數(shù)學結構化教學漫談

□李加樹

結構化教學是根據(jù)知識的形成規(guī)律和學生的認知發(fā)展規(guī)律，通過溝通各元素間的聯(lián)系來設計教學的一種方法。列維的“結構主義”、皮亞杰的“認知結構理論”、布魯納的“學科基本結構”、奧蘇伯爾的“有意義學習理論”、葉瀾教授的“新基礎教育”都是結構化教學的理論依據(jù)。結構化教學在小學數(shù)學教學中具有重要的實踐價值。

一、數(shù)學結構化教學的內(nèi)涵

數(shù)學結構化教學是指從數(shù)學知識結構和學生認知結構的角度設計和組織教學，旨在改善和發(fā)展學生的數(shù)學認知結構，讓學生在發(fā)現(xiàn)和理解核心元素的過程中發(fā)展思維，培養(yǎng)學力，提升數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學結構化教學遵循整體性、關聯(lián)性、層次性原則。

整體性。結構化教學本質上是對課程理想和教學愿景的表達，它以本真自然、生命靈動、動態(tài)建構和整體提升界定自身，強調課程與學生之間存在著一種整體方式相互滲透的轉變關系。結構化教學主張“尊重整體的學生，謀求課程的統(tǒng)整，建構整體的教學和塑造整體的教師”，以此來培養(yǎng)“整體的人”。

結構性。認知心理學家奧蘇伯爾指出：“學生的認知結構是從知識結構轉化而來的?！睂W習的過程就是建構新的認知結構的過程。數(shù)學的概念、原理和規(guī)律都有內(nèi)在聯(lián)系，構成了學科的知識結構。即使是相同的知識結構，也有不同的教學展開結構和學習方法結構。因此，結構化教學倡導“把握知識的展開結構，洞悉教學的過程結構，明晰學習的方法結構”。

關聯(lián)性。學習的使命是發(fā)現(xiàn)和揭示知識與知識、知識與外部世界的聯(lián)系，這不僅賦予知識以價值，而且賦予學習以新的意義。數(shù)學結構化教學是知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程，是師生共同建構知識意義、形成健康人格、發(fā)展核心素養(yǎng)的過程。它追求學生身心的關聯(lián)、知識之間的關聯(lián)、學生與社會生活的關聯(lián)。

二、數(shù)學結構化教學的價值

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》指出：“把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系……”結構化教學契合這一要求，對教師、學生的發(fā)展及深度教學大有裨益。

1.讓教學觸及本原。結構化教學要求教師從全學科、跨學科、跨領域的大視野中把握教材，有效避免“就課論課”，提升教師的專業(yè)素養(yǎng)。教師基于知識的整體框架對教材進行加工和重組，從知識本身的邏輯體系及知識間的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)，設計有層次性的教學，讓教學真正觸及知識的本原。

2.讓學習真正發(fā)生。結構化教學是對知識進行模塊狀、網(wǎng)絡狀整理和架構，把知識結構轉化為學生的認知結構。結構化教學有助于減輕學生的記憶負擔，有助于學生從“學會”走向“會學”，從“淺層學習”走向“深度學習”。教學中教師通過結構化的思想設計、組織教學，有助于學生完整經(jīng)歷知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展的過程，從中積累活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學思想，把課堂真正從“雙基”教學引向更深層次的“四基”教學，讓學習真正發(fā)生。

3.讓學生真正發(fā)展。結構化教學能根據(jù)數(shù)學的嚴謹性和系統(tǒng)性，訓練學生思維的條理性和深刻性。結構化教學立足數(shù)學知識結構，拓展學生的數(shù)學認知結構，有效培養(yǎng)學生的結構化思維和系統(tǒng)化思維，提升學生的思維品質，讓學生的生命質量和數(shù)學素養(yǎng)得到雙重提升。

三、數(shù)學結構化教學的實踐策略

結構化教學要有機整合“知識結構”“認知結構”，有序建構學習者的知識結構，促進知識向技能的遷移和轉化，最終形成學習者自身的認知結構。

（一）梳理與整合

布魯納認為，知識不應當是零散的，而應當是結構化的。結構化教學要求教師立足多重視角研讀教材，整體把握教材結構，整體把握知識板塊，彈性設計教學課時。

1.建立“關聯(lián)”。教師在學習素材的整合中，將原本孤立、分散的知識點連點成線，連線成網(wǎng)，建構起一個連續(xù)的知識體系，以實現(xiàn)知識的串聯(lián)和方法的關聯(lián)，加深學生對所學知識的理解，觸類旁通。

例如“認識小數(shù)”的教學，教師可以利用“數(shù)位順序表”建立整數(shù)與小數(shù)知識的關聯(lián)。在學習小數(shù)時，可以利用學生已有的“10 個一是一個十，10 個十是一個百，10 個百是一個千……”的知識經(jīng)驗，延伸到對小數(shù)的認識：把1 平均分成10 份，1 份就是0.1，10個0.1是1；把0.1平均分成10份，1份就是0.01，10個0.01是0.1……這樣，在整數(shù)和小數(shù)之間建立起關聯(lián)，形成知識結構體系，學生不僅獲得了數(shù)學知識，更發(fā)展了數(shù)學思維。

2.溝通“聯(lián)系”。數(shù)學知識間有聯(lián)系，數(shù)學方法也不例外。結構化教學，教師應引領學生探索和發(fā)現(xiàn)知識點之間相似的呈現(xiàn)過程，厘清知識的來龍去脈，實現(xiàn)知識點整合、知識群的構建以及多種思想方法的融合，形成一個整體的知識結構體系。

例如“多邊形的面積計算”教學，教材是按照幾種圖形面積計算方法的內(nèi)在聯(lián)系安排教學順序的。因此，教師要“著眼整體、著重聯(lián)系、著力思維”，整體構建面積教學,重點關注推理能力的發(fā)展。教師既要知曉學生已學過的相關內(nèi)容（學生已有的知識經(jīng)驗），又要思考后續(xù)學習的相關內(nèi)容；既要引導學生探究多邊形面積的計算方法，又要幫助學生溝通多邊形面積計算公式之間的聯(lián)系。在方法結構上，要求學生先動手剪拼，嘗試把新的圖形轉化成已經(jīng)會計算面積的圖形，并引導學生在匯總表中填寫分組測量的數(shù)據(jù)，然后提出猜想、得出結論。在“整理與練習”中，通過梳理、通融、整合，對多邊形面積的計算進行重構，幫助學生理解相關面積公式的來龍去脈、發(fā)生發(fā)展，培養(yǎng)他們的數(shù)學推理能力和空間觀念，感受數(shù)學方法的內(nèi)在魅力。

3.實現(xiàn)“循環(huán)”。數(shù)學知識和數(shù)學方法的學習是一個循環(huán)往復、螺旋上升的過程。教師在進行結構化教學設計時，遵循“由淺入深、由易到難、循序漸進”的原則，讓學生通過“認識—實踐—再認識—再實踐”的過程，體會和運用數(shù)學思想與方法，實現(xiàn)對數(shù)學知識、規(guī)律的理解，并增強對數(shù)學思想、方法、經(jīng)驗的領悟。

例如“數(shù)的認識”教學內(nèi)容安排在不同年級的不同單元。各年級的“認識整數(shù)”教學都按相同的知識邏輯展開，無論是一年級的“10 以內(nèi)數(shù)的認識”“11～20 以內(nèi)數(shù)的認識”“百以內(nèi)數(shù)的認識”，還是四年級的“億以內(nèi)數(shù)的認識”……都是按“數(shù)的意義─組成─數(shù)位─讀寫─大小比較”邏輯順序展開的。隨著認數(shù)范圍的逐步展開，教師可以在適當?shù)臅r機呈現(xiàn)整數(shù)概念知識的邏輯結構，讓學生從整體上感悟，使之逐步轉化為學生個體的認知結構。

（二）“教”“用”并重

1.“教結構”與“用結構”并進。“教結構—用結構”是結構化教學的核心教學策略。“教結構”的關鍵是讓學生了解它、理解它，最終達成“用結構”?！敖Y構化教學”視野下的“教”是為了后續(xù)的“少教”甚至“不教”。教學中，教師要讓學生理解結構化知識，掌握獲取結構化知識的方法，使之成為學習新知的工具。

例如“9 加幾”的教學，“湊十法”是其方法結構。教學中，教師要通過“分一分、算一算、說一說”的過程，讓學生掌握“湊十法”的方法結構，即讓學生經(jīng)歷“把另一個加數(shù)拆成1和幾”“先算9+1=10，再算10 加幾等于十幾”“說一說9 加幾的規(guī)律”的過程，這是“教結構”。學生只有掌握了“湊十法”的方法結構，才能在學習“8加幾”“7加幾”“6加幾”的時候更好地“用結構”，這樣的“不教”能讓學生的認知水平得以層層深化。在“教結構”的進程中，往往需要“用”到之前學過的多種結構，因此，“教”與“用”是有機交融、并行推進的?！敖探Y構”與“用結構”能促進學生對知識結構和方法結構的掌握與建構。

2.“結構性”與“靈活性”并重。即使在相同的過程結構中，教師也應根據(jù)學習內(nèi)容選擇不同的教學方法。如蘇教版的“運算律”，是按“感知特征—形成猜想—驗證猜想—歸納概括—反思完善”的過程結構展開教學的，這有利于學生感悟從具體到抽象的認識過程，發(fā)展數(shù)學思維。在教學“加法交換律”時，教師要基于學生的認知經(jīng)驗，加強這一過程結構的提煉，讓學生去感知和內(nèi)化。學生在“用結構”的過程中，可以選擇不同的策略推進結構中的某一環(huán)節(jié)。如通過對不同解題方法的交流，引出等式，由此形成猜想：交換加數(shù)的位置，和不變。通過“加法交換律”的類比猜想引出“乘法交換律”，這樣不僅避免了重復，又可以通過類比猜想在加法交換律和乘法交換律之間建立起意義關聯(lián)，有助于培養(yǎng)學生的合情推理能力，豐富和完善學生對“運算律”的認知結構。

3.“生成性”與“延伸性”并存。課堂教學中對生成性資源與知識進行有效延伸有利于拓寬學生的視界，完善學生的認知架構。例如“加法交換律”教學，學生在舉例驗證猜想的過程中，不僅出現(xiàn)了整數(shù)加法、小數(shù)加法，還出現(xiàn)了分數(shù)加法。這既有數(shù)域上的拓展，又有策略上的完善，最后學生用含有字母的式子“a+b=b+a”把所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示了出來。教學至此，教師如果能將研究的視角擴展到“加數(shù)的個數(shù)”和“運算的類型”兩個維度，引導學生帶著新的猜想繼續(xù)學習，那么學生的知識結構和方法結構會得到進一步發(fā)展。

（三）勾連與突破

布魯納指出，學習就是認知結構的組織和重新組織。教學中，教師要從教學內(nèi)容的實際出發(fā)，通過適當?shù)臏贤ā⒙?lián)系，引導學生主動求索、自我領悟。教師既要瞻前顧后，又要左顧右盼；既要布全局，又要抓重點；既要有所勾連，又要有所突破。

1.立足知識關聯(lián)。基于學生的年齡和心理特征，數(shù)學的整體知識被分散在各年級的教材之中，因此教學時教師要從整體把握教材，找到知識間的關聯(lián)。

例如“圖形的測量”教學，小學階段的內(nèi)容包括長度、面積、體積、角的度量等。一般地，一維圖形的測量是長度，二維圖形的測量是面積，三維圖形的測量是體積，它們雖然有差異，但又具有一致性：都以數(shù)量來刻畫特征?！皥D形的測量”教學，要讓學生經(jīng)歷用不同方式測量的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的必要性；讓學生在描述現(xiàn)實世界的過程中，理解與把握度量單位的實際意義，感受“度量單位”的多樣性和關聯(lián)性，提高分析問題和解決問題的能力。

2.立足不同視角。教學中教師要引導學生多角度關注數(shù)學知識，幫助學生形成一個立體、開放、動態(tài)的知識結構。在這個結構中，相關知識可以納入其中，知識節(jié)點可以迅捷提取，以解決相關的數(shù)學問題。例如“圓的認識”教學，教師可以呈現(xiàn)自行車的車輪、放大鏡的鏡面、橙子的剖面等圖片，在這些圖片中找出圓形，把教學的話題集中到圓上，再探究圓的特征；也可以圍繞“學生圍成圓形套圈”和“學生站成一條直線套圈”，從游戲的公平性角度引入，認識圓的特征。前者是基于生活中物體表面的圓或生活中圓的現(xiàn)象引出圓，認識圓的特征；后者是基于圓的本質“到定點的距離等于定長的點軌跡”引出圓，認識圓的特征。再如“三角形”的分類，按角可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，按邊可分為等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形。這樣系統(tǒng)而多元的視角，有利于學生獲得對數(shù)學知識的整體感知。

3.立足相關特性。教師要善于選擇相關性的教學內(nèi)容，分析結構性知識板塊中的知識起點、落點，保障結構性教學過程的高質、高效。比如“認識厘米”和“角的度量”，兩者內(nèi)容雖然不同，但有關聯(lián)性（“厘米尺”和“量角器”構造原理相同，度量的設想相同）。從這個意義上說，“認識厘米”是“角的度量”的基礎，讓學生經(jīng)歷“厘米尺”的誕生過程，能幫助其理解“量角器的誕生”。學生認識到測量長度本質上就是看被測量的對象包含幾個長度單位，就容易理解“量角”就是看“度量對象里有多少個度量單位”。此經(jīng)驗也可以直接遷移到“認識面積”“認識體積”等的學習中。

教師的結構化教學觀，有助于發(fā)展學生的結構化思維，形成整體的數(shù)學認知體系；有助于師生進行深度的教與學，更好地培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。