類比思想推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究

張新宏

[摘? ?要]類比推理的應(yīng)用可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起點(diǎn)更低、更容易被學(xué)生接受和理解、更有利于培養(yǎng)學(xué)生自主探索與創(chuàng)新的能力，通過概念的類比，理解概念的本質(zhì);通過公式、例題、習(xí)題的類比，構(gòu)建知識體系以及進(jìn)行拓展和延續(xù);通過思維的類比，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

[關(guān)鍵詞]類比思想;推理;探究與應(yīng)用

[中圖分類號]? ?G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ?A? ? ? ? [文章編號]? ?1674-6058（2020）18-0039-02

類比推理是依據(jù)兩個(gè)對象之間存在某些相同或相似的屬性，推出它存在其他相同或相似的屬性，以及進(jìn)一步進(jìn)行延伸和概括總結(jié)的思維方法。數(shù)學(xué)上的類比推理是指依據(jù)已有數(shù)學(xué)對象的已知性，將已知一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)通過類比推理遷移到另一類未知對象上的一種合情推理，它很好地實(shí)現(xiàn)了對于抽象數(shù)學(xué)問題的理解和學(xué)習(xí)。

我一直身處教學(xué)一線，在數(shù)學(xué)課堂上也常常會遇到一些問題。如學(xué)生在課堂上不能集中精力聽講，做題時(shí)遇到難題不愿意思考，“按部就班”，等待教師評講。遇見所謂的數(shù)學(xué)結(jié)論、典型題目結(jié)論，更愿意記憶結(jié)論、直接應(yīng)用，不愿意探索解題過程，研究題目背后所應(yīng)用的基礎(chǔ)知識和基本技能。對于教師講解的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法體會、感悟不深，更愿意直接做數(shù)學(xué)題目，不愿意歸納類比找出問題的本質(zhì)。針對這種現(xiàn)象，我覺得在數(shù)學(xué)課堂中，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，充分尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，挖掘他們的潛能，讓他們成為學(xué)習(xí)的主人。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，本身就是要把復(fù)雜的問題變得簡單，把抽象的問題變得直觀。一旦把握住數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，通過類比推理的探究，以不變應(yīng)萬變，能使學(xué)生少走很多彎路、減少做題量、提高學(xué)習(xí)效率。通過對類比推理探究教學(xué)的應(yīng)用，能使問題由淺入深，使學(xué)生對知識的認(rèn)識更加系統(tǒng)和完善。學(xué)生可以多層次、從不同的角度，全方位地認(rèn)識數(shù)學(xué)問題。類比探究的學(xué)習(xí)及使用首先要重視 “雙基”的落實(shí) ，即數(shù)學(xué)基本知識的掌握和基本技能的培養(yǎng)?；炯寄艿男纬呻x不開對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，而基礎(chǔ)知識的掌握對基本技能的培養(yǎng)起輔助的作用。只有掌握好基礎(chǔ)知識，才能更好地對數(shù)學(xué)技能進(jìn)行掌握。作為教師 ，對于數(shù)學(xué)這一科 ，如何選擇好的解題教學(xué)方法呢？我認(rèn)為 ，數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程 ，是思維啟發(fā)到思維理解接受的過程 。在解題過程中，教師要在已有的基本方法之上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比推理，給學(xué)生足夠的思維空間 ，讓學(xué)生真正理解解題思路 ，從而提高習(xí)題質(zhì)量和效率。現(xiàn)從以下幾個(gè)方面進(jìn)行討論。

一、用類比的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的推理學(xué)習(xí)

著名的學(xué)習(xí)理論家奧蘇貝爾指出：要進(jìn)行有意義的教學(xué)，必須知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么。數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，要立足在已學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，切不可急于求成，盲目追求“高大上”。比如在學(xué)習(xí)華東師大版第11章《數(shù)的開方》的內(nèi)容時(shí)，教材給出了平方根與立方根的概念，這兩個(gè)概念本身具有一定的抽象性，如果教師按照普通的概念課講授模式引入概念、得出概念、應(yīng)用概念，恐怕效果會很差，學(xué)生理解和掌握起來就會非常困難，更談不上應(yīng)用了。如果是類比已有知識，首先，回顧從小學(xué)到現(xiàn)在我們學(xué)過的運(yùn)算有哪些？學(xué)生很容易知道學(xué)過的運(yùn)算有：加、減、乘、除、乘方。學(xué)生都能夠回答與參與，然后教師點(diǎn)撥其實(shí)開方也是一種運(yùn)算。其次，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算;同樣，開方也是乘方的逆運(yùn)算，順理成章。這樣學(xué)生在理解知識點(diǎn)時(shí)會覺得簡單容易。想要讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)模型，必須先給學(xué)生搭建一個(gè)臺階，讓學(xué)生順著臺階一步一步往上走，這樣學(xué)生自然能夠上到最高處，而不是生硬地接受。

二、用類比的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的推理探究

通過類比推理感覺既見樹木又見森林，很容易把數(shù)學(xué)過程對象化，而不僅僅是把數(shù)學(xué)看成一些過程和一些瑣碎的公式計(jì)算，甚至是毫無意義的數(shù)字、符號的游戲。有了類比推理，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的觀念不只是停留在簡單的數(shù)字計(jì)算、公式模板套用的認(rèn)識上，知道了數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上還有更重要的東西要學(xué)習(xí)：那就是數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)語言。

應(yīng)用類比的方法進(jìn)行歸類，再進(jìn)一步做一題多變，變換條件后做一題多問、一題多解，充分挖掘題目的深度和廣度，擴(kuò)大題目的輻射面，對于學(xué)生能力的提高和思維的拓展有很大的幫助。

此類問題是對完全平方公式的形式特征進(jìn)行的應(yīng)用，要完全把握公式的形式特征，還要對公式的實(shí)質(zhì)做一個(gè)充分的把握，然后進(jìn)行類比推理應(yīng)用，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)就會顯得輕松許多。靈活運(yùn)用這些公式的變形，往往可以解答一些特殊的計(jì)算問題。

三、用類比的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)例題、習(xí)題的推理探究

教師要想把握好例題、習(xí)題變式的類比推理教學(xué)，可以從例題、習(xí)題上改變條件，適當(dāng)增加條件，由一般到特殊。從而得到更多的結(jié)論，考驗(yàn)學(xué)生對知識掌握的全面性，從而把所學(xué)的知識貫穿起來。

1.①一個(gè)等腰三角形中的頂角為[400]，另外兩個(gè)角的度數(shù)分別是多少？

②等腰三角形中有一個(gè)角是[1000]，另外兩個(gè)角是多少度？

③等腰三角形有一個(gè)角是[400]，另外兩個(gè)角是多少度？

④等腰三角形有一個(gè)角是[?0]，另外兩個(gè)角是多少度？

2.①已知等腰三角形的腰長是5，底長是6;求周長。

②已知等腰三角形的一邊長為2，另一邊長為6，求周長。（顯然“2只能為底”，否則與“三角形兩邊之和大于第三邊”相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)密性）

③已等腰三角形一邊長為5;另一邊長為6，求周長。（這需要學(xué)生改變思維策略，進(jìn)行分類討論）

④已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍。

⑤已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是c，分別求出腰長的范圍和底邊長的范圍。

【歸納】等腰三角形：? [14周長<腰長<12周長]

[0<底邊長<12周長]

通過對例題、習(xí)題的多種變形，歸納類比，讓學(xué)生對等腰三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識又加深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題。 在這類數(shù)學(xué)問題建構(gòu)與認(rèn)識過程中，類比推理起到非常重要的作用，運(yùn)用從特殊到一般解決問題，能使學(xué)生輕松地掌握系統(tǒng)的知識與方法，在探索中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率。

四、用類比的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思想推理的探究

比如，教師在教學(xué)華東師大版第13章《全等三角形》這一章時(shí)，課堂一開始就讓學(xué)生針對如何分類進(jìn)行討論。證明三角形全等需要的三個(gè)條件，是需要進(jìn)行分類討論的。我先給學(xué)生列舉了大量關(guān)于分類討論的實(shí)例，比如，怎么樣才能恰當(dāng)分類。首先，由生活中的實(shí)例進(jìn)行引入。我們班的學(xué)生，按年齡分類可分為：小于十二歲、十二到十三歲、大于十三歲。按性別分類可分為：男生一類、女生一類。按身高分類可分為……類比剛才的分類方法，說明三角形全等有三個(gè)對應(yīng)相等的元素?？梢苑殖赡膸最?？學(xué)生按照要求很自然地進(jìn)行了分類。三條邊對應(yīng)相等;兩條邊一個(gè)角對應(yīng)相等;兩個(gè)角一條邊對應(yīng)相等;三個(gè)角對應(yīng)相等，至此解決了三角形全等分類的一個(gè)知識難點(diǎn)。

應(yīng)用類比思想推理不僅在數(shù)學(xué)教學(xué)方面具有積極作用，而且在提高思想緯度與認(rèn)識方面具有重大作用。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中一定要善于應(yīng)用，并且要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用這一強(qiáng)有力的思想進(jìn)行高效的學(xué)習(xí)。

（責(zé)任編輯? ? 黃諾依）