利用三面角解決一道高三三校聯(lián)考試題*

廣東省佛山市羅定邦中學(xué)

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300)常 艷

在近幾年的高考試題中，關(guān)于立體幾何的考察都可使用兩種方法進(jìn)行求解，即傳統(tǒng)幾何法、向量法.且在具體的命題過程中還會(huì)涉及到翻折問題，其本質(zhì)是將平面幾何的相關(guān)知識(shí)融入到立體幾何中進(jìn)行考察[1]，傳統(tǒng)幾何法考察了線面位置關(guān)系以及相應(yīng)的空間角的定義等，對(duì)學(xué)生空間想象能力的考察更為側(cè)重.向量法體現(xiàn)了用代數(shù)的思想解決幾何問題，將空間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為空間向量之間的運(yùn)算，側(cè)重考察學(xué)生的運(yùn)算能力.在這兩種方法之外，本文以一道高三模擬題為例介紹三面角的相關(guān)定理，并據(jù)此求解立體幾何相關(guān)問題.

一、題目

題目(2019屆高三理科三校(廣鐵一中、廣大附中、廣外)期末聯(lián)考試題第20題)[1]如圖1，平面五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AEC=∠CDE=90°，AC//DE，AE=2，DE=3，將ΔABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACDE，得到如圖2所示的幾何體.

圖1

圖2

(1)求證平面ABE⊥平面BCD；

(2)若二面角C-AB-E的正切值為求二面角A-BC-E的余弦值.

本題從平面幾何的相關(guān)性質(zhì)出發(fā)，通過翻折形成幾何體.關(guān)于本題的第一問，注意到圖形翻折前后的變化以及面面垂直的判定定理即可求解，具體解答過程可參看文[1]，本文不做詳細(xì)討論.本題的第二問是其核心問題，其設(shè)問方式是通過二面角信息給出圖形中的幾何關(guān)系，在文[1]中，三位老師分別利用傳統(tǒng)幾何及向量法對(duì)其進(jìn)行了解答.這兩種方法，是我們平時(shí)教學(xué)的重點(diǎn)，但對(duì)于問題本質(zhì)的揭露還有所欠缺.空間圖形——三面角，直接討論二面角及面角的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)問題的探究更為直接.現(xiàn)簡介如下.

二、三面角簡介

如圖3，三面角V-ABC是由具有公共端點(diǎn)V的不共面的三條射線V A,V B,V C，以及任兩條射線所成的角的內(nèi)部構(gòu)成的空間圖形.公共端點(diǎn)V稱為三面角的頂點(diǎn)，射線V A,V B,V C稱為三面角的棱，兩棱所夾的平面部分(角)∠AV B,∠BV C,∠CV A稱為三面角的面(角).過每一條棱的兩個(gè)面所成的二面角A-V C-B,A-V B-C,B-V A-C稱為三面角的二面角.

圖3

三面角的余弦定理三面角的一個(gè)面角的余弦，等于其余兩個(gè)面角的余弦之積加上這兩個(gè)面角的正弦與這兩個(gè)面角所夾的二面角的余弦的連乘積.設(shè)三個(gè)面角V-ABC的三個(gè)面角的度量分別為α,β,γ，它們所對(duì)的二面角分別為：A,B,C，則有：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

三面角的正弦定理三面角的三個(gè)面角的正弦與它們所對(duì)的三個(gè)二面角的正弦成比例.設(shè)三面角V-ABC的三個(gè)面角分別為α,β,γ，它們所對(duì)的二面角分別為：A,B,C，則

三、利用三面角求解的解法展示

準(zhǔn)備工作利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)可計(jì)算出圖1中涉及的所有邊長及角度(因與本文的主題無關(guān)，所以僅列出最終的結(jié)論)，可知

∠EAC=∠ECD=60°，∠ACE=∠CED=30°.

考慮三面角A-BCE，設(shè)面角∠EAC,∠EAB,∠CAB分別用α,β,γ表示，其所對(duì)的二面角分別用B,C,E表示(二面角C-AB-E即用B表示).根據(jù)題干信息可得：由平面ABC⊥平面ACDE得

考慮ΔBAE，則有考慮ΔBEC，則可得則有

考慮三面角C-ABE，設(shè)面角∠ACE,∠ECB,∠ACB分別用α,β,γ表示，其所對(duì)的二面角分別用B,A,E表示.根據(jù)題干信息可得：由平面ABC⊥平面ACDE得

上述解法主要應(yīng)用三面角的正弦定理，其中很多步驟也可通過三面角的余弦定理進(jìn)行求解(由讀者自行補(bǔ)充)，本文不再贅述.通過上述解法，我們可以清晰地理解各個(gè)條件在解題中的作用，例如題干中給出的核心條件“二面角C-AB-E的正切值為旨在推導(dǎo)出ΔABC的信息.我們即可結(jié)合三面角的正、余弦定理得到上述條件的等價(jià)條件，編制出新的題目供學(xué)生練習(xí).

與傳統(tǒng)幾何法相比，利用三面角求解不需要作出“二面角”(即減少了輔助線)，與向量法相比，減少了坐標(biāo)系的建立以及相應(yīng)的計(jì)算量.最關(guān)鍵的，利用三面角求解，其基本量為各個(gè)面角與二面角，在求解過程中更為直接.

四、與之相關(guān)的高考題及改編新題

反思上述解題過程，可以發(fā)現(xiàn)本題(以下簡稱模擬題)的核心圖形為三棱錐B-ACE，該模型與2018年高考全國II卷第20題(以下簡稱高考題)較為相似，現(xiàn)展示如下：

高考真題(2018年高考全國II卷第20題)如圖4，在三棱錐AC=4，O為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

上題中相互垂直的兩個(gè)平面ABC及平面PAC，其平面幾何的性質(zhì)為一個(gè)等腰直角三角形及等邊三角形，與模擬題的圖形相比，其將等邊三角形轉(zhuǎn)換為有一個(gè)角為60°的直角三角形.兩題的設(shè)問方式也較為相似，都以二面角的信息作為背景，高考題求解線面角，模擬題繼續(xù)求解二面角.兩題的參考答案都是利用二面角信息求解圖形中的相關(guān)平面幾何性質(zhì)，高考題是為了求得點(diǎn)M的具體位置，模擬題是為了求得BA,BC的長度信息.在文[3]中，筆者以上述高考真題為例，總結(jié)出其一般的模型如下：當(dāng)二面角M-PA-C為θ時(shí)，直線PC與平面PAM所成角的正弦值為讀者也可嘗試?yán)萌娼乔蠼庠搯栴}，具體過程請參看文[2].

圖4

模擬題的新穎之處在于構(gòu)造了一個(gè)五邊形，考察了學(xué)生們關(guān)于平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，且設(shè)計(jì)了翻折的過程，考察了學(xué)生的動(dòng)態(tài)思想以及軌跡意識(shí).但模擬題中關(guān)于ΔDCE的設(shè)計(jì)較為“多余”，對(duì)于核心問題的解決沒有幫助，對(duì)學(xué)生的解題過程還容易產(chǎn)生干擾.筆者認(rèn)為，在此處高考題的設(shè)計(jì)更為合理.

下文是根據(jù)上面的分析編制出幾個(gè)變式供讀者練習(xí).

變式1 如圖5，在三棱錐B-AEC中，AE⊥EC，若二面角B-AE-C的余弦值為求二面角A-BC-E的余弦值.

變式2 如圖5，在三棱錐B-AEC中，AE⊥EC，若二面角B-CE-A的余弦值為求二面角A-BC-E的余弦值.

圖5