從不同視角看函數(shù)

劉虹

摘 要：本文探討函數(shù)思想在中學(xué)推規(guī)律問題中的應(yīng)用，主要內(nèi)容包括數(shù)形結(jié)合將幾何量的變化，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)關(guān)系表示幾何圖形的變化規(guī)律，以及運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來解決一些實(shí)際問題等內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：函數(shù) 函數(shù)思想 規(guī)律 數(shù)形結(jié)合

各年中考真題凝聚著命題人對(duì)數(shù)學(xué)的理解，是命題人理解教學(xué)應(yīng)該掌握到何種程度的表征，體現(xiàn)命題人對(duì)所在區(qū)域?qū)W生整體學(xué)習(xí)水平的估計(jì)，在復(fù)習(xí)階段合理選擇真題作為教學(xué)例題或訓(xùn)練材料都是理想的選擇。

二次函數(shù)的有關(guān)計(jì)算與應(yīng)用是云南省、昆明市歷年中考的必考內(nèi)容，很長(zhǎng)時(shí)間壓軸題都是以二次函數(shù)綜合題題型出現(xiàn)（至2016年）。二次函數(shù)現(xiàn)今放到22題，21題，大家發(fā)現(xiàn)。不是不考二次函數(shù)，而是考察體量和難度稍有降低。

本文以尋找一道中考真題的解為線索設(shè)計(jì)教學(xué)，以學(xué)生的心理需求層次為分類依據(jù)，按照“學(xué)生先行、交流呈現(xiàn)、教師斷后”的方式展開教學(xué)。這種教學(xué)過程，以“問題串”為線索，通過“學(xué)生先行”身歷其境，獲得體驗(yàn);通過“交流呈現(xiàn)”碰撞思維，獲得提升;通過“教師斷后”，感悟本質(zhì)，獲得認(rèn)知數(shù)學(xué)的方法。

一、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

通過下列問題串的解決，借助生生、師生交流和教師斷后等環(huán)節(jié)，逐步建構(gòu)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

問題：用列表法畫二次函數(shù)的圖像時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是 。

學(xué)生先行，其中學(xué)生的“思維產(chǎn)品”呈現(xiàn)如下：

1.想直接設(shè)表達(dá)式y(tǒng)=ax2+bx+c，但發(fā)現(xiàn)題目中的條件“自變量x的值以相等間隔的值增加”用不了;

2.y所對(duì)應(yīng)的值中“有一個(gè)值不正確”導(dǎo)致不知該不信任那個(gè)y，知道的y值也不知道怎么用;

3.畫草圖，所給信息不足;

教師總結(jié)如下：

（1）教師肯定學(xué)生的求知態(tài)度和探索精神：學(xué)生思維產(chǎn)品（1）（2）和（3）的本質(zhì)一樣，條件解決不了問題。

（2）這個(gè)問題是出現(xiàn)在中考題中，原題是個(gè)選擇題，如下：

用列表法畫二次函數(shù)的圖像時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是： （ ）

（A）506 （B）380 （C） 274 （D）182

盡管答案的范圍縮小為4選1，但似乎因?yàn)闂l件用不了，導(dǎo)致仍找不到答案。

設(shè)計(jì)意圖：作為本節(jié)課引入的問題，起點(diǎn)要低，但立意要高。本題貌似很簡(jiǎn)單，求函數(shù)解析式就可以找到答案，但因?yàn)闂l件用不上而止步。怎么辦呢？想解決嗎？教師順勢(shì)引出示例1。

示例：（2015年武威市中考題）古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫作三角形數(shù)，其中1是第一個(gè)三角形數(shù)，3是第2個(gè)三角形數(shù)，6是第3個(gè)三角形……數(shù)，依此類推，那么第9個(gè)三角形數(shù)是 ，2016是第 個(gè)三角形數(shù)。

解：通過對(duì)下面數(shù)列及所對(duì)應(yīng)的序號(hào)進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)：三角形數(shù)隨著序號(hào)的改變而改變，當(dāng)序號(hào)確定時(shí)，都有唯一確定的三角形數(shù)與其對(duì)應(yīng)，因此，三角形數(shù)是序號(hào)的函數(shù)，而且相鄰的三角形數(shù)兩次作差后為定值（如圖1），因此，可以猜想y是關(guān)于n的二次函數(shù)。

不妨設(shè)y=an2+bn+c（a≠0），將（1，1），（2，3），（3，6）代入，得從而求出解析式為：將（4，10），（5，15）代入，驗(yàn)證成立。

因此，當(dāng)n=9時(shí)，可得y=45;當(dāng)y=2016時(shí)，可得n=63，故答案為45，63。

示范解讀：這是一類有關(guān)數(shù)式變化的規(guī)律探尋問題，觀察此類問題的規(guī)律要從符號(hào)、代數(shù)式、增減發(fā)展趨勢(shì)、排列分布特征等方面入手，通常運(yùn)用歸納推理探求規(guī)律。

教師斷后：教師總結(jié)解決此類問題的基本思路如下：

1.標(biāo)序號(hào);

2.觀察序號(hào)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)或代數(shù)式的關(guān)系，將每一部分與序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系用代數(shù)式表達(dá);

3.根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)代數(shù)式;

4.檢驗(yàn)所得結(jié)果;

5.得出結(jié)論。

本題中的三角形數(shù)隨序號(hào)的變化而變化，并且序號(hào)的每一次改變，都會(huì)對(duì)應(yīng)唯一確定的三角形數(shù)，它是一種特殊的函數(shù)。教學(xué)時(shí)，教師需引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“定”與“變”的關(guān)系。比如：該題變化的是序號(hào)、序號(hào)所對(duì)應(yīng)的三角形數(shù)、三角形數(shù)第一次作差的結(jié)果，不變的是三角形數(shù)兩次作差的結(jié)果。作為拓展思考，本題還可以轉(zhuǎn)化為表格、圖形等形式呈現(xiàn)，給數(shù)賦予不同的情境。

極速反饋1：（2016年安順市中考題）觀察下列砌鋼管的橫截面圖（圖2）：

則第n個(gè)圖的鋼管數(shù)是 （用含n的式子表示）。

學(xué)生先行，其中學(xué)生的“思維產(chǎn)品”呈現(xiàn)如下：

（1）生1：根據(jù)圖形排列的規(guī)律，如圖3方式按行自上而下進(jìn)行分割，n=1時(shí)，鋼管數(shù)為3=1+2 ; n=2時(shí)，鋼管數(shù)為9=2+3+4 ; n=3時(shí)，鋼管數(shù)為18=3+4+5+6 …

（2）生2：如圖4將其左右分割：

n=1時(shí)，鋼管數(shù)為3=3+0×2 ; n=2時(shí)，鋼管數(shù)為9=6+1×3 ; n=3時(shí)，鋼管數(shù)為18=10+2×4;n=4時(shí)，鋼管數(shù)為30=15+3×5 …再將問題轉(zhuǎn)化為熟悉規(guī)律模型或直接借助結(jié)論解決問題。

（3）生3：通過觀察圖形結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=1時(shí)，鋼管數(shù)為3;當(dāng)n=2時(shí)，鋼管數(shù)為9;當(dāng)n=3時(shí)，鋼管數(shù)為18;當(dāng)n=4時(shí)，鋼管數(shù)為30。仿照示例1：如圖3

可以發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于n的二次函數(shù)。把序號(hào)n看作自變量，鋼管數(shù)y看作是序號(hào)n的函數(shù)。不妨設(shè)y=an2+bn+c（a≠0），將（1，3），（2，9），（3，18）代入，得從而求出解析式為：。將（4，30），代入，驗(yàn)證成立。

故第.n個(gè)圖的鋼管數(shù)是。

該題經(jīng)改編出現(xiàn)在昆明市五華區(qū)2017—2018年九年級(jí)上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試卷第6題，長(zhǎng)這個(gè)樣子：

極速反饋2：如圖所示，用火柴桿擺出一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)擺到19層（n =19）時(shí)，需要 根火柴。

示范解讀：

解決有關(guān)圖形變化規(guī)律探尋問題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合地將圖形變化規(guī)律探尋問題轉(zhuǎn)化式變化規(guī)律探尋問題，也就是轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，達(dá)到化難為易的目的。

問題回放：

回到本文的引入：用列表法畫二次函數(shù)的圖象時(shí)先列一個(gè)表，當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值依次是：20，56，110，182，274，380，506，650。其中有一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是： （ ）

（A）506 （B）380（C） 274（D）182

現(xiàn)在就可以據(jù)當(dāng)表中對(duì)自變量x的值以相等間隔的值增加，對(duì)二次函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的值做再解讀：

可以判斷與18有關(guān)的數(shù)是呈二次變定的規(guī)律，反推出274為問題數(shù)，本題選C。

教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生先關(guān)注圖形中的基本結(jié)構(gòu)，通過觀察，明確圖形結(jié)構(gòu)中不變化的基本圖形，利用適當(dāng)?shù)姆绞剑ㄈ绶指?、增補(bǔ)等）加以處理，比較圖形之間發(fā)生變化的部分，分析得到變化圖形的數(shù)量與序號(hào)之間的聯(lián)系，其中對(duì)圖形的不同處理方式會(huì)引發(fā)不同的求解思路。

教師斷后：

圖形變化規(guī)律探尋問題可以避開圖形的干擾，轉(zhuǎn)化為示例1中的方法解決，如本題解法就是直接研究每一序號(hào)對(duì)應(yīng)的數(shù)與序號(hào)之間的聯(lián)系，解法3與示例1中的解法2如出一轍。

達(dá)到通過利用圖形語言向符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化，降低解題難度。

注意：由于題目賦予了實(shí)際背景一一圖形，因此，有效地關(guān)注圖形結(jié)構(gòu)，可以適當(dāng)優(yōu)化解題方法，同時(shí)，用圖形結(jié)構(gòu)輔助分析式子的構(gòu)成及驗(yàn)證結(jié)果，也不失為一種有效的方法。

解題過程中始終注重圖形、符號(hào)、文字語言的轉(zhuǎn)化，形成新的關(guān)聯(lián)。

二、課后建議

1.重視過程研究，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中逐步積累的。在規(guī)律探尋問題的教學(xué)中，教師要避免直接告知解題術(shù)或解題方法，記憶解題技巧，然后大量進(jìn)行重復(fù)、機(jī)械訓(xùn)練的教學(xué)方式，而是通過適量的典型習(xí)題訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較、概括、歸納、猜想和驗(yàn)證的全過程。教師要鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)，首先是自己表達(dá)，然后是相互交流，進(jìn)而是教師評(píng)判，提升質(zhì)量。引導(dǎo)學(xué)生從變化特殊性中尋找出不變的本質(zhì)和規(guī)律，并對(duì)相關(guān)的題目進(jìn)行分類整理，教師還需注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)規(guī)律探尋問題的應(yīng)用育景、使用條件、解決問題的一般過程與步驟加以概括，從面積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.體會(huì)思想方法，發(fā)展核心素養(yǎng)

規(guī)律探尋問題因其具有結(jié)構(gòu)獨(dú)特、問題情境變化多樣等特點(diǎn)，已成為學(xué)生體會(huì)思想方法，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的良好載體，邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象是重要的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，推理意識(shí)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，本文中的示例運(yùn)用的是合情推理中的歸的推理有利于培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)情況預(yù)測(cè)結(jié)果和根據(jù)結(jié)果探究成因的能力，不被表面現(xiàn)象所速感，能通過現(xiàn)象看本質(zhì)，具有數(shù)學(xué)地看待和思考間題的習(xí)是學(xué)生具備象意識(shí)的具體體現(xiàn)，在規(guī)律探尋問題的教學(xué)中，教師需注意引導(dǎo)學(xué)生做到三點(diǎn)：首先，通過對(duì)眾多不同形式的呈現(xiàn)方式和結(jié)果分析，揭示幾類問題的共性和差異，尋找化歸的切入點(diǎn)，并養(yǎng)成把其他問題化為數(shù)學(xué)問題的意識(shí);其次，有意識(shí)地區(qū)分問題的主要因素與次要因素，本質(zhì)特征與表面現(xiàn)象，從面抓住本質(zhì)解決同題，即在不斷變化的數(shù)、式和圖形中尋找不變的量或關(guān)系，從而刻畫變化的規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法

再次，當(dāng)學(xué)生理解了具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型的抽象意義之后，教師還可以圍繞某一具有特結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，如例1中的·引導(dǎo)學(xué)生把模型“轉(zhuǎn)移”到自已熟悉的、聯(lián)系緊密的、具體的事物中去，為模提供大量的具體例證，使學(xué)生對(duì)抽象模型獲得較為具體而全面的感知，力求做到學(xué)一反三，觸類旁通。