第四類切比雪夫型方程組的通解

曹嘉芮， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631)

第四類切比雪夫型方程組的通解

曹嘉芮， 吳 康

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631)

定義了第四類切比雪夫型一元方程(組)，通過各個方程根的兩兩配對，得到二階乃至高階方程組通解的表達(dá)形式.

切比雪夫型方程(組)；第四類；高階；配對；通解

1 預(yù)備知識

第一類切比雪夫多項(xiàng)式(Tn(x))和第二類切比雪夫多項(xiàng)式(Un(x))是以俄國著名數(shù)學(xué)家切比雪夫的名字命名的特殊函數(shù)，起源于多倍角的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的展開式，是當(dāng)前研究的一個熱點(diǎn),并得到了廣泛應(yīng)用.目前對第一至第三類切比雪夫型方程組的通解[1-4]有一定的研究，但對第四類切比雪夫方程組的通解問題尚未研究，本文基于切比雪夫多項(xiàng)式的實(shí)用性，對第四類切比雪夫型方程(組)進(jìn)行深入的研究.

第四類切比雪夫多項(xiàng)式序列{Wn(x)}定義[5-6]為

其中n∈N,x∈R,且x<1,Wn(x)稱為第n個第四類切比雪夫多項(xiàng)式.

2 引理

證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)m=2時，由引理1知命題成立；

證明由數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)m=2時，由引理2知命題成立.

當(dāng)m=n+1時，

又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,rn+1).則

又d′=(r1,r2,…,rt,2rt+1+1,…,2rn+1),所以d=(r1,r2,…,rt,2rt+11,…,2rn+1,2rn+1+1).

綜上，命題成立.

3 第四類切比雪夫型方程(組)

3.1 第四類切比雪夫型方程

定義1設(shè)n,m∈N,n>m,稱方程Wn(x)=Wm(x)為第四類切比雪夫型一元方程.

3.2 第四類切比雪夫型一元二階方程組

定義2設(shè)n1,n2,m1,m2∈N,n1>m1,n2>m2,稱方程組

(1)

為第四類切比雪夫型一元二階方程組.

情況3)同情況2)，不贅.

③同②，不詳述.

3.3 第四類切比雪夫型一元三階方程組

定義3設(shè)n1,n2,n3,m1,m2,m3∈N,n1>m1,n2>m2,n3>m3,稱方程組

(2)

為第四類切比雪夫型一元三階方程組.

情況3).證明同情況2),不贅.

3.4 第四類切比雪夫型一元r階方程組

定義4設(shè)ni,mi,∈N,ni>ml,稱方程組

(3)

為第四類切比雪夫型一元r階方程組.

且2mi+2ri+2=ds(2si+1),i∈Z(t+1,2r).

證明

3.5 第四類切比雪夫型一元高階方程組的應(yīng)用

例3方程組

例4方程組

中,a11=5,b21=5,b31=15,a12=21,b22=8,b32=22,故d1=(5,5,15)=5,d8=(21,8,22).

[1] 吳康，龍開奮.關(guān)于切比雪夫多項(xiàng)式的一些研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006(3)：27-30.

[2] 凌明燦.第一類切比雪夫多項(xiàng)式方程的重根規(guī)律[J].五邑大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013(5)：13-15.

[3] 凌明燦.第二類切比雪夫型和式方程的研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012(12)：11-13.

[4] 凌明燦.一類切比雪夫型方程組的通解[J].江蘇師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012(12)：46-49.

[5] 吳蘭.關(guān)于四類切比雪夫多項(xiàng)式的研究[D].廣州：華南師范大學(xué)，2014.

[6] 王中德.兩類新的切比雪夫多項(xiàng)式[J].北京郵電學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1989(12)：46-54.

GeneralSolutionsoftheForthKindofChebyshevEquations

CAO Jiarui, WU Kang

(SchoolofMathematics,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

The forth kind of Chebyshev equations with one unknown are defined. Get the general solutions of the two-order and high-order equations by pairing each root of equation.

Chebyshev equations; the forth kind; high-order; pair; general solutions

2017-05-06

華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016LKXM71)

曹嘉芮(1994—)，女，福建長汀人，華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.03.005

O15

A

1007-0834(2017)03-0023-06