模型解讀，視角拓展，實(shí)例探討

袁媛

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)模型可用于命制綜合問題，對(duì)基本模型加以拓展研究可以構(gòu)建類型問題的求解思路，提升解題效率. “等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型是常見的幾何模型，從不同的視角拓展該模型，可以形成不同的問題類型，文章對(duì)該模型加以解讀，結(jié)合實(shí)例拓展探究，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 等腰直角三角形;模型;拓展

等腰直角三角形是一種十分特殊的三角形，不僅含有等腰三角形的性質(zhì)，同時(shí)具有直角三角形的特性. 單從圖形本身來(lái)看，其圖形結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，但若在此基礎(chǔ)上適度添加線段，則可以構(gòu)建新的幾何模型，其模型所具有的性質(zhì)、結(jié)論有一定的研究?jī)r(jià)值，同時(shí)以其為基礎(chǔ)構(gòu)建的考題具有極強(qiáng)的拓展性，下面對(duì)其中的一種等腰直角模型加以解讀探討.

等腰直角三角形模型

等腰直角三角形中含有兩條等長(zhǎng)的直角邊，同時(shí)兩個(gè)底角均為45°，兼具等腰和直角雙重特性. 分析考題命制思路，存在如下一種以等腰直角三角形為基礎(chǔ)的復(fù)合圖形——“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型.

如圖1所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)O是底邊BC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作MO⊥NO，與AB交于點(diǎn)M，與AC交于點(diǎn)N.

則上述所構(gòu)圖形就是“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型，在該模型中△ABC為等腰直角三角形，而△MON為其內(nèi)嵌直角三角形，同時(shí)將圖形分為多個(gè)直角三角形. 提取復(fù)合圖形的性質(zhì)特征，可以得到如下信息：

包含五個(gè)三角形：△ABC，△MON，△AMN，△MBO，△NOC;

直角三角形：△ABC，△AMN和△MON;

等長(zhǎng)線段：AB=AC;

特殊互補(bǔ)角：∠AMN+∠NMO+∠BMO=180°，∠MOB+∠MON+∠NOC=180°，∠ANM+∠MNO+∠ONC=180°.

上述是從該復(fù)合模型中提取的基本信息，實(shí)際上該模型具有一定的拓展性，適度添加條件則可以獲得一些特殊的結(jié)論. 例如使MN與底邊平行，則可以獲得多組相似三角形，再若令點(diǎn)M和N分別為所在線段上的中點(diǎn)，則可以進(jìn)一步獲得對(duì)應(yīng)的相似比，以及線段關(guān)系. 因此十分有必要對(duì)該模型進(jìn)行解讀探究.

基于模型多視角拓展

“等腰直角—內(nèi)嵌直角”作為一種特殊的復(fù)合模型，極具拓展性，以其為基礎(chǔ)可以衍生出多種類型問題，也是中考常見的問題類型，下面舉例探究.

拓展視角一——幾何角度關(guān)系

分析角度關(guān)系是中學(xué)幾何常見的問題類型，針對(duì)該模型同樣可以從內(nèi)角關(guān)聯(lián)入手進(jìn)行問題拓展，除了可以直接設(shè)定等角關(guān)系外，還可以從其中的點(diǎn)入手，將其設(shè)定為中點(diǎn)，則綜合等腰直角三角形的特性可以獲得多組等角關(guān)系.

例1 ?如圖2所示△ABC為等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，AD為底邊BC上的高，以點(diǎn)D為端點(diǎn)任意作兩條垂直的射線，與△ABC的兩條腰分別相交于點(diǎn)E和F，連接EF，與AD的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)G，試分析∠AED與∠AGF的大小關(guān)系.

解析 ?本題目以模型為基礎(chǔ)進(jìn)行問題拓展，其添加條件為“AD為底邊BC上的高”，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可知，AD既是底邊上的高，也是頂角∠BAC的角平分線、底邊BC的中線. 分析兩角關(guān)系需要結(jié)合該特性，初步判斷兩角相等，論證有兩個(gè)角度：一是依托三角形性質(zhì)進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化，二是借助全等或相似三角形的性質(zhì)來(lái)直接提取.

由DE⊥DF，AD⊥BC可證∠ADE=∠CDF. 在△AED與△CFD中，有∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠EAD=∠C，可證△AED？艿△CFD，則DE=DF，可推知∠FED=45°. ∠AED=∠AEF+∠FED=45°+∠AEF，∠AGF=∠BAD+∠AEF=45°+∠AEF，所以∠AED=∠AGF.

拓展視角二——線段最值探索

線段最值也是中學(xué)幾何需要關(guān)注的重點(diǎn)問題，基于該模型同樣可以拓展出線段最值，模型中的內(nèi)嵌直角三角形沒有具體設(shè)定兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的位置，因此兩頂點(diǎn)之間的距離是可變的，此時(shí)就可以基于問題條件來(lái)探索其線段最值.

例2 ?如圖3所示，△ABC中∠A=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)以點(diǎn)D為端點(diǎn)引入兩條射線，分別與AB、AC相交于點(diǎn)E和F，若∠EDF=90°，試求線段EF的最小值.

解析 ?分析模型中線段EF的最小值，連接AD，則AD為頂角∠A的角平分線，分別過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，DH⊥AC于點(diǎn)H，如圖3所示. 由角平分線到角兩邊的距離相等可得DG=DH，結(jié)合∠EDG=∠FDH可證△EDG≌△FDH，從而有DE=DF，則△DEF為等腰直角三角形.

進(jìn)一步分析可知DG和DH均為△ABC的中位線，有DG=DH=1. 其中EF= ED，顯然EF的長(zhǎng)度直接由ED的長(zhǎng)度決定，根據(jù)垂線段最短原理可知，當(dāng)DE與DG相重合時(shí)DE的長(zhǎng)度最小，則EF取得最小值，此時(shí)EF= ED= ，即線段EF的最小值為 .

拓展視角三——求多邊形面積

分析上述復(fù)合模型，可知圖中含有兩類幾何圖形：三角形和四邊形，且利用不同的三角形可以組合出不同特征的四邊形. 結(jié)合中考試題?？嫉拿娣e割補(bǔ)法可知根據(jù)該模型可以拓展出不規(guī)則四邊形的面積問題.

例3 ?如圖4所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠A=90°，AB=AC，已知點(diǎn)D是底邊BC上的中點(diǎn)，作DE⊥DF，與AB和AC分別相交于點(diǎn)E和F，若BC=4，試求四邊形AEDF的面積.

解析 ?本題目以該模型為基礎(chǔ)求解不規(guī)則四邊形的面積，最為有效的方法是采用面積割補(bǔ)的方法，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則三角形的組合，進(jìn)而利用三角形的面積公式來(lái)間接求解.

連接AD，如圖4所示，則S =S +S ，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則AD就是∠BAC的角平分線，根據(jù)條件可知△ADE？艿△CDF，則S =S ，故S =S +S =S ，即四邊形的面積與等腰直角三角形ADC的面積相等，則S = S = ×AD×CD=2，即四邊形AEDF的面積為2.

上述是關(guān)于“等腰直角—內(nèi)嵌直角”模型的三種拓展視角的探究，形成了角關(guān)系分析、最值分析、面積求解、形狀判斷四類問題. 從其思路構(gòu)建的過程來(lái)看，三角形的性質(zhì)定理、判定定理、“三線合一”定理是核心知識(shí)，等角轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建是常用的解題策略. 問題求解應(yīng)從模型的基本特征出發(fā)，提取全等圖形，利用全等性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)化問題.

關(guān)于模型問題的建議

本文所探討的模型是初中幾何重要的問題模型，基于模型形成的問題也是中學(xué)階段需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的類型題，下面基于模型問題提出幾點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 重視幾何模型研究

上述基于幾何模型進(jìn)行了三大問題拓展，形成了較為系統(tǒng)的解題思路，對(duì)于后續(xù)復(fù)合問題的求解有著一定的幫助. 實(shí)則很多中考試題就是基于教材中的幾何模型而構(gòu)建的，若能合理地對(duì)原始模型加以拓展探究，則可以使學(xué)生充分把握類型問題的本質(zhì)，掌握問題突破的方法和技巧，同時(shí)對(duì)模型的遷移思路和變式方法也有助于提升學(xué)生的思維. 因此在實(shí)際教學(xué)中需要教師重視研究教材的幾何模型，挖掘原始模型的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教材知識(shí)與考題的鏈接，提升學(xué)生解題的靈活性.

2. 加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)

復(fù)合模型是多個(gè)基本圖形的綜合，故模型具有基本圖形的性質(zhì)特征，因此研究幾何模型應(yīng)立足基礎(chǔ)圖形，關(guān)注圖形的基本性質(zhì)和研究方法. 以上述復(fù)合模型為例，其中涉及常見的等腰三角形和直角三角形，其性質(zhì)定理和判定方法是復(fù)合模型問題求解的基礎(chǔ). 因此教師應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，以基本圖形為依托，引導(dǎo)學(xué)生掌握探究圖形的方法，逐步提升學(xué)生的模型思維，積累數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn).

3. 強(qiáng)化幾何推理教學(xué)

模型問題的求解過程就是幾何推理過程，在該過程中需要學(xué)生調(diào)用幾何知識(shí)和分析方法來(lái)轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)建思路，學(xué)生的推理能力將直接決定解題效率. 因此，在幾何教學(xué)中需要教師引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生掌握幾何探究的方法，提升學(xué)生的推理能力. 具體教學(xué)時(shí)可以采用變式拓展的方法，通過對(duì)問題的結(jié)構(gòu)重組和條件變化來(lái)引導(dǎo)學(xué)生做出猜想，推理論證，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，提升學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)密性.