問·探·思：小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力落實(shí)三要素*
——《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2020年第3期導(dǎo)讀有感

□黃 建 張 琴

學(xué)科關(guān)鍵能力是指學(xué)生在學(xué)科課程的學(xué)習(xí)過程中形成的具有典型的學(xué)科特性、與特定的學(xué)科素養(yǎng)相關(guān)聯(lián)的特殊學(xué)科能力?！督虒W(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》2020 年第3 期中的本期話題聚焦學(xué)科關(guān)鍵能力中的“運(yùn)算能力”“空間想象能力”“推理能力”等展開論述。那么教師在教學(xué)中應(yīng)如何促進(jìn)學(xué)生學(xué)科關(guān)鍵能力的培養(yǎng)？通過閱讀，我們發(fā)現(xiàn)本期雜志中的文章在具體操作層面提供了許多有效的策略。

一、從“雙線并行”到“理法相融”——運(yùn)算能力

（一）“三個(gè)角度”理解運(yùn)算能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》中提出，運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問題。這兩句話實(shí)際上刻畫了運(yùn)算能力的三個(gè)主要特征：正確運(yùn)算、理解算理、方法合理。

翻開《中國中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷》，其中對(duì)于運(yùn)算能力是這樣描述的：運(yùn)算能力并不是一種單一的數(shù)學(xué)能力，而是運(yùn)算技能與邏輯思維等獨(dú)特結(jié)合的一種能力。它主要是通過解題而逐步發(fā)展起來的。在這里強(qiáng)調(diào)了運(yùn)算能力的兩個(gè)要素：一是運(yùn)算技能；二是邏輯思維。

在《運(yùn)中有智慧算中有妙法——小學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的思考》中，錢利平老師認(rèn)為：運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)有的關(guān)鍵能力，可以將它拆分為“運(yùn)”的能力與“算”的能力。“運(yùn)”是意識(shí)、思想、策略，是一種思維活動(dòng)；“算”是技能、實(shí)踐、演練，是一種操作活動(dòng)。可見運(yùn)算能力是包含了運(yùn)算技能與邏輯思維的一種綜合的能力。

（二）“三個(gè)重視”培養(yǎng)運(yùn)算能力

“理”“法”雙線并行，可以讓學(xué)生走得更穩(wěn)；而“理”“法”交融可以讓學(xué)生走得更遠(yuǎn)?；谶@樣的思考，這一期文章的作者又會(huì)提出怎樣的建議和策略呢？

1.重視教學(xué)內(nèi)容的選擇

在《直面核心知識(shí) 關(guān)注理法相融——小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)例談》一文中，凌璐予、徐丹紅兩位老師指出，以單元視角尋找單元核心，并在此基礎(chǔ)上重組內(nèi)容，能更好地凸顯教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)。作者以人教版三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例，分別從“單元分析，把握整體；學(xué)生分析，把握起點(diǎn)；重組內(nèi)容，把握核心”三個(gè)方面展開，對(duì)第一課時(shí)“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”做了以下調(diào)整。第一環(huán)節(jié)：將教材編排的口算作為課前熱身，并將算理進(jìn)行初步表征;第二環(huán)節(jié)：探究42÷3的口算方法，跟進(jìn)練習(xí)84÷3，并進(jìn)行對(duì)比，凸顯算理；第三環(huán)節(jié)：練習(xí)，例題內(nèi)容鞏固。通過核心內(nèi)容的聚焦，幫助學(xué)生理解算理。

2.重視教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，本期雜志共有4篇文章講到了學(xué)材的設(shè)計(jì)、1篇文章關(guān)注到了資源的利用、1篇文章特別強(qiáng)調(diào)了以練促評(píng)的重要性。

（1）借助學(xué)材，增強(qiáng)探究

在《計(jì)算器助力——20 以內(nèi)退位減法（一）的整合教學(xué)》一文中，卞航萍老師利用計(jì)數(shù)器促進(jìn)學(xué)生對(duì)于十幾減九算理的理解。通過對(duì)比小棒、計(jì)數(shù)器，發(fā)現(xiàn)計(jì)數(shù)器在實(shí)物與抽象中做到和諧統(tǒng)一。借助計(jì)數(shù)器，學(xué)生對(duì)算理的理解非常順利，甚至對(duì)第二個(gè)層次的方法（10-9=1，1+5=6）掌握得更好。有效運(yùn)用計(jì)算器這一學(xué)具，能重點(diǎn)突破學(xué)生對(duì)于算理的理解。

此外，通過多種學(xué)具也可以實(shí)現(xiàn)算理的互通。如：《運(yùn)中有智慧 算中有妙法——小學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的思考》一文中，作者借助現(xiàn)實(shí)模型、平面圖形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算理的探究、理解。在《猜想—驗(yàn)證，有助于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維》《直面核心知識(shí)關(guān)注理法相融——小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)例談》中，作者提出可利用直觀學(xué)具、幾何模型等學(xué)材。

我們發(fā)現(xiàn)，教師在幫助學(xué)生理解算理時(shí)，需要根據(jù)內(nèi)容的不同選擇合適的材料。

（2）善用資源，提升思維

在《讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之旅——記一堂“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的練習(xí)課》一文中，沈秋紅老師將一節(jié)練習(xí)課與“面積”單元的內(nèi)容進(jìn)行整合。從立足學(xué)生立場(chǎng)、巧用生成資源、善用再生資源、數(shù)形有效結(jié)合四方面，體現(xiàn)數(shù)學(xué)練習(xí)課的層次性、綜合性、拓展性，以激發(fā)學(xué)生探究的積極性，發(fā)展高階思維。這節(jié)課最吸引人的地方是其層層遞進(jìn)的練習(xí)設(shè)計(jì)，這是一篇有實(shí)踐、有思考的好文章。

（3）以練促評(píng)，內(nèi)化知識(shí)

好的練習(xí)設(shè)計(jì)不僅能促進(jìn)學(xué)生對(duì)于算理的理解，更能以整體的視角建構(gòu)知識(shí)。在理解了“退一作十”后，卞航萍老師設(shè)計(jì)了這樣三個(gè)層次的練習(xí)。層次一：1□-9；層次二：1□-8；層次三：1□-□，通過三個(gè)層次的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算過程中進(jìn)一步體會(huì)到：只要出現(xiàn)個(gè)位不夠減時(shí)，就可以用十位上的1 當(dāng)十來減，這個(gè)方法叫“退一作十”，這種計(jì)算叫“退位減法”。這組對(duì)于退位減法的理解的練習(xí)，基于具體的例子，又高于具體的例子，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)達(dá)到系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，最終提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

3.重視思維習(xí)慣的養(yǎng)成

在《運(yùn)中有智慧 算中有妙法——小學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的思考》一文中，作者強(qiáng)調(diào)了重視思維習(xí)慣養(yǎng)成的重要性。在文中，作者提出了三問：能簡(jiǎn)算嗎？——喚醒“簡(jiǎn)算意識(shí)”；有根據(jù)嗎？——發(fā)展“依據(jù)意識(shí)”；算得對(duì)、算得巧嗎？——深化“反思意識(shí)”。其實(shí)，如果從運(yùn)算的三個(gè)階段來看，這也就是指學(xué)生要養(yǎng)成這樣的習(xí)慣：運(yùn)算前，分析條件、抓住特征；運(yùn)算時(shí)，有理有據(jù)、條理清晰；運(yùn)算后，反思程序、優(yōu)化提升?；蛟S有了這些習(xí)慣的養(yǎng)成，學(xué)生能真正從會(huì)正確運(yùn)算慢慢走向方法合理，實(shí)現(xiàn)從“能”到“巧”的蛻變。

二、從“想了沒有”到“怎么想”——空間想象能力

空間想象能力指的是在頭腦中（心理上）對(duì)幾何體的形狀、結(jié)構(gòu)、特征以及位置關(guān)系，有意識(shí)地進(jìn)行加工改造乃至全新創(chuàng)造的過程，是一種高級(jí)的思維活動(dòng)，是空間觀念發(fā)展的重要指標(biāo)之一。對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)不能僅停留在學(xué)生“想了沒有”，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生“怎么想”的過程。這一期文章中對(duì)于空間想象能力的培養(yǎng)策略各不相同，但是總體來說以下三點(diǎn)非常突出。

（一）虛實(shí)結(jié)合——在“畫”中“想”

在《“承前啟后”求突破“虛實(shí)結(jié)合”促發(fā)展——“三角形的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)實(shí)踐與思考》一文中，陳凡和金錫根老師提出：認(rèn)識(shí)一個(gè)圖形，始于觀察和操作，即為“實(shí)”；更需空間想象，即為“虛”。觀察、操作是空間想象的基礎(chǔ)，空間想象是觀察、操作的高層次能力要求。在教學(xué)這一課時(shí)，作者安排了四次“畫”。第一次“畫”是獨(dú)立畫三角形，抽象其共同特點(diǎn)；第二次“畫”是過一個(gè)頂點(diǎn)畫對(duì)邊的垂線段，明確垂線段就是高后，引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛想象剛才畫高的過程；第三次“畫”是畫三角形指定底邊上的高，畫后引導(dǎo)學(xué)生思考高在哪里，反思畫的過程；第四次“畫”是在某一頂點(diǎn)水平左右移動(dòng)時(shí)，讓學(xué)生想象頂點(diǎn)還會(huì)在哪，然后將這些三角形以及底邊上的高畫出來。因此，教學(xué)中可以嘗試通過先“想”后“畫”，邊“想”邊“畫”，“畫”后再“想”這樣的教學(xué)策略，讓“想”貫穿于“畫”的全過程。

（二）動(dòng)態(tài)驗(yàn)證——在“變”中“想”

在《“承前啟后”求突破“虛實(shí)結(jié)合”促發(fā)展——“三角形的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)實(shí)踐與思考》一文中，作者兩次借幾何畫板讓三角形動(dòng)起來，學(xué)生在思考、想象、辨析等活動(dòng)中對(duì)三角形高的概念有了更清晰的認(rèn)識(shí)，同時(shí)發(fā)展了空間觀念。在《觀察、操作、想象：讓空間觀念發(fā)展清晰可見——“‘圖形的運(yùn)動(dòng)’練習(xí)課”教學(xué)實(shí)踐與評(píng)析》一文中，郭建平老師在笑臉拼圖被打亂后，讓學(xué)生先討論還原過程，再用課件動(dòng)態(tài)演示進(jìn)行驗(yàn)證，接著，任意打亂拼圖后憑想象還原。在交流別人的方法時(shí)，教師在學(xué)生想象后，適時(shí)跟進(jìn)演示，逐步幫助學(xué)生擺脫實(shí)物操作，提升想象能力?？梢姡瑒?dòng)態(tài)演示并不是為了替代學(xué)生想象，而是有機(jī)結(jié)合課件，還原學(xué)生頭腦中的畫面，并且在學(xué)生想不到的地方將動(dòng)態(tài)延續(xù)。

（三）語言描述——在“說”中“想”

《觀察、操作、想象：讓空間觀念發(fā)展清晰可見——“‘圖形的運(yùn)動(dòng)’練習(xí)課”教學(xué)實(shí)踐與評(píng)析》一文還特別強(qiáng)調(diào)了用語言規(guī)范地描述圖形運(yùn)動(dòng)的重要性。在情境中，學(xué)生觀察后回答“1 號(hào)圖形要回到原來的位置可以向右平移兩格”，教師強(qiáng)調(diào)了平移的兩個(gè)要素：方向和距離。在操作時(shí)，學(xué)生回答“2號(hào)圖形要回到原來的位置可以怎么運(yùn)動(dòng)”，教師引導(dǎo)學(xué)生描述旋轉(zhuǎn)時(shí)要講清楚旋轉(zhuǎn)中心、方向和角度。在深化探究環(huán)節(jié)，學(xué)生在實(shí)現(xiàn)還原后及時(shí)記錄方法，匯報(bào)時(shí)用語言清晰地描述還原的過程。語言是思維的外顯，完整、規(guī)范地用語言描述圖形的運(yùn)動(dòng)是將頭腦中空間想象的過程再現(xiàn)，是對(duì)空間想象能力的更高要求。

可見，觀察是為了更好地操作，而操作是為了更好地想象。只有感知到位才能留下表象，只有表象清晰才能印象深刻。我們需要向上述作者學(xué)習(xí)，不斷開發(fā)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)。通過觀察、操作等讓“想”有“跡”可循，通過推理、想象等讓“象”更加明晰。

三、從“知其然”到“知其所以然”——推理能力

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的最基本手段。推理一般包括合情推理和演繹推理。本期中關(guān)于推理能力的文章有2篇，它們又有什么共通之處呢？

在《不止于“實(shí)驗(yàn)與猜想”，也需要“邏輯與證明”——例談數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的幾種方法》一文中，金秀葉老師提出：在教學(xué)中既需要通過實(shí)驗(yàn)與猜想等方式重視合情推理能力的培養(yǎng)，也需要通過邏輯與證明等方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)演繹推理。如此，不僅解決推理“是什么”的問題，更讓學(xué)生走向?qū)Α盀槭裁础钡睦斫猓M(jìn)而學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用，讓學(xué)習(xí)從淺表走向深刻。

對(duì)比內(nèi)容。作者分析了人教版、北師大版、蘇教版等教材，發(fā)現(xiàn)對(duì)于“比例的基本性質(zhì)”一課整個(gè)教學(xué)過程只有不完全歸納法。在教學(xué)中，一般都是經(jīng)歷“舉例—猜想—驗(yàn)證”這樣的過程，僅此而已。基于此，作者分別從學(xué)生視角和教師視角提出了三點(diǎn)不足。①止于不完全歸納，未能深挖本質(zhì)；②止于零散的學(xué)習(xí)，未能實(shí)現(xiàn)整合；③止于單一的路徑，未能呈現(xiàn)多樣。如果只有不完全歸納，其實(shí)就停留在“知其然”;只有討論“為什么”，找出必然聯(lián)系，那才是“知其所以然”。

尋求突破。作者根據(jù)這三點(diǎn)不足重構(gòu)“比例的基本性質(zhì)”一課，突出推理的過程。經(jīng)歷這樣的推理學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，不僅還原了數(shù)學(xué)本質(zhì)，更重要的是感受了推理的價(jià)值。作者又通過四種方法提升學(xué)生邏輯與證明的能力。①強(qiáng)化說理，學(xué)習(xí)邏輯化；②豐富路徑，形式多樣化；③質(zhì)疑突破，探究層次化；④聯(lián)系整合，促進(jìn)結(jié)構(gòu)化。由此，不僅讓學(xué)生知道“是什么”，更要明了“為什么”，從而學(xué)會(huì)“前聯(lián)后延”，真正培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

夏小林、朱新強(qiáng)老師在《推理能力培養(yǎng)三部曲——以“多邊形內(nèi)角和”教學(xué)為例》一文中，以“多邊形的內(nèi)角和”為載體，助力學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。文章從以下幾個(gè)方面展開：把握本質(zhì)，讓知識(shí)成為思維的載體；形成猜想，讓學(xué)生站在推理的起點(diǎn)；經(jīng)歷過程，讓學(xué)生體悟推理的方法。以實(shí)例測(cè)量形成猜想，用合情推理驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和是180°”，進(jìn)而運(yùn)用演繹推理證明四邊形、五邊形內(nèi)角和。合情推理、演繹推理兩種推理方式互為補(bǔ)充，使學(xué)生不僅“知其然”，而且“知其所以然”，切實(shí)提升推理能力。

通過閱讀，我們明白這兩篇文章都在強(qiáng)調(diào)“為什么”的重要性，以及“是什么”與“為什么”之間緊密的聯(lián)系。

學(xué)科關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，需要我們不僅要有意識(shí)，更要有探索。而這些生動(dòng)的例子恰恰給我們的探究指明了新的方向，也給我們的思考提供了新的角度。