用裂項相消法解多類數(shù)列求和問題

安徽省蕪湖市第一中學

數(shù)列是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，數(shù)列求和更是高考?？紗栴}，數(shù)列求和主要有公式法、裂項相消法、錯位相減法、并項轉(zhuǎn)化法、分組轉(zhuǎn)化法等.筆者發(fā)現(xiàn)，很多時候我們可以通過待定系數(shù)法構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn，利用裂項相消法來對數(shù)列{an}求和，一步到位得到Sn=bn+1-b1，這樣的做法可以大大的減少計算量，提高解題效率，現(xiàn)通過具體例題介紹這種做法，供讀者參考學習.

1 解決公式法求和問題

例1求12+22+32+···+n2.

解析令an=n2，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列{an}的前n項和.構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn，設bn=xn3+yn2+zn，則x(n+1)3+y(n+1)2+z(n+1)-(xn3+yn2+zn)=n2，整理得3xn2+(3x+2y)n+x+y+z=n2，所以3x=1，3x+2y=0，x+y+z=0，解得故

點評自然數(shù)平方和公式常見的證明方法有兩種，一是先通過不完全歸納法猜想再用數(shù)學歸納法證明，這種方法雖容易，但計算繁瑣；二是利用公式n3-(n-1)3=3n2-3n+1迭加，這種方法的技巧性很強，一時難以想到.在這里，將n2構造成數(shù)列{bn}的前后兩項之差，最后成為裂項相消求和形式，一步到位得到答案.

2 解決錯位相減法求和問題

例2求公比為q(q1)的等比數(shù)列{an}的前n項和.

解析由題知an=a1qn-1，構造數(shù)列{bn}滿足an=bn+1-bn，設bn=xqn，則xqn+1-xqn=a1qn-1，解得所以故

點評等比數(shù)列求和公式課本上是用錯位相減法推導得到的，利用待定系數(shù)法構造新數(shù)列裂項相消求和大大簡化了計算.另外我們也可以通過

直接裂項求和，但是此法技巧性強，難以想到.

例3已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，前n項和Sn(n ∈N?)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項和Tn.

解析(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q＞0).由題知解得q=2，則bn=2n，所以a4-2a1=8，S11=11×16，即3d-a1=8，11a1+55d=11×16，解得d=3，a1=1，則an=3n-2.

(2)由(1)得a2nb2n-1=(6n-2)22n-1=(3n-1)4n，構造數(shù)列{cn}滿足a2nb2n-1=cn+1-cn，設cn=(xn+y)4n，則(x(n+1)+y)4n+1-(xn+y)4n=(3n-1)4n，整理得3xn+4x+3y=3n-1，則3x=3，4x+3y=-1，解得所以故

點評對于等差乘等比型數(shù)列，通常的做法是錯位相減法.雖然錯位相減法是一種固定模式的做法，學生容易掌握，但是計算繁瑣復雜，學生在實際解題時會做卻難以算出正確結(jié)果，而用待定系數(shù)法構造數(shù)列{bn}使得an=bn+1-bn，很容易裂項相消求出結(jié)果.

3 解決并項轉(zhuǎn)化法求和問題

例4已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2-n.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn=(-1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

解析(1)n≥2時，

又a1=1，所以an=4n-3.

(2)由(1)得bn=(-1)n(4n-3)，構造數(shù)列{cn}滿足bn=cn+1-cn，設cn=(-1)n(xn+y)，則

整理得2xn+x+2y=-4n+3，解得則故

點評對于通項公式是an=(-1)nf(n)的數(shù)列求和，還可以采用并項轉(zhuǎn)化求和，如本題可以構造數(shù)列{dn}滿足dn=b2n-1+b2n=4，然后對項數(shù)n分奇偶數(shù)討論，得

4 解決分組轉(zhuǎn)化法求和問題

例5在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an.

(1)證明數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若bn=4log2(an+1)+3，求數(shù)列{(-1)nbnbn+1+n·2n}的前n項和Tn.

解析(1)由題得an+2-an+1=2(an+1-an)，且a2-a1=2，則數(shù)列{an+1-an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an+1-an=2n.n≥2時，

又a1=1，因此an=2n-1.

(2)由(1)得bn=4n+3，則

構造數(shù)列{cn}滿足(-1)nbnbn+1+n·2n=cn+1-cn，設cn=(-1)n(xn2+yn+z)+(sn+t)2n，則

整理得

所以2x=-16，2(x+y)=-40，x+y+2z=-21，s=1，2s+t=0，解得x=-8，y=-12，

則

故

點評本題也可以用分組轉(zhuǎn)化求和，數(shù)列{(-1)nbnbn+1+n·2n}的通項可以分為兩個部分，一是數(shù)列{(-1)nbnbn+1}，用并項轉(zhuǎn)化求和得二是數(shù)列{n·2n}，用錯位相減求和得(n-1)2n+1+2.

5 解決特殊數(shù)列{(An2+Bn+C)qn}求和問題

例6已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1-an=2(n+1).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

解析(1)n≥2時，

又a1=2，因此an=n2+n.

(2)由(1)得anbn=(n2+n)構造數(shù)列{cn}滿足anbn=cn+1-cn，設cn=(xn2+yn+z)則

整理得-xn2+(2x-y)n+x+y-z=2n2+2n，所以-x=2，2x-y=2，x+y-z=0，解得x=-2，y=-6，z=-8，故

因此Sn=cn+1-c1=

點評對于數(shù)列平常所用的數(shù)列求和法是求不出它的前n項和的，但是通過待定系數(shù)法構造數(shù)列{cn}，使得接著利用裂項相消法求和即可得到答案.

本文介紹的通過待定系數(shù)法構造新數(shù)列，再利用裂項相消法求和，為我們提供了一種新的數(shù)列求和方法，但是同學們在日常學習中，要結(jié)合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的求和方法，不要一味追求某一種解法，要學會從不同解法中汲取不同的數(shù)學思想，提高自身的數(shù)學核心素養(yǎng).