(shí)

【片段三 原設(shè)計(jì)】

總結(jié)與提升

1.想想做做第3題。（略）

2.想想做做第4題。

比較兩塊三角尺上的角，并找出最大的一個(gè)角。

學(xué)生演示用重疊法比較角的大小。

指出：兩塊不同的三角尺上有一個(gè)角是一樣大的，說(shuō)明角的大小和兩邊的張開(kāi)程度有關(guān)。

3.拓展訓(xùn)練

有序地?cái)?shù)一數(shù)圖形里有幾個(gè)角。

交流展示：三條邊：2+1=3；四條邊：3+2+1=6；五條邊：4+3+2+1=10……

提問(wèn)：如果一百條邊，你能用算式表示一共有幾個(gè)角嗎？

【片段三 修改后】

（一）深入認(rèn)識(shí)

1.比一比。

（1）想想做做第3題。（略）

（2）想想做做第4題。

引導(dǎo)：每塊上分別有幾個(gè)角？請(qǐng)同桌兩人相互比一比尺上的角，說(shuō)說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

預(yù)設(shè)1：兩塊形狀不同的三角尺上有一個(gè)角（直角）是一樣大的。

預(yù)設(shè)2：形狀相同的三角尺上，對(duì)應(yīng)位置的角一樣大。

出示兩塊教具三角尺，引導(dǎo)學(xué)生思考大小三角尺上角的關(guān)系，并驗(yàn)證。

小結(jié)：形狀類似的兩塊三角尺，雖然大小不同，但對(duì)應(yīng)位置的角總是一樣大的。

（二）內(nèi)化知識(shí)

1.連一連。按順序把點(diǎn)用直線連起來(lái)。

交流連成了什么圖案，并指一指角，說(shuō)說(shuō)是怎么看出來(lái)的。

指出：角有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直直的邊，連點(diǎn)成線就能創(chuàng)造出包含很多角的圖形。

2．折一折。

出示一張正方形紙。

引導(dǎo)：這上面有幾個(gè)角？除了這4個(gè)角，你還能再折一個(gè)角出來(lái)嗎？展示并比較兩位學(xué)生折的角。

引導(dǎo)：繼續(xù)折一個(gè)比這個(gè)再大一些的角。你是怎么折的？（往里折點(diǎn)）

3.剪一剪。

出示：剪掉正方形紙的一個(gè)角，還剩幾個(gè)角呢？

學(xué)生活動(dòng)，并展示作品。

……

引導(dǎo)學(xué)生想出更多方法。

在圖形的學(xué)習(xí)中，操作對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要，只有經(jīng)歷了畫、擺、折、剪等數(shù)學(xué)活動(dòng)，才能有效內(nèi)化所學(xué)知識(shí)，所以習(xí)題的挑選和設(shè)計(jì)十分關(guān)鍵。原設(shè)計(jì)的練習(xí)按部就班，顯得不夠新穎，也缺乏思考，最后一題拓展又過(guò)分拔高要求。于是筆者重新布局，將教材中比較簡(jiǎn)單的第3、4題歸為一塊，意在豐富學(xué)生對(duì)角的感知，促進(jìn)他們進(jìn)一步掌握比角方法。另外設(shè)計(jì)了連一連、折一折、剪一剪三個(gè)游戲，拓展思維的同時(shí)使學(xué)生感受角與平面圖形的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，為以后“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)埋下伏筆。這樣的設(shè)計(jì)既促進(jìn)了知識(shí)內(nèi)涵的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

通過(guò)打磨“角的初步認(rèn)識(shí)”這節(jié)課，筆者意識(shí)到教學(xué)中只有設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，才能讓學(xué)生真正有所收獲，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得到發(fā)展。