高中數(shù)學(xué)圓錐曲線切線的幾何做法

哈爾濱市第三中學(xué) 王會書

數(shù)學(xué)是中小學(xué)教育的主要學(xué)科之一，理解好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與其他素養(yǎng)的關(guān)系、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有哪些重要的特征，對在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有重要意義。

正在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了6大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些素養(yǎng)關(guān)注學(xué)生能力的提高，注重學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

在教材選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》這部分內(nèi)容中，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中面臨著很多困難。就高三學(xué)生的認(rèn)知程度而言，部分學(xué)生已經(jīng)能夠初步突破圓錐曲線只是注重考察數(shù)學(xué)運(yùn)算的認(rèn)知局限，然而能夠直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象才是這部分內(nèi)容的更高要求。

在圓錐曲線的實(shí)際教學(xué)中，代數(shù)方法解決幾何問題、以求代證是復(fù)習(xí)過程中學(xué)生必須掌握的知識和技能，而本質(zhì)上的幾何屬性必然會為學(xué)生能力上的提升提供幫助。下面就圓錐曲線的切線的幾何畫法加以探討。

一、幾何法做橢圓的切線

橢圓定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和為定長2a＞│F1F2│＝2c的點(diǎn)的軌跡稱為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.

雖然給出了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，但我們并不是使用方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算.如圖直線PQ為焦點(diǎn)三角形△PF1F2的頂角∠F1PF2的外角∠RPF2的平分線，Q為外角平分線上除點(diǎn)P以外的任意一點(diǎn).我們只需證明│QF1│+│QF2│＞2a，即說明外角平分線上除點(diǎn)P以外的點(diǎn)都在橢圓外部，而點(diǎn)P在橢圓上，故直線PQ就是橢圓在P處的切線.

延長 F1P 至點(diǎn) R，使得│PR│＝│PF2│，角平分線的幾何意義就是對稱，連接 QR、QF2，故有△PQF2≌△PQR，連接 QF1，知│QF1│+│QF2│＝│QF1│+│QR│＞│F1R│＝ 2a，說明點(diǎn)Q在橢圓外，由Q的任意性知，外角平分線是橢圓在P處的切線.

由此可以解釋橢圓切線的光學(xué)性質(zhì)：如左圖，根據(jù)例1可得，橢圓在P處的法線是焦點(diǎn)三角形△F1PF2頂角∠F1PF2的內(nèi)角平分線，從F1點(diǎn)出發(fā)的光線，由于入射角∠F1PS等于反射角∠F2PS，故光線照射到橢圓壁上的P點(diǎn)后，被切線PQ鏡面反射，所以反射光線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2.

根據(jù)例1可得，橢圓在P處的切線即為焦點(diǎn)三角形△F1PF2頂角∠F1PF2的外角平分線，不妨過點(diǎn)F2做外角平分線的垂線，垂足為H，延長F2H交F1P延長線于點(diǎn)R，則有△PHF2≌△PHR，設(shè)F1F2的中點(diǎn)為O，知OH為△F2F1R的中位線（│PF1│+│PF2│）＝ a，則點(diǎn) H 的軌跡是圓，方程為 H：x2+y2＝ a2.

圓 H：x2+y2＝a2稱為橢圓 C：＝1（a＞b＞c）上一點(diǎn) P，請用幾何法做出雙曲線在P處的切線.

如圖，直線PQ為焦點(diǎn)三角形△PF1F2的頂角∠F1PF2的內(nèi)角平分線，Q為內(nèi)角平分線上除P以外的任意一點(diǎn).我們只需證明│QF1│-│QF2│＜2a，即說明內(nèi)角平分線上除點(diǎn) P 以外的點(diǎn)都在雙曲線外部，而點(diǎn)P在雙曲線上，故直線PQ就是雙曲線在P處的切線.

設(shè)直線PQ為焦點(diǎn)三角形△PF1F2的頂角∠F1PF2的內(nèi)角平分線，Q為內(nèi)角平分線上除P以外的任意一點(diǎn).在線段PF1上取一點(diǎn) R，使得│PR│＝│PF2│，連接 QF2、QR、QF1，由角分線的對稱性，知△PQF2≌△PQR，│QF1│-│QF2│＝│QF1│-│QR│＜│F1R│＝│PF1│-│PR│＝│PF1│-│PF2│＝2a，即點(diǎn) Q 在雙曲線外，由Q的任意性，知焦點(diǎn)三角形△PF1F2的頂角∠F1PF2的內(nèi)角平分線即為雙曲線在P處的切線.

以上例題可以解釋雙曲線切線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，由例3可知，雙曲線在P處的法線是焦點(diǎn)三角形△F1PF2頂＝1（a＞b＞c）的準(zhǔn)圓，與橢圓相切.

如果從另一焦點(diǎn)向切線做垂線，垂足的軌跡也在圓H：x2+y2＝ a2上.

二、幾何法做雙曲線的切線

雙曲線定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值為定長2a＜│F1F2│＝2c的點(diǎn)的軌跡稱為以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線.

例3已知雙曲線C：角∠F1PF2的外角平分線，從F1點(diǎn)出發(fā)的光線，由于入射角∠F2PS等于反射角∠KPS，故光線照射到雙曲線壁上的點(diǎn)P后，被切線PQ鏡面反射，所以反射光線的反向延長線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)F1.

根據(jù)例3可得，雙曲線在P處的切線即為焦點(diǎn)三角形△F1PF2頂角∠F1PF2的內(nèi)角平分線，不妨過點(diǎn)F2做內(nèi)角平分線的垂線，垂足為H，延長F2H交F1P于點(diǎn)R，由角分線的對稱性知△PHF2≌△PHR，設(shè)F1F2的中點(diǎn)為O，則有（│PF1│-│PF2│）＝a，則H點(diǎn)的軌跡是圓，方程為H：x2+y2＝a2.過另外焦點(diǎn)F1做垂線，軌跡也是圓H：x2+y2＝a2.

圓 H：x2+y2＝ a2稱為雙曲線 C：＝1（a＞b＞c）的準(zhǔn)圓，與雙曲線相切.

如果從另一焦點(diǎn)向切線做垂線，垂足還在圓H：x2+y2＝a2上.

三.幾何法做拋物線的切線

拋物線定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和到定直線l（點(diǎn)F在直線l外）距離相等的點(diǎn)的軌跡，稱為以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線.

例 5 已知拋物線 C：y2＝2px（p＞0）上一點(diǎn) P，請用幾何法做出拋物線在P處的切線.

如圖，我們目標(biāo)還是取∠FPR內(nèi)角平分線上異于P的任一點(diǎn)Q，只要證明點(diǎn)Q在拋物線外，就說明角平分線上除點(diǎn)P外均在拋物線的外部，直線PQ即為拋物線在P處的切線.

設(shè)F為拋物線焦點(diǎn)，連接PF，過P向準(zhǔn)線做垂線，垂足為R，由定義知│PF│＝│PR│，設(shè)Q為∠FPR平分線上異于P的任一點(diǎn)，連接QF、QR，知△PQF≌△PQR，過點(diǎn)Q做準(zhǔn)線的垂線，垂足為 H，在 Rt△QRH 中有│QH│＜│QR│＝│QF│，由定義知，點(diǎn)Q在拋物線外，由Q的任意性知，∠FPR內(nèi)角平分線是拋物線在P處的切線.

以上例5可以解釋拋物線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，拋物線在點(diǎn)P處的法線為∠FPR的外角平分線，故從F點(diǎn)出發(fā)的光線，相當(dāng)于被拋物線在P處的切線鏡面反射，反射光線的反向延長線就是PR，是與x軸平行的.特別的，如果把點(diǎn)光源放在拋物曲面型探照燈的焦點(diǎn)處，探照燈照射出去的是平行于x軸的平行光線，理論上照射的距離可以無限遠(yuǎn).

例 6 已知拋物線 C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

過點(diǎn)A、B分別做準(zhǔn)線的垂線，垂足為C、D，根據(jù)拋物線的定義，知│AF│＝│AC│，│BF│＝│BD│，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，過M做準(zhǔn)線的垂線，垂足為N.在直角梯形ACDB中，MN為中位線，則有│MN│＝（│AC│+│BD│） ＝（│AF│+│BF│）＝│AB│，可知圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，即以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，而且切點(diǎn)N也為線段的CD中點(diǎn).

這一實(shí)例也是利用拋物線的幾何屬性進(jìn)行證明的，而沒有采用通常意義上的方程運(yùn)算.

例 7 已知拋物線 C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證：拋物線在A、B處的切線互相垂直，并且垂足在準(zhǔn)線上.

由例5知，拋物線在點(diǎn)A、B處的切線即為∠FAC和∠FBD的內(nèi)角平分線，不妨先做∠FAC的平分線，找到與準(zhǔn)線的交點(diǎn)M，反過來連接點(diǎn)MB，證明MB也是∠FBD的內(nèi)角平分線，即切線.

過點(diǎn)A、B分別做準(zhǔn)線的垂線，垂足為C、D，根據(jù)拋物線的定義，知│AF│＝│AC│，│BF│＝│BD│，做拋物線在點(diǎn)A處的切線，即∠FAC的內(nèi)角平分線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)M，連接MF、MB，由對稱性可得△AMC≌△AMF，知 MF⊥AB，即Rt△BMF≌Rt△BMD，有∠MBF＝∠MBD，即直線 BM為∠FBD的內(nèi)角平分線，即直線BM是拋物線在B處的切線.

又由│MC│＝│MF│＝│MD│知，M 為 CD 中點(diǎn).由△AMC≌△AMF和△RtBMF≌Rt△BMD，知∠CMA+∠FMA+∠FMB+∠DMB＝2（∠FMA+∠FMB）＝π，知∠AMB＝，MF⊥MB＝M，且點(diǎn)M在準(zhǔn)線上為CD中點(diǎn).

拋物線還有很多幾何性質(zhì)，在這里就不一一列舉了。教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會站在幾何性質(zhì)的角度上思考圓錐曲線問題，而不是一上來就列方程、設(shè)直線、代入計(jì)算。特別是，這部分內(nèi)容中有些題目是專門針對圓錐曲線定義和幾何性質(zhì)設(shè)置的，用方程計(jì)算就把問題復(fù)雜化了，有的甚至無法計(jì)算出結(jié)果.

高三歷次考試的試卷中，凡含有解析幾何內(nèi)容的試題，幾乎都有考察定義性質(zhì)的題目。這部分內(nèi)容學(xué)生理解起來比較困難。加強(qiáng)這部分內(nèi)容的教學(xué)，學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象等能力都會有不同程度的提高。