非等差等比數(shù)列常見模型問題的探究

南京外國語學(xué)校仙林分校

教材中建立等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種特殊的數(shù)列模型，教學(xué)過程中，通過歸納法、疊(累)加法、逐差法和迭代法等基礎(chǔ)方法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，通過倒序相加法和首末求和法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式，通過歸納法、疊(累)乘法和迭代法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式，通過錯位相減法、等比定理法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式，根據(jù)學(xué)生分層教學(xué)情況，還可以介紹拆項法、乘法運算公式法和方程法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式.

實際上遇到更多的是非等差等比數(shù)列，對于此類問題的常見模型做一些探究和方法總結(jié)，學(xué)習(xí)數(shù)列知識對進一步理解函數(shù)的概念和體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值具有重要的意義.

一、對于非等差等比數(shù)列，求其通項

例1(1)已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=an-1+3n(n ∈N?,n≥2)，求通項公式an；

解法1由題意知：an-an-1=3n，an-1-an-2=3n-1，···，a2-a1=32，疊加得：當n≥2時，所以當n=1時，a1=1符合上式，所以

解法2當n≥2時，迭代得：

當n=1時，a1=1符合上式，所以

(2)已知數(shù)列{an}中，a1=1，nan=(n-1)an-1(n ∈N?,n≥2)，求通項公式an.

解法1由題意知：

疊乘得：當n≥2時，

解法2由題意知：當n≥2時，迭代得：

當n=1時，a1=1符合上式，所以

解法3由題意知：nan=(n-1)an-1，則若將n·an視為整體，則當n≥2時，2·a2,3·a3,···,n·an,···構(gòu)成一個常數(shù)列，所以n·an=2·a2=1，即當n=1時，a1=1符合上式，所以

方法小結(jié)對于例題中類等差等比數(shù)列通項公式的求解可以從多個角度求解，常規(guī)解法總結(jié)如下：

(1)形如an-an-1=f(n)(n ∈N?,n≥2)的數(shù)列，應(yīng)用疊加法：即當n≥2時，

注意：當n=1時不一定滿足上述形式，所以需要檢驗；應(yīng)用迭代法時，需要迭代后的式子方便求和化簡.

例2(1)已知數(shù)列{an}中，a1+2a2+···+nan=n2(n+1)，求通項公式an；

解當n≥2時，a1+2a2+···+nan=n2(n+1)，a1+2a2+···+(n-1)an-1=(n-1)2n，兩式相減得：nan=n2(n+1)-(n-1)2n=n(3n-1)，所以an=3n-1，當n=1時，a1=2符合上式，所以an=3n-1.

(2)已知數(shù)列{an}中，a1a2···an=n2，求通項公式an.

解當n≥2時，a1a2···an=n2，a1a2···an-1=(n-1)2，兩式相除得：所以an=當n=1時，a1=1不符合上式，所以an=

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

(1)形如a1+2a2+···+nan=f(n)的數(shù)列，a1=f(1)，列出

(2)形如a1a2···an=f(n)的數(shù)列，a1=f(1)，列出

注意：當n=1時不一定滿足上述形式，所以需要檢驗.

二、對于非等差等比數(shù)列，求其前n項和

例3(1)求數(shù)列{1+2n-1}的前n項和Sn；

解分組求和：

解裂項相消：

(3)求數(shù)列{(-1)n(3n-2)}的前n項和Sn；

解法1錯位相減法，

則

錯位相減得：

解法2項數(shù)分奇偶數(shù)，并項相加法，

當n=2k(k ∈N?)，即時，

解錯位相減法，

兩式作差得：

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

(1)形如an±bn(an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列)的數(shù)列，應(yīng)用分組求和法；

(3)正負交替出現(xiàn)的數(shù)列形式，應(yīng)用錯位相減法或者對項數(shù)n進行分類(奇偶性)，應(yīng)用并項相加法；

(4)形如anbn(an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列)的數(shù)列，應(yīng)用錯位相減法.

三、根據(jù)數(shù)列的遞推規(guī)律，求其通項

例4(1)已知數(shù)列{an}中，a1=1,1(n ∈N?,n≥2)，求通項an；

解由得：an-3 =又a1-3 =-2，所以an-30，則所以數(shù)列{an-3}是首項為-2，公比為的等比數(shù)列，于是an-3 =(-2)·則當n=1時，a1=1符合該式，所以

(2)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an=2an-1+2n(n ∈N?,n≥2)，求通項an；

解由an=2an-1+2n(n ∈N?,n≥2)得：又所以數(shù)列是首項為公差為1的等差數(shù)列，于是則當n=1時，a1=1符合該式，所以

(3)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an=求通項an.

解由a1=1,an=得an0，所以(n ∈N?,n≥2)，即：所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，于是則當n=1時，a1=1符合該式，所以

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

(1)形如an=pan-1+q(n ∈N?,n≥2,p1)的數(shù)列，化簡為的形式，構(gòu)造新數(shù)列，令即bn=pbn-1，原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化成數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，從而求得數(shù)列{an}的通項公式；

(2)形如an=pan-1+f(n)(n ∈N?,n≥2)的數(shù)列，兩邊同除pn，得構(gòu)造新數(shù)列，令即若剛好為常數(shù)，原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化成數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；若不是常數(shù)，但可以求和，原數(shù)列{an}轉(zhuǎn)化為利用疊加法求數(shù)列{bn}的通項，從而求得數(shù)列{an}的通項公式；

注意：當n=1時不一定滿足上述形式，所以需要檢驗；上面三種數(shù)列形式可以應(yīng)用迭代法求通項，但需要迭代后的式子方便求和化簡.

例5已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+an+1=2n(n ∈N?)，求通項an.

解由題意知：a2=1.當n≥2時，an+an+1=2n,an-1+an=2(n-1)，兩式相減得：an+1-an-1=2，所以{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公差為2的等差數(shù)列，所以

變式已知數(shù)列{an}中，a1=1,anan+1=2n(n ∈N?)，求通項an.

解析的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是公比為2的等比數(shù)列，所以

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

(1)形如an+an+1=f(n)的數(shù)列，列出兩式作差得an+1-an-1=f(n)-f(n-1)，即找到隔項間的關(guān)系；

(2)形如anan+1=f(n)的數(shù)列，列出兩式作商得即找到隔項間的關(guān)系；

上述兩種形式的數(shù)列，在找到隔項間的數(shù)列關(guān)系后，可以轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列，非等差等比數(shù)列或類等差等比數(shù)列求通項的方法.

四、運用an與Sn之間的關(guān)系解決數(shù)列相關(guān)問題

例6已知數(shù)列{an}中，a1=1,Sn=n2an(n ∈N?)，求通項an.

解當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，化簡得疊乘得

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

形如含an，Sn的關(guān)系式的數(shù)列，利用an=將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有an的關(guān)系式(或僅含有Sn的關(guān)系式)解題.

注意：(1)當n=1時不一定滿足得到的通項公式，所以需要檢驗；

(2)數(shù)列是從第1項起，還是從第2項或其他項起成等差等比數(shù)列；

(3)有時候需要進行多次迭代，有時候需要從數(shù)列{an}的子數(shù)列去探究{an}成等差等比的條件，仔細審題.

五、借助通項公式解決其他問題

理解通項公式對于解決數(shù)列問題的重要性，通過對通項的研究解決某些數(shù)列的單調(diào)性和最值問題，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的整體性.

例7已知數(shù)列{an}的通項an=試問該數(shù)列{an}有沒有最大項?若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由.

解法1假設(shè)數(shù)列{an}有最大項為an，則即化簡得解得

因為n ∈N?，所以n=9或10，所以數(shù)列{an}有最大項，此時n=9或n=10.

解法2因為

所以當n＜9且n ∈N?時，an+1-an＞0，即an+1＞an，此時數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當n=9時，an+1-an=0，即a10=a9；當n＞9且n ∈N?時，an+1-an＜0，即an+1＜an，此時數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；即a1＜a2＜a3＜···＜a9=a10＞a11＞a12＞···，所以數(shù)列{an}有最大項，此時n=9或n=10.

方法小結(jié)常規(guī)解法總結(jié)如下：

1.數(shù)列的單調(diào)性：

方法(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題；

方法(2)利用an+1-an與0的關(guān)系或與1的關(guān)系(其中an＞0)判斷(證明)數(shù)列的單調(diào)性.

2.數(shù)列的最值：

方法(1)先判斷數(shù)列的單調(diào)性，再求數(shù)列的最值；

方法(2)根據(jù)數(shù)列最值的定義，對任意的n ∈N?，若第n項為數(shù)列的最大值，則若第n項為數(shù)列的最小值，則

六、解決數(shù)列問題過程中常見的思想

1.數(shù)列中的方程思想：等差數(shù)列兩個基本量a1，d，等比數(shù)列兩個基本量a1，q，等差數(shù)列和等比數(shù)列的兩個基本問題an，Sn都可以用兩個基本量來表示，利用基本量法解方程組；

2.數(shù)列中的化歸和轉(zhuǎn)化思想：處理數(shù)學(xué)問題常?？梢詫⒋鉀Q的額問題轉(zhuǎn)化為一類我們熟悉的問題來解決；

3.數(shù)列中的函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，通項公式、前n項和公式都可以看成關(guān)于n的函數(shù)，各自有其特殊的函數(shù)特點，因此一些數(shù)列問題可以用函數(shù)的思想進行分析，加以解決；

4.數(shù)列中的數(shù)學(xué)建模思想：建立數(shù)列模型解決實際問題的過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，提高學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).