類比中獲新知 應用中顯能力

陳兆緒

[摘 ?要] 《義務教育數(shù)學課程標準》中明確指出：“要讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動，發(fā)展合情推理和初步演繹推理能力. ”其中，“類比法”是培養(yǎng)學生合情推理能力的一種重要數(shù)學思想方法. 在初中數(shù)學解題教學中，教師應引導學生在運用類比法的過程中學會發(fā)現(xiàn)、學會遷移、學會歸納，掌握解題技巧與方法，從而讓學生在類比中獲得新知識，在應用類比中提升解題能力.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;類比思想;解題教學;能力培養(yǎng)

所謂“類比法”，是指在學習新的數(shù)學知識時，通過聯(lián)想與其性質、特征相似的已有數(shù)學知識，利用新舊知識的相同點，利用處理已有知識的數(shù)學方法來獲得新知的一種特殊的處理方法. 在初中數(shù)學教學中，新概念、新定理、新性質、新運算規(guī)則等增加如潮，往往學生雖然做了大量的習題訓練，但遇到新題型或題型變式，就會變得無從下手，因此，引導學生運用類比推理的方法來解決數(shù)學問題，無疑能讓復雜的問題簡單化、未知的問題已知化，學生的解題效率能得到極大程度的提升，有效促進學生解題能力的發(fā)展.

指導學生在類比中歸納

“從特殊到一般”與“由一般到特殊”是人類認識客觀世界的一個普遍規(guī)律. 人類對于知識的認識并非是一蹴而就的，而是需要經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性認識到理性認知的螺旋式發(fā)展過程. 在數(shù)學學習研究中常用的“類比法”集中體現(xiàn)了“從特殊到一般”的認知規(guī)律. 歐拉說過：“類比是偉大的引路人. ”他的許多定理都是通過在類比中不斷地歸納總結而形成的. 在初中數(shù)學解題教學中，類比法是學生發(fā)現(xiàn)解題思路的重要手段，甚至是發(fā)現(xiàn)新知識、新規(guī)律的重要手段. 事實上，對于一些比較復雜的、陌生的數(shù)學問題，往往要經(jīng)過多次類比、猜想、論證的過程，對于數(shù)學能力比較薄弱的初中生而言，要讓其靈活運用類比法，還需要教師在解題教學過程中有意識地啟發(fā)與引導學生通過類比去思考、去學習、去歸納與總結，從而幫助學生掌握數(shù)學解題規(guī)律.

例如，“折疊問題”是學生學習中的重難點，尤其是對于部分空間想象能力比較薄弱的學生而言，難以想象出折疊后圖形的形狀，從而導致解題錯誤或失敗. 因此，筆者采用了問題串的形式，讓學生通過對題型和問題的類比分析，掌握折疊問題的解題規(guī)律.

例1 如圖1所示，ABCD為長方形，E為CD邊上一點，連接AE，將長方形ABCD沿著直線AE折疊，其頂點D正好落在BC邊上的F點. 已知AB=8，CE=3，求S .

例2 如圖2所示，在長方形ABCD中，已知CD=1，BC=，現(xiàn)將長方形ABDC沿著其對角線BD進行折疊，其頂點C落在C′處，求S .

教學時，在學生尋找到解題方法后，引導學生比較例1和例2：

（1）在兩道例題求解過程中都用到了哪些知識點？

（2）通過比較例1和例2，你能得出什么規(guī)律？

（3）你能在上述認知的基礎上解決例3嗎？

例3 如圖3所示，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，現(xiàn)將矩形ABCD沿著直線CE進行折疊，恰好使得矩形頂點D落在對角線AC上的點F處.

（1）求EF的長度;

（2）求梯形ABCE的面積大小.

通過類比與歸納發(fā)現(xiàn)，在例1和例2的求解過程中，運用了軸對稱、全等三角形、勾股定理、相似三角形、方程等相關知識. 在解決這類問題時，主要運用三角形相似和直角三角形的勾股定理來構造方程，綜合運用了方程思想、轉化思想. 學生在掌握矩形折疊問題的常用方法及步驟技巧后，再運用類比法來求解例3就會變得容易很多. 可見，運用類比，可以讓學生在比較中發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律與方法，并能運用這種方法來解決新的問題，有利于強化學生的解題能力.

指導學生在類比中遷移

所謂“類比遷移”是指學生運用熟悉問題的解決方法去解決新問題的一種解題策略. 類比遷移主要包括類比源的選取和關系匹配兩個環(huán)節(jié)，其中任何一個環(huán)節(jié)出錯，都會導致類比遷移出錯，形成類比負遷移. 在類比遷移過程中，包括數(shù)學思想方法和解題方法的遷移. 為避免出現(xiàn)類比負遷移，教師應采用靈活的方式方法，讓學生把握問題的本質和數(shù)學的真諦，力爭讓學生在解題過程中少走彎路，提高解題效率，促進學生解題能力的培養(yǎng).

例如，在有關“相似三角形”的解題教學中有這樣一道例題：

例4 如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=7，∠ABC=60°，取BC上一點P，連接PA，取DC上點M，連接PM，使得∠APM=∠ABC.

（1）求AB的長度.

（2）在BC邊上是否存在一點P，使得=，若存在，求出BP的長度;若不存在，請說明理由.

學生在求解這道題目時，由于P點和M點都未知，很多學生感覺束手無策，不知道從何下手，這時筆者并未直接告訴學生解題思路，而是繼續(xù)給出了例5：

例5 如圖5所示，在等邊三角形ABC中，已知：∠APM=60°，BP=1，CM=，求三角形ABC的邊長.

對于例5筆者進行了解題指導：

師：通過讀題，除了題目中給出的，你們還可以發(fā)現(xiàn)哪些條件？

生：AB=BC=AC，∠B=∠BAC=∠C=60°.

師：結合已知條件和圖形，你們覺得△ABP和△PCM有什么關系？

生：兩個三角形相似.

師：請說明你的理由.

生：因為∠APC=∠APM+∠MPC=60°+∠MPC，又∠APC=∠ABP+∠BAP=60°+∠BAP，所以∠MPC=∠BAP，又∠B=∠C=60°，所以，△ABP和△PCM相似.

師：非常不錯. 接下來怎么做呢？

生：根據(jù)相似三角形對應線段成比例就能求出AB的長度.

師：非常好！那么，我們現(xiàn)在再來看看例4，你們是否有思路了呢？

生：例4就是將例5中的三角形改成了四邊形，以此類推，同樣可以得到△ABP和△PCM相似. 再根據(jù)相似三角形對應線段成比例，也能求出AB的長度.

可見，在例4和例5的解題過程中都利用了相似三角形的判定和性質，學生通過對例5中解題思路的分析，明確了這類題目的核心本質，此時，再讓他們求解例4，學生運用類比遷移的方法自然就會使得問題解決變得容易許多，大大提高了解題效率，為培養(yǎng)學生解題能力奠定了有利基礎.

指導學生在類比中發(fā)現(xiàn)

所謂“類比發(fā)現(xiàn)”是指在解決數(shù)學問題過程中的思維表現(xiàn)在探求中發(fā)現(xiàn)問題，并按照相關問題的解決策略進行求解的一種思維方法. 相比于類比歸納，類比發(fā)現(xiàn)的表現(xiàn)方向存在顯著差異. 類比發(fā)現(xiàn)是在原有數(shù)學問題基礎上通過尋找合理的類比對象，然后與其他數(shù)學思維方法進行有效結合來解決問題的一種策略. 對于初中數(shù)學來說，各個知識點之間存在一定的關聯(lián)性，同樣的，各個題目之間也存在一定的關聯(lián)性，因此，為了幫助學生更好地發(fā)現(xiàn)其關聯(lián)性，降低解題的難度，在初中數(shù)學解題教學中，教師要指導學生在類比中發(fā)現(xiàn)各項數(shù)學理論知識之間的關聯(lián)性，這樣能為縮短學生解題時間做好鋪墊，同時也對培養(yǎng)與提高學生分析與解決問題的能力具有十分重要的意義.

例如，在“幾何圖形面積表示”的解題教學中有這樣一道例題：

例6 如圖6所示，某些代數(shù)恒等式可以利用幾何圖形的分割來表示. 如甲圖中，可以用圖形面積表示（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2. 還有很多恒等式可以采用幾何圖形來驗證.

（1）寫出圖乙中所表示的代數(shù)恒等式;

（2）已知代數(shù)恒等式：（a+2b）2=a2+4ab+b2，請在圖丙中利用圖形面積來驗證等式的正確性.

為了幫助學生更好地理解乘法公式的幾何圖形表示方法，筆者給出了以下例題幫助學生回顧相關知識.

例7 如圖7所示. 在一個邊長為a的正方形中，現(xiàn)挖掉一個邊長為b的正方形，如圖甲所示，然后將剩余的部分拼成一個長方形，如圖乙所示. 根據(jù)甲和乙中兩個圖形陰影部分的面積關系，可以得到的乘法公式是：_________.

通過對例7的求解過程進行分析，引導學生回顧乘法公式的幾何表示方法. 這時我們再來看例6，第（1）小問如何解決呢？是否可以采用例7中類似的方法呢？第（2）小問又如何解決呢？通過類比可以發(fā)現(xiàn)這兩道例題之間的聯(lián)系與區(qū)別，其聯(lián)系在于都運用了數(shù)形結合的思想方法，其區(qū)別在于例7和例6中第（1）小問，都考查形到數(shù)的變化，而例6中的第（2）小問，關注的則是從數(shù)到形的變化，是對學生逆向思維和數(shù)形結合思想方法的綜合考查.

可見，通過上述問題的類比分析，一方面可以幫助學生回憶舊知識，另一方面能提高學生將問題從陌生向熟悉、從一般向特殊轉化的能力，有效鍛煉了學生的解題思維.

結束語

著名數(shù)學家拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類比. ”可見類比對于數(shù)學學習的重要性. 在初中數(shù)學教學中，培養(yǎng)學生的類比思維，讓學生從已有知識體系中提取相關知識與技能，幫助學生掌握新知識，不僅有利于學生對知識的深刻理解，提高學生的數(shù)學應用能力，而且能進一步促使學生認知思維本質與結構的形成，培養(yǎng)學生自主探索知識與創(chuàng)造知識的能力，有效提高學生的數(shù)學學習效率.