關(guān)注圖形規(guī)律，分類探究思考

鄧雪曉

[摘 ?要] 圖形規(guī)律探究題涉及幾何分析、猜想推理和規(guī)律總結(jié)等過程，由于題型變化多樣、知識(shí)點(diǎn)綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，學(xué)生在解題突破時(shí)很容易遇到思維障礙，文章將對該類問題進(jìn)行簡要分析，結(jié)合實(shí)例講解其中四種類型題的解題思路及策略，并提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圖形;規(guī)律;函數(shù);遞變;相似;學(xué)科

問題綜述

圖形規(guī)律探究題是中學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)典問題之一，解析時(shí)需要利用已知條件及其中的特例，通過觀察、類比、歸納來發(fā)現(xiàn)圖形特征或者隱含規(guī)律. 該類問題一般設(shè)計(jì)較為新穎、信息含量大、變化性強(qiáng)，能夠充分考查學(xué)生的圖形分析、信息提取、規(guī)律總結(jié)能力，在近幾年的中考中出現(xiàn)的頻次很高，因此需要學(xué)生重點(diǎn)掌握. 圖形規(guī)律探究題中圖形衍生的方式是多樣的，在實(shí)際探究時(shí)需要明晰其中的衍生規(guī)律，才能把握題目的變性和規(guī)律性.

分類探究

圖形規(guī)律探究題具有眾多類型，根據(jù)圖形變化規(guī)律可以分為循環(huán)規(guī)律型、相似規(guī)律型、函數(shù)遞變型、學(xué)科滲透型等，下面對其分別舉例，總結(jié)突破方法.

1. 類型一：循環(huán)規(guī)律型

循環(huán)規(guī)律型探究題的典型特點(diǎn)是圖形中存在角度、線段等幾何關(guān)聯(lián)條件，因此可以根據(jù)關(guān)聯(lián)條件來逐個(gè)推理不同幾何圖形中的性質(zhì)特征. 在解析時(shí)需要注意把握基礎(chǔ)圖形的特點(diǎn)，結(jié)合相關(guān)幾何知識(shí)來逐步推導(dǎo)，總結(jié)其中的幾何通式，完成規(guī)律提煉.

例1 ?如圖1，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4C4的斜邊均位于直角坐標(biāo)系xOy的軸上，已知∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°，OA1=OC2，OA2=OC3，OA3=OC4，…按此規(guī)律進(jìn)行變化. 若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，0），則點(diǎn)A2014的坐標(biāo)為______.

解析 ?關(guān)注四個(gè)直角三角形的邊長特性，三角形中均含有30°角，由題意可知，在Rt△OA2C2中，OC2=OA1=3，∠A2OC2=30°，則可得OA2=OC2=3×. 同理遞推，可知在Rt△OA3C3中，OC3=OA2=3×，則OA3=·OC3=3×2;在Rt△OA4C4中，OC4=OA3=3×2，則OA4=·OC4=3×3. 進(jìn)行規(guī)律總結(jié)，可知OAn=3×n-1. 根據(jù)2014=4×503+2可判定點(diǎn)A2014在y軸的正半軸上，且OA2014=3×2013，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為0，3×2013.

評(píng)注：對于圖形規(guī)律探索題，首先需把握規(guī)律變化類型，然后提煉其中的規(guī)律條件，總結(jié)變化規(guī)律. 本題目屬于圖形循環(huán)變化的規(guī)律題，需要把握圖中直角三角形的特性，利用三角函數(shù)來解析邊長關(guān)聯(lián)，確定線段長的計(jì)算通式，從而求解點(diǎn)坐標(biāo).

2. 類型二：相似規(guī)律型

相似規(guī)律型探究題的核心特點(diǎn)是圖形相似，常見的有相似三角形、相似矩形、相似正方形等，解析時(shí)就需要利用圖形的相似性質(zhì)來提煉規(guī)律條件. 例如根據(jù)三角形相似的線段比來總結(jié)幾何線段的比值關(guān)系，利用相似比構(gòu)建圖形面積通式等.

例2 ?正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖2，已知頂點(diǎn)坐標(biāo)：A（1，0），D（0，2）. 現(xiàn)按照如下方式作圖：先延長CB，與坐標(biāo)的x軸相交于點(diǎn)A1，以A1C為一邊作正方形A1B1C1C;延長C1B1，與x軸相交于點(diǎn)A2，以A2C1為一邊作正方形A2B2C2C1，按照這樣的規(guī)律持續(xù)作圖，則第3個(gè)正方形的面積為______;則第n個(gè)正方形的面積為______（請用含有字母n的代數(shù)式來表示）.

解析 ?上述為圖形規(guī)律探究題，題干給出了正方形ABCD相關(guān)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，以及后續(xù)正方形繪制的方法，因此需要根據(jù)作圖條件來提煉規(guī)律，計(jì)算圖形面積通式. 觀察圖形可知所作正方形均為相似圖形，結(jié)合坐標(biāo)可推理出其中存在著相似三角形，即△AA1B∽△A1A2B1∽△A2A3B2，根據(jù)線段關(guān)系可知上述三角形的三邊比為1 ∶ 2 ∶ ，進(jìn)而可求得A1B1 ∶ AB=2 ∶ 3，同理可知后續(xù)每一個(gè)正方形與前一正方形的相似比均為3 ∶ 2. 第1個(gè)正方形的面積為5，則第2個(gè)正方形的面積為5×2，第3個(gè)正方形的面積為5×4，推理可得第n個(gè)正方形的面積為5×2n-2.

評(píng)注：依托直角坐標(biāo)系構(gòu)建的圖形規(guī)律探究題一般會(huì)涉及“數(shù)”與“形”，因此采用數(shù)形結(jié)合的方式來突破最為有效. 上述屬于相似規(guī)律型探究題，圖中的正方形、三角形具有相似關(guān)系，因此根據(jù)相似比來提取線段關(guān)系，根據(jù)線段關(guān)系來總結(jié)面積通式是解題突破的關(guān)鍵.

3. 類型三：函數(shù)遞變型

函數(shù)遞變型探究題的顯著特點(diǎn)是依托函數(shù)圖像來構(gòu)建幾何圖形，因此圖形衍生必然與對應(yīng)函數(shù)有著緊密關(guān)聯(lián). 突破的關(guān)鍵是利用函數(shù)特性來計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)、推理線段或面積關(guān)系，從而建立幾何量之間的代數(shù)關(guān)聯(lián).

例3 ?如圖3，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2= A2A3=A3A4=A4A5，然后分別以點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5為垂足作x軸的垂線，與反比例函數(shù)y=（x≠0）的圖像分別相交于點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，從而得到直角三角形△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，△A3P4A4，△A4P5A5，并將上述五個(gè)三角形的面積依次設(shè)為S1，S2，S3，S4，S5，則S5的值為______.

解析 ?本題目依托反比例函數(shù)構(gòu)建了三角形，因此解析時(shí)需要結(jié)合函數(shù)來分析圖形，把握圖形特點(diǎn)，從中提煉幾何條件. 根據(jù)題干條件可知所構(gòu)直角三角形的其中一個(gè)頂點(diǎn)位于反比例函數(shù)y=上，而底邊與x軸相重合. 根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義可知△OP1A1的面積為定值，即S1=k=1，結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)可知三角形之間的面積關(guān)系為：S2=S1=，S3=S1=，S4=·S1=，S5=S1=，即S5的值為.

評(píng)注：上述屬于函數(shù)遞變型探究題，由于第一個(gè)三角形的位置特殊，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義就可直接確定該三角形的面積為定值，后續(xù)就可根據(jù)函數(shù)的遞變性質(zhì)來建立相應(yīng)的面積關(guān)系. 函數(shù)遞變型問題的核心內(nèi)容是函數(shù)性質(zhì)與圖形特征的關(guān)聯(lián)，解析時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注.

4. 類型四：學(xué)科滲透型

學(xué)科滲透型探究題指的是將幾何圖形與其他學(xué)科知識(shí)相結(jié)合命制的圖形規(guī)律題，最常見的是綜合物理知識(shí). 解析時(shí)需要根據(jù)物理規(guī)律來分析圖形變化，然后結(jié)合數(shù)學(xué)幾何總結(jié)規(guī)律.

例4 ?如圖4，一彈性球從點(diǎn)P（0，3）出發(fā)，沿著圖中所示方向進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，碰到矩形OABC的邊時(shí)會(huì)發(fā)生反彈（反射角與入射角相等），設(shè)小球第一次碰到矩形邊上的點(diǎn)為P1，第二次碰到矩形邊上的點(diǎn)為P2，……，第n次碰到的點(diǎn)為Pn（假設(shè)碰撞過程無能量損失，可持續(xù)運(yùn)動(dòng)下去），則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為______，P2014的坐標(biāo)為______.

解析 ?本題目中涉及小球的碰撞反彈，根據(jù)物理知識(shí)可知反彈與光的反射類似，則反彈前后反射角與入射角相等，根據(jù)該規(guī)律可在網(wǎng)格中作出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖5所示，可求出P3的坐標(biāo)為（8，3）. 進(jìn)一步分析可知小球運(yùn)動(dòng)碰撞過程中每6次碰撞反彈為一個(gè)循環(huán)周期，可回到起點(diǎn)P，對于2014有2014÷6=335……4，即第2014次碰撞時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組的第4次反彈，分析可知碰撞點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），所以P2014的坐標(biāo)為（5，0）.

評(píng)注：學(xué)科滲透型考題對學(xué)生的學(xué)科知識(shí)綜合能力有著較高的要求，例4就是將物理中的碰撞運(yùn)動(dòng)與數(shù)學(xué)幾何相綜合，考查其中的圖形變化和規(guī)律. 對于該類型問題需要學(xué)生掌握學(xué)科綜合的分析方法，善用作圖來輔助思考.

教學(xué)思考

上述是圖形規(guī)律探究題中的常見類型，其解析思路和方法策略具有一定的代表性，而在實(shí)際教學(xué)中提出以下幾點(diǎn)建議.

1. 重視信息整合

圖形規(guī)律探究題生成的核心是圖形變化和幾何條件，需要通過幾何量的計(jì)算來推理圖形關(guān)聯(lián)，這就離不開對數(shù)據(jù)信息的整合，包括點(diǎn)的坐標(biāo)、線段長、幾何角度等. 因此教學(xué)中需要重視學(xué)生信息整合能力的提升，可通過教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，通過設(shè)問引導(dǎo)來使學(xué)生掌握信息整合的技巧，積累經(jīng)驗(yàn)，提升信息處理能力.

2. 重視數(shù)形結(jié)合

本文對四大類圖形規(guī)律題進(jìn)行了探究，分析可知大多數(shù)問題中均涉及幾何量的計(jì)算和圖形特征的解析，其解題過程實(shí)際上就是對數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用. 通過數(shù)形結(jié)合可以揭示圖形特征，提取規(guī)律通式，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生掌握該種方法，合理利用分析步驟來構(gòu)建思路，即根據(jù)題干信息來理解圖形，結(jié)合圖形特征及變化進(jìn)行推理計(jì)算，總結(jié)通式.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想

圖形規(guī)律探究題的教學(xué)目的有兩個(gè)：一是使學(xué)生掌握幾何、函數(shù)、方程等知識(shí)，二是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，提升思維水平. 其中后者是教學(xué)的關(guān)鍵，開展思想方法教學(xué)需要借助具體的內(nèi)容，以知識(shí)講解、思想滲透的方式進(jìn)行. 以上述問題類型為例，開展圖形規(guī)律探究需要使學(xué)生關(guān)注圖形特點(diǎn)，總結(jié)規(guī)律，該過程中可以逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想，對于較為復(fù)雜的圖形則可以滲透模型思想，使學(xué)生深刻感悟其思想內(nèi)涵.