幾何折疊解讀，核心問題探討

白福清

[摘 ?要] 折疊是幾何研究的重點(diǎn)內(nèi)容，以其為背景命制的考題形式也較為多變，可以充分考查學(xué)生動態(tài)分析、問題轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、知識綜合等能力. 文章對折疊問題進(jìn)行剖析，結(jié)合實(shí)例探究其中的核心問題，總結(jié)解題策略.

[關(guān)鍵詞] 幾何;折疊;性質(zhì);線段;面積;探究

問題綜述

軸對稱是初中幾何的重要知識點(diǎn)，而以軸對稱為基礎(chǔ)進(jìn)行知識考查的折疊問題在幾何中有著重要的地位. 有些問題的軸對稱特性隱藏較深，在解題時(shí)學(xué)生若不能充分挖掘，則容易陷入解題困境，難以獲得解題突破口. 幾何問題中，折疊問題具有代表性，常涉及角度分析、線段求值、面積解析、圖形探究等. 同時(shí)以折疊性質(zhì)為基礎(chǔ)，綜合圓的性質(zhì)、三角形全等與相似、勾股定理等內(nèi)容進(jìn)行考查.

在備考復(fù)習(xí)時(shí)除了需要扎實(shí)基礎(chǔ)，還需要把握幾個(gè)解題關(guān)鍵點(diǎn)：一是找準(zhǔn)圖形折痕，確定圖形的對稱軸;二是明確折疊前后圖形的對應(yīng)元素，提取等量關(guān)系;三是合理利用幾何折疊的關(guān)聯(lián)性質(zhì)，利用勾股定理、三角形相似來構(gòu)建方程求解. 圖形折疊問題可歸為計(jì)算型和討論型兩類，實(shí)際解題時(shí)可結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，巧用數(shù)形結(jié)合，合理轉(zhuǎn)化簡解.

類題探討

幾何折疊問題的形式較為多樣，涉及眾多考點(diǎn)，下面舉例其中的三大核心問題，探討突破思路，總結(jié)解題策略.

類型一：折疊中的角度

折疊前后對應(yīng)角相等，故折疊變換中存在相應(yīng)的等角關(guān)系，考查圖形折疊中的角度是其問題之一. 求解時(shí)需要明晰折疊前后圖形的對應(yīng)角，結(jié)合圖形內(nèi)角、角相關(guān)定理，結(jié)合等角代換來推理計(jì)算.

例1 ?如圖1所示，△ABC為等腰三角形，已知AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分線AO與AB的中垂線相交于點(diǎn)O. 若點(diǎn)C沿著EF進(jìn)行翻折剛好與點(diǎn)O相重合，則∠CEF的度數(shù)為______.

解析 ?本題目屬于幾何折疊中的角度計(jì)算題，除了涉及幾何折疊外，還包含了角平分線、中垂線等幾何知識，需要利用相應(yīng)的幾何性質(zhì)來推導(dǎo)角度大小.

連接OB，如圖2所示. 根據(jù)垂直平分的性質(zhì)可知AO=BO，∠OAB=∠OBA，結(jié)合已知條件可得∠ABC=∠ACB=65°，由角平分線的性質(zhì)可得∠BAO=∠CAO=25°，所以∠OBA=25°，∠OBC=40°. 推理可證△ABO≌△ACO，故BO=CO，∠OBC=∠OCB=40°. 根據(jù)折疊過程的軸對稱性質(zhì)可知OE=CE，∠OEF=∠CEF，從而有∠ECO=∠EOC=40°，則∠OEC=100°，所以∠CEF=50°.

評析 ?本題目主要考查幾何折疊中角度的推導(dǎo)，在計(jì)算角度時(shí)用到了角平分線、線段中垂線、全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點(diǎn). 折疊過程實(shí)則隱含著軸對稱的性質(zhì)，充分利用該性質(zhì)可打開問題突破口.

類型二：折疊中的線段

求解圖形折疊中的線段長度十分常見，也是折疊探究中的核心內(nèi)容. 折疊前后的圖形為全等圖形，其中含有一些等長線段，因此分析時(shí)需要明晰折疊過程，合理利用幾何定理來構(gòu)建線段關(guān)系，如勾股定理、三角形相似性質(zhì)等.

例2 ?如圖3所示，在三角形紙片ABC中，有AB=40 cm，∠ACB=90°，∠A=30°，現(xiàn)將∠A進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，設(shè)折痕為EF，若所得△CDE為直角三角形，則線段AF的長為______.

解析 ?本題目屬于常規(guī)的折疊問題，核心條件有兩個(gè)：一是折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，二是所得△CDE為直角三角形，前者可以利用折疊性質(zhì)來提煉條件，后者由于沒有明確具體的直角，顯然需要加以討論.

根據(jù)已知條件可推得BC=20 cm，由翻折特性可知AF=DF，∠A=∠EDF=30°，當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，如圖4所示，則∠CDB=60°. 又∠B=60°，所以△BCD為等邊三角形，BC=BD=20 cm，則AD=20 cm，從而有AF=10 cm.

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，∠C=90°，滿足要求，如圖5所示，此時(shí)△CDE為直角三角形，則點(diǎn)F為線段AB的中點(diǎn)，有AF= AB=20 cm.

綜上可知，滿足條件的AF長度有兩個(gè)，分別為10 cm和20 cm.

評析 ?上述題目分析圖形折疊背景下的線段長，由于沒有設(shè)定直角三角形的直角情形，因此結(jié)合條件進(jìn)行了分類討論，這也是圖形折疊中常見的多解分析方法. 在進(jìn)行多解分析時(shí)需要充分采用數(shù)形結(jié)合的策略，結(jié)合直觀的圖像來討論具體的問題情形，以軸對稱特性為突破口來構(gòu)建思路.

類型三：折疊中的面積

折疊問題具有一定的綜合性，圖形折疊后會出現(xiàn)新的幾何圖形，而分析這些圖形的面積是常見的問題類型. 對于其中的規(guī)則圖形可以直接結(jié)合面積公式來探究條件，而不規(guī)則圖形則需要采用等面積轉(zhuǎn)化的策略來求解. 具體分析時(shí)要充分利用折疊特性，提取等長線段，巧用等面積關(guān)系.

例3 ?如圖6所示，四邊形ABCD為矩形，已知AB和BC的長分別為2和3，點(diǎn)M是BC邊上不與點(diǎn)B和C相重合的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)BM=x. 現(xiàn)將△ABM沿著AM進(jìn)行折疊，使點(diǎn)B落在射線MP的點(diǎn)B′處，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，設(shè)CE=y，再將△CME沿著ME進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)C落在射線MP的點(diǎn)C′處. 試求當(dāng)y取到最大值時(shí)△C′ME的面積.

解析 ?本題目分析圖形折疊中的幾何面積，問題的特點(diǎn)有兩個(gè)：一是進(jìn)行了兩次折疊，二是涉及最值分析. 因此求解時(shí)需要結(jié)合折疊特性建立與x、y相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)確定y的最大值，再構(gòu)建△C′ME的面積模型.

根據(jù)條件可知∠B=∠C=90°，則∠AMB+∠BAM=90°，根據(jù)折疊特性可得∠AMB′=∠AMB，∠EMC′=∠EMC，可推得∠BAM=∠EMC，進(jìn)而有△ABM與△MCE相似，根據(jù)相似性質(zhì)可得 = ，即 = ，整理可得y=- x2+ x=- x- 2+ ，當(dāng)x= 時(shí)，y可取得最大值 ，即BM= 時(shí)CE= ，而CM=BC-BM= . 分析可知此時(shí)△C′ME的面積與△CME的面積相等，則S =S = ·CM·CE= ，即y取最大值時(shí)，△C′ME的面積為 .

評析 ?上述求解圖形折疊中的幾何面積，其特殊之處在于需要首先構(gòu)建線段函數(shù)求解最值，然后進(jìn)行等面積轉(zhuǎn)化求解. 線段函數(shù)的構(gòu)建方式有很多，常見的有利用勾股定理、三角形相似的線段比例性質(zhì). 需要注意折疊中的幾何全等也是幾何面積轉(zhuǎn)化的重要方式，在求解時(shí)要靈活運(yùn)用.

總結(jié)思考

圖形折疊實(shí)則就是軸對稱變換，是圖形變換的一種方式，幾何折疊雖然是一種動態(tài)變化的過程，但可以用靜態(tài)的眼光來探索特性. 解題時(shí)需理解圖形折疊前后元素的對應(yīng)關(guān)系，掌握折痕的垂直平分特性，充分根據(jù)折疊情形來構(gòu)建解題思路.

在實(shí)際教學(xué)中提出以下幾點(diǎn)建議：一是充分展示折疊過程，使學(xué)生感知、體驗(yàn)圖形折疊的動態(tài)變化過程，深刻理解其中的“不變”特性;二是關(guān)于折疊特性的幾何關(guān)聯(lián)，圖形折疊是幾何的重要研究內(nèi)容，但其知識點(diǎn)并不獨(dú)立，而是與其他幾何定理緊密關(guān)聯(lián)，因此在實(shí)際探究時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生挖掘折疊內(nèi)涵，結(jié)合圖形特性來構(gòu)建知識體系;三是分類探究折疊問題，上述展示了圖形折疊中的三大核心問題，實(shí)際折疊問題考查形式是多變的，教學(xué)中需要挖掘問題特點(diǎn)，反思轉(zhuǎn)化方法，思考構(gòu)建策略，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的解題思維.