巧用單位圓求解三角函數(shù)問題

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)

三角函數(shù)的定義來自于單位圓，利用單位圓的定義法來研究三角函數(shù)，以及單位圓中的三角函數(shù)線與單位圓的定義的聯(lián)系，使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的性質(zhì)，如經(jīng)典的不等式：當(dāng)時(shí)，sinα＜α＜tanα以及兩角差的余弦公式的證明都用到了單位圓.在三角函數(shù)中會經(jīng)常遇到一些涉及已知三角函數(shù)值求角，求三角函數(shù)值，比較三角函數(shù)值的大小及其證明的問題，有時(shí)我們可以利用單位圓數(shù)形結(jié)合的思想去思考、分析和判斷，往往能達(dá)到出奇制勝的效果，下面舉例說明.

一、巧用單位圓求值

例1已知2 sinα+cosα=則tanα=___.

解點(diǎn)A(cosα,sinα)可看作直線與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn)，由于原點(diǎn)O到直線l的距離為故直線l與圓相切.從而

變式若方程sinx+2 cosx=的兩根為α,β，則tanα·tanβ=______.

解點(diǎn)A(cosx,sinx)可看作直線l:與單位圓x2+y2=1的交點(diǎn)，由于原點(diǎn)O到直線l的距離為故直線l與圓相交.由題意兩交點(diǎn)分別為P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)，結(jié)合距離可知此時(shí)OP⊥OQ.于是tanα·tanβ=kOP·kOQ=-1.

圖1

評注借助單位圓，我們還可以分別求出tanα,tanβ，如圖1，作OM⊥l于點(diǎn)M，記直線OM的傾斜角為θ，則于是

例2 已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，求cos2α+cos2β+cos2γ的值.

解點(diǎn)A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ)、C(cosγ,sinγ)均在單位圓上，由條件可知ΔABC的重心坐標(biāo)

而其外心也為原點(diǎn)，即重心與外心重合，故ΔABC為正三角形.于是

從而

二、巧用單位圓證明三角恒等式

例3 已知求證：

證明由已知條件可知點(diǎn)在x2+y2=1上，記則x0cosβ+y0sinβ=1，又單位圓x2+y2=1在點(diǎn)A處的切線l的方程為x0x+y0y=1，可見它過點(diǎn)B(cosβ,sinβ)，故A,B兩點(diǎn)重合，于是因?yàn)閏os2α=cos2β，且sin2α=sin2β，所以

例4已知銳角α,β為方程acosx+bsinx=c(a0,c0)的兩不等實(shí)根，求證：

圖2

證明由已知，點(diǎn)M(cosα,sinα)，N(cosβ,sinβ)(α＜β)可看作直線l:ax+by-c=0與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖2，過原點(diǎn)O作OP⊥MN于點(diǎn)P，原點(diǎn)O到直線l的距離在RtΔOPN中，則于是

三、巧用單位圓求三角函數(shù)的最值

例5求函數(shù)的值域.

解令P(cosx,sinx),Q(2,0)，則如圖3，當(dāng)過Q點(diǎn)的直線與單位圓相切時(shí)的斜率便是函數(shù)的最值，由幾何知識，易求得過Q的兩切線的斜率分別為結(jié)合圖形可知，函數(shù)的值域是

圖3

例6(2018年高考全國I卷第16題)求函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x的最值.

圖4

解顯然f(x)為奇函數(shù)，故只需求出f(x)的最大值即可.又f(x)=2 sinx+sin 2x=2 sinx(1+cosx)，記sinx=m,cosx=n，f(x)=t，則于是原題等價(jià)于在單位圓m2+n2=1條件下求目標(biāo)函數(shù)的最大值，它是由反比例函數(shù)變換過來的，如圖4，當(dāng)它們的圖像在第一象限相切時(shí)，t最大，設(shè)切點(diǎn)為(m0,n0)，則有消去n0和t得：化簡得：因?yàn)閙0＞0，從而此時(shí)即利用f(x)為奇函數(shù)知

點(diǎn)評此題作為2018年高考全國卷I的填空壓軸題，一般是利用導(dǎo)數(shù)求最值.這里我們利用單位圓求解，此法很容易推廣到如下的一般情形：求函數(shù)f(x)= sinx(a+cosx)的最大值t.

(1)當(dāng)a≥0時(shí)，它由下面的方程組確定：化簡得1-a2=0，此時(shí)m0=最大值為

(2)當(dāng)a＜0時(shí)，它由下面的方程組確定：化簡得a2=0，此時(shí)m0=最大值為

例7求函數(shù)的最大值.

解

記sinx=m,cosx=n，f(x)=t，則

于是原題等價(jià)于在單位圓m2+n2=1下求目標(biāo)函數(shù)的最大值，它是由反比例函數(shù)變換過來的，當(dāng)它們的圖像在第一象限相切時(shí)，t最大，設(shè)切點(diǎn)為(m0,n0)，則有消去n0和t得：化簡得：100m30+40m20-71m0-20=0，即(5m0-4)20m20+24m0+5=0，因?yàn)?＜m0≤1，從而此時(shí)即

評注利用單位圓思想，此法很容易推廣到下面的一般情形：函數(shù)的最大值為t，這里只討論a≥0,b≥0的情形.它由下面的方程組確定：化簡得此時(shí)

從以上問題我們看到，利用單位圓求解三角函數(shù)問題有時(shí)會給我們帶來意想不到的效果，在平時(shí)的教學(xué)中，我們要引領(lǐng)學(xué)生從不同的角度去觀察問題，這樣不僅能拓展學(xué)生的思維，還能取得很好的教學(xué)效果.