中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材“假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的比較研究

□樓雪佩

在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知是公認(rèn)的難點(diǎn)，學(xué)生存在疑惑，如分子比分母大的分?jǐn)?shù)還是分?jǐn)?shù)嗎？教師教學(xué)也有為難之處，如假分?jǐn)?shù)“假”在哪里？教學(xué)中該如何引出假分?jǐn)?shù)？為更好地設(shè)計(jì)教學(xué)，我們選取了中國北師大版《數(shù)學(xué)》（以下簡稱北師大版）五年級(jí)上冊(cè)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”和美國My Math（以下簡稱MM 版）G4（四年級(jí)）“帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”兩個(gè)版本的內(nèi)容來進(jìn)行對(duì)比研究。

一、課節(jié)序列比較

為了解兩版教材關(guān)于“假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”的整體情況，我們對(duì)與假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)有關(guān)的課節(jié)序列編排進(jìn)行了比較（見表1）。

表1 兩版教材中與假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)有關(guān)的課節(jié)序列編排的比較

兩版教材都是在認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上展開對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，從而學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的互換、運(yùn)算及應(yīng)用，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的漸進(jìn)關(guān)系。北師大版教材中假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)的前一課是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位，這樣的編排有利于學(xué)生理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都是“分?jǐn)?shù)單位不斷累加的結(jié)果”。而在MM 版教材中，假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)的前一課是帶分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，這樣的編排可以幫助學(xué)生通過帶分?jǐn)?shù)的知識(shí)遷移認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)，理解假分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。其中，MM 版教材中“整數(shù)的分?jǐn)?shù)形式”課時(shí)編排讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了分子等于或大于分母的分?jǐn)?shù)形式，降低了假分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知難度。相較之下，北師大版教材對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的聯(lián)結(jié)能力要求更高，更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的實(shí)效性。

二、概念理解比較

（一）問題情境的比較

1.情境創(chuàng)設(shè)

北師大版教材創(chuàng)設(shè)了豬八戒分餅的童話情境，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，體現(xiàn)了中國的傳統(tǒng)文化。MM版教材選用了義賣會(huì)上學(xué)生賣餡餅的情境，貼近學(xué)生生活，體現(xiàn)了美國教材中德育教育的滲透。

2.問題設(shè)計(jì)

北師大版教材設(shè)計(jì)的問題是“5 張餅要平均分給4 個(gè)人，每人分到多少張餅”，MM 版教材設(shè)計(jì)的問題是“每個(gè)餡餅都平均分成了5 塊，賣完后還剩下7 塊，你能用分?jǐn)?shù)表示剩下多少餡餅嗎”。這兩個(gè)問題在本質(zhì)上都是讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示生活中具體的數(shù)量，但在問題解決難度上卻差異較大。MM版教材的問題中已經(jīng)明確告知“每個(gè)餅平均分成了5 塊，賣完后還剩下7 塊”，不需要學(xué)生經(jīng)歷分的過程，只需要學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示這個(gè)量。問題設(shè)計(jì)直白，學(xué)生可以憑借自己的知識(shí)儲(chǔ)備加以解決。北師大版教材的問題則更具挑戰(zhàn)性，5張餅要平均分給4個(gè)人，可以怎么分？每個(gè)人能分到多少？可以用什么數(shù)來表示？學(xué)生需要通過問題思考，在自主探究、同伴交流和教師引導(dǎo)中體會(huì)假分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的背景和意義。雖然北師大版教材的“大問題”設(shè)計(jì)方式對(duì)學(xué)生個(gè)體來講難度較大，學(xué)生需要在別人的幫助下才能理解概念，但是像這樣著眼于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)具有科學(xué)性和實(shí)效性。

3.素材選擇

兩版教材在情境創(chuàng)設(shè)中都選擇了“圓餅”素材，素材選擇的一致不是巧合，而是因?yàn)椤皥A是中心對(duì)稱圖形”的特征能滿足平均分需要，便于學(xué)生的操作和觀察。與MM 版教材沒有設(shè)計(jì)讓學(xué)生進(jìn)行分物的操作相比，北師大版教材選擇“4”作為分的對(duì)象數(shù)量，學(xué)生只需將圓進(jìn)行兩次對(duì)折就能實(shí)現(xiàn)平均分，操作非常方便。北師大版教材中得出每人分到張餅，MM版教材中得出剩下的餅可以用表示，兩版教材在本課中都選擇用大于1小于2的假分?jǐn)?shù)引入學(xué)習(xí)，利于學(xué)生理解假分?jǐn)?shù)能表示任何一個(gè)大于或等于1 的數(shù)量，實(shí)現(xiàn)對(duì)表示1 以上數(shù)量的精準(zhǔn)刻畫?？梢姡瑑砂娼滩亩驾^好地體現(xiàn)了素材選擇的科學(xué)性和有效性。

4.直觀表征

兩版教材都用了直觀圖來進(jìn)行表征（見表2）。北師大版教材呈現(xiàn)的是5 張整個(gè)的餅，“每人分到多少張餅”無法直接得知，學(xué)生只有借助學(xué)具操作、推理等方法加以解決，這樣的“留白”處理，為學(xué)生學(xué)習(xí)能力和探究能力的發(fā)展提供了空間。MM 版教材呈現(xiàn)的是賣完后一個(gè)已經(jīng)平均分成5 塊的餅和另一個(gè)餅中剩下的2 塊，對(duì)于“餅是怎么分的”“剩下多少塊餅”學(xué)生一目了然，不需要經(jīng)歷“怎么分—分到多少”的思考和操作過程，同時(shí)這種切塊的疊加方法有助于學(xué)生直觀地感受假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)單位的累加這一概念。雖然呈現(xiàn)方式上有所不同，但是兩版教材中直觀圖的呈現(xiàn)都能幫助學(xué)生理解問題。

表2 兩版教材中直觀圖的對(duì)比

（二）問題探究的比較

表3 兩版教材中問題探究過程的對(duì)比

對(duì)兩版教材中問題探究的過程進(jìn)行對(duì)比（見表3）可知，兩版教材中都是先引出整體加部分的帶分?jǐn)?shù)表示數(shù)量這一方式，再通過部分單位量的累加得到假分?jǐn)?shù)，符合學(xué)生由自然數(shù)到分?jǐn)?shù)表示量的認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，兩版教材都借助了從圓形中分離出的扇形圖來溝通分?jǐn)?shù)單位和面積模型的關(guān)系，通過圖形的大小和疊加，學(xué)生直觀地感受到假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)單位的累加，借助幾何直觀進(jìn)行概念理解。但是，兩版教材在具體引出方式和方法呈現(xiàn)上有所不同。

（1）MM版教材采用文字描述、面積模型、加法算式等混合說明的方式開展學(xué)習(xí)，最后出示“帶分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)都可以表示剩下的量”，直接呈現(xiàn)完整的過程和結(jié)論。其中教材中的細(xì)節(jié)處理，如整個(gè)餅的數(shù)量用“”和“1”兩個(gè)數(shù)重疊表示，將扇形面積圖有序排列等，有助于學(xué)生直觀感受分?jǐn)?shù)單位的累加。MM 版教材圖式結(jié)合、關(guān)注細(xì)節(jié)的呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)一目了然，利于學(xué)生開展獨(dú)立學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。

（2）北師大版教材中由于情境問題具有挑戰(zhàn)性，學(xué)生很難獨(dú)立解決，需要借助動(dòng)手操作、同伴交流的方式進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。為了保證學(xué)習(xí)的有效性，教師的引導(dǎo)就顯得至關(guān)重要，教師必須關(guān)注學(xué)生的不同思路和想法，根據(jù)班級(jí)實(shí)際情況進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)和難點(diǎn)的突破?？梢姡睅煷蟀娼滩脑隗w現(xiàn)學(xué)生主體地位的同時(shí)也強(qiáng)調(diào)教師的引導(dǎo)作用，對(duì)教師的專業(yè)水平要求也相對(duì)更高。為了給學(xué)生的“學(xué)”和教師的“教”提供正確的思路，教材中設(shè)計(jì)了問題串、人物旁白、對(duì)話框等提示。比如由智慧老人的旁白明確了是帶分?jǐn)?shù)以及的讀法。借問題串“淘氣遇到了麻煩，你能幫他解決嗎”預(yù)設(shè)了學(xué)生可能存在的認(rèn)知沖突，“我一張一張分，從圖上看每人怎么分到”。為了解決這個(gè)難點(diǎn)，教材中借用旁白和對(duì)話框的形式引導(dǎo)學(xué)生開展交流討論，在交流中通過多種方法理解淘氣所說的一定不是表示分到的絕對(duì)數(shù)量，這樣多角度的意義理解豐滿了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知。

三、概念解釋比較

對(duì)兩版教材中概念的解釋對(duì)象和順序進(jìn)行對(duì)比（見表4）可知，MM 版教材引導(dǎo)學(xué)生由帶分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)遷移到對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，突出帶分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的重要性。北師大版教材雖然引出了帶分?jǐn)?shù)的表示方法，但卻沒有進(jìn)一步地進(jìn)行概念解釋，而是出現(xiàn)了真分?jǐn)?shù)概念的解釋。由此可見，北師大版教材更注重在真假分?jǐn)?shù)的對(duì)比中開展假分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)和理解，突出假分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的重要性。

表4 兩版教材中概念的解釋對(duì)象和順序的對(duì)比

在概念的表述形式上，北師大版教材采用了描述式，MM版教材采用了定義式（見表5）。

表5 兩版教材中概念表述方式的對(duì)比

北師大版教材中描述式的表述，利于學(xué)生直觀形象地理解假分?jǐn)?shù)“分子等于或大于分母”的表征特點(diǎn)，與“分子小于分母”的真分?jǐn)?shù)對(duì)比，學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)可以分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)。MM 版教材中定義式的表述，則用簡明而完整的語言清楚地闡明了假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的關(guān)系，利用概念同化幫助學(xué)生理解假分?jǐn)?shù)就是帶分?jǐn)?shù)的另一種書寫形式。

通過比較發(fā)現(xiàn)，在“假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課中，北師大版和MM 版教材都關(guān)注解決學(xué)生對(duì)假分?jǐn)?shù)的認(rèn)知困難，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫骋爰俜謹(jǐn)?shù)，幫助學(xué)生感受假分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生及必要性。另外，在課節(jié)編排、概念建構(gòu)上遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的發(fā)展順序，體現(xiàn)了教材編寫的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。相對(duì)而言，MM版教材中的問題設(shè)計(jì)和探究過程更顯簡單直白，而北師大版教材的“大問題”設(shè)計(jì)更注重引導(dǎo)學(xué)生在探究中經(jīng)歷分析和推理過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想。