問題2510的另證及推廣

陜西省岐山縣蔡家坡高級中學

1 前言

題目(《數(shù)學通報》2019年10月號問題2510[1])已知a,b,c＞1,a+b+c+2≥abc,求證：

文[2]的作者在《數(shù)學通報》2019年11期給出了如下的

證明條件等價于即

注意到，當a≥b≥c＞1,時，有于是，應用切比雪夫不等式，得

文[2]的證明中，不等式(?)跳躍性太大，它不是由切比雪夫不等式直接得到的.按文[2]的證明，由切比雪夫不等式得到的不等式應該為：

而由不等式(??)要推出不等式(?)，并不是顯然的，還應該有適當?shù)淖C明.下面的另證，調整思路，兩次應用切比雪夫不等式，嚴格的證明問題2510.

2 另證

證明由已知，

不妨設a≥b≥c＞1,先證明

所以，

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式(1)成立.

3 推廣

已知條件a,b,c＞1,a+b+c+2≥abc可推廣為：ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),

比較復雜，用起來也不方便.而

并且這個等價條件易于推廣，使用方便，因此，可以考慮用等價條件作為已知條件進行推廣.按照這個思路，下面對問題2510進行推廣.

3.1 問題2510 按項數(shù)推廣

定理1已知ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈則

證明由先證明不妨設a1≥a2≥...≥an＞1,由有則而由切比雪夫不等式，得

由切比雪夫不等式，得

定理2已知ai＞k(i=1,2,···,n,n≥3,n ∈N,0＜k＜則

證明由先證明不妨設a1≥a2≥...≥an＞k,由有則

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式(3)成立.

3.2 問題2510 按指數(shù)推廣

定理3已知ai＞1(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N),m≥則

定理4已知ai＞k(i=1,2,...,n,n≥3,n ∈N,0＜則

為證明定理3、定理4，先證明下面的引理：

引理已知h,k＞0,r,m ∈N+,r≤m,x＞0,則

(i)當h＞k時，函數(shù)

y=是減函數(shù)；

(ii)當h＜k時，函數(shù)

y=是增函數(shù).

證明設則

A′B展開式同次排成一列，得菱形狀圖表.

x2m-r-1項的系數(shù)分布：

xm-r-1項的系數(shù)分布：

同理，AB′展開式中x2m-r-1項的系數(shù)分布：

xm-r-1項的系數(shù)分布：

所以，得A′B-AB′展開式中兩邊(橫、側)的通項：故當h＞k時，y′≤0,函數(shù)

y=是減函數(shù)；當h＜k時，y′≥0,函數(shù)

y=是增函數(shù).

驗證r=1時，由①②分別得時，由①②分別得3時，由①得其和與上面計算的分子上的結果一致，并且，其增減性符合引理.

下面證明定理3、定理4：

證明由定理1的證明知且

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式（4）成立.

由切比雪夫不等式，得

所以

即不等式（5）成立.