李茂輝
[摘 ?要] 近幾年出現(xiàn)了眾多以知識探究為背景的幾何探究題,該類考題以問題探究為基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題特征、解題方法,以知識應(yīng)用作為最終目的. 考慮到問題的解析思路較為特殊,需要學(xué)生充分利用基礎(chǔ)知識,通過類比聯(lián)想等方式來探究解題,因此十分有必要總結(jié)問題的解析策略,文章以一道幾何探究題為例開展解法探究、教學(xué)反思.
[關(guān)鍵詞] 探究題;幾何;模型;全等;方程;分類討論;數(shù)學(xué)思想
探究型問題是中考重要的新型問題,問題常圍繞探究性內(nèi)容的目標(biāo)特征來開展探究活動,其中所探究內(nèi)容的目標(biāo)特征具有多個(gè)要素,主要包括條件性、解題原理及方法、結(jié)論等. 在后續(xù)的問題探究時(shí)需要依托目標(biāo)特征的要素進(jìn)行,因此對學(xué)生的觀察解析、綜合思考、歸納概括和推理判斷能力有著較高的要求.
以幾何探究題為例,在解析問題時(shí)需要提煉問題條件的文字信息和圖像信息,提取幾何模型,總結(jié)方法結(jié)論,然后結(jié)合問題情形加以應(yīng)用突破. 實(shí)則解題的過程也是探究學(xué)習(xí)的過程,有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新解題能力,這也是命題人的最終目的所在.
幾何探究題探討
幾何探究題的類型較為眾多,有操作設(shè)計(jì)、規(guī)律探索、材料閱讀、應(yīng)用推理等多種類型,但從其探究過程來看,無非就是從幾何內(nèi)容中提取特征、總結(jié)規(guī)律、形成方法、應(yīng)用解題,通過聯(lián)想思考、啟發(fā)思維來完成關(guān)聯(lián)問題的拓展探究. 因此在解析問題時(shí)需要思考兩個(gè)問題:一是探究目標(biāo)內(nèi)容可以得到哪些啟示?二是后續(xù)的拓展問題與目標(biāo)內(nèi)容有哪些關(guān)聯(lián)?下面結(jié)合一道幾何探究題來探討解析策略.
1. 呈現(xiàn)問題
模型建立:如圖1所示,△ABC為等腰直角三角形,其中∠ACB=90°,CB=CA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,分別過點(diǎn)A和B作ED的垂線,垂足分別為點(diǎn)D和E,試求證△BEC?艿△CDA.
模型應(yīng)用:
(1)直線l1的解析式為y=- x-4,與坐標(biāo)的y軸相交于點(diǎn)A,現(xiàn)將直線l1繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到直線l2,如圖2所示,試求直線l2的解析式;
(2)如圖3所示,四邊形ABCO為矩形,點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn),點(diǎn)B坐標(biāo)(8,-6),點(diǎn)A和C分別位于坐標(biāo)的y軸和x軸上. 點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動點(diǎn),設(shè)PC=m,點(diǎn)D在直線y=-2x+6上,且位于坐標(biāo)的第四象限. 若△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,試求點(diǎn)D的坐標(biāo).
2. 策略探索
從問題設(shè)置來看,上述問題屬于幾何模型探究題,其目標(biāo)內(nèi)容為幾何模型,因此需要對模型的結(jié)構(gòu)和解析方法加以總結(jié)歸納,用于第二部分“模型應(yīng)用”.
對圖1的模型加以解讀,可知其中存在三個(gè)直角三角形,△BEC和△ACD的底邊共線,且共用一個(gè)頂點(diǎn)C,從而形成了新的直角——∠ACB. 分析可知該模型就是幾何中常見的“K”型圖,通過等角代換即可獲得求證兩三角形全等的條件. 具體如下:由∠ACD+∠BCE=90°∠ACD+∠CAD=90° 可知∠BCE=∠CAD,從而在△CBE和△ACD中有∠D=∠E=90°∠BCE=∠CADCA=CB(AAS),所以△BEC?艿△CDA,得證.
完成問題模型的求解后,需要對其模型加以提煉,總結(jié)相應(yīng)的解析方法. “K”型圖的結(jié)構(gòu)為“共線對頂角,頂角夾直角”,即圖中兩個(gè)直角三角形存在共線直角邊,且共用一個(gè)頂點(diǎn),而共頂點(diǎn)所夾角為另一直角三角形的直角. 從而在解析時(shí)聯(lián)合頂角三角形的一組相等邊即可求證兩三角形全等. 因此“模型應(yīng)用”階段可以聯(lián)想上述模型作輔助線,利用其解析思路求解問題,具體如下.
對于第(1)問,求解直線l2的解析式,可設(shè)為y=kx+b,則只需要求得其上的兩個(gè)點(diǎn)即可,由直線l1的解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo),只需求出直線l2上的另一點(diǎn)即可. 由圖可知其中已經(jīng)存在一直角三角形AOB,可以聯(lián)想上述所使用的“K”型圖模型來添加輔助線. 令點(diǎn)B為兩直角三角形的對頂點(diǎn),則過點(diǎn)B作BC⊥AB,與坐標(biāo)x軸交于點(diǎn)B,與直線l2交于點(diǎn)C,然后過點(diǎn)C作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)D,如圖4所示. 從而可構(gòu)建“K”型圖,后續(xù)按照上述模型的轉(zhuǎn)化思路即可獲得共線對頂三角形相似或全等,具體如下.
根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知∠BAC=45°,則△ABC為等腰直角三角形,BC=AB,根據(jù)上述模型的解析思路可證△CBD≌△BAO. 由全等特性可得BD=AO,CD=OB,根據(jù)直線l1的解析式可知點(diǎn)A(0,-4),B(-3,0),則BD=AO=4,CD=OB=3,OD=BD+OB=7,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-7,-3),將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入解析式y(tǒng)=kx+b中,可得-3=-7k+b,-4=b,可解得k= - ,b=-4,所以直線l2的解析式為y= - x-4.
對于第(2)問,需要求解△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo),顯然需要討論點(diǎn)P和點(diǎn)D分別為直角頂點(diǎn)時(shí)的情形,其中點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)又分為位于矩形內(nèi)和矩形外兩種情形,故共有三種情形需要討論.
①當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),且位于矩形ABCO的內(nèi)部時(shí),過點(diǎn)D作AB的平行線,與y軸交于點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)F,如圖5所示. 顯然可以構(gòu)建“K”型圖——△AED-△PFD,根據(jù)模型的解析思路可證△ADE?艿△DPF,則有AE=DF. 設(shè)點(diǎn)D(x,-2x+6),則OE=2x-6,AE=12-2x,DF=8-x,所以有12-2x=8-x,解得x=4,所以點(diǎn)D(4,-2).
②當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn),且位于矩形ABCO的外部時(shí),采用同樣的方式作輔助線,如圖6所示. 構(gòu)建“K”型圖——△AED-△PFD,同理可證△ADE?艿△DPF,則有AE=DF. 設(shè)點(diǎn)D(x,-2x+6),則OE=2x-6,AE=2x-12,DF=8-x,所以有2x-12=8-x,解得x= ,分析可知同樣符合題意,所以點(diǎn)D ,- .
③當(dāng)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),按照同樣的方式添加輔助線,如圖7所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,-m),推理可得點(diǎn)D(14-m,-m-8),從而有-m-8=-2(14-m)+6,解得m= ,所以點(diǎn)D ,- .
綜上可知,滿足條件點(diǎn)D的坐標(biāo)有三個(gè),分別為(4,-2)、 ,- 和 ,- .
上述是中考典型的幾何探究題,其特殊之處在于使用了常見的幾何“K”型圖,能夠全面考查學(xué)生模型提煉和拓展應(yīng)用能力. 其中采用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法,實(shí)現(xiàn)了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合. 整個(gè)過程思路清晰,過程簡潔,充分把握圖形特點(diǎn)和模型解析策略,是幾何探究題的突破典例.
探究解析的思考
幾何探究題具有知識綜合、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、邏輯關(guān)聯(lián)等特點(diǎn),上述在探究時(shí)全面貫徹“模型提煉—聯(lián)想拓展”的思路. 基于問題模型添加輔助線,利用模型的解析策略來構(gòu)建思路,其探究過程具有一定的學(xué)習(xí)價(jià)值. 而在實(shí)際教學(xué)中依然需要教師引導(dǎo)學(xué)生立足教材基礎(chǔ),以總結(jié)方法、提升能力為根本,促進(jìn)學(xué)生的思想發(fā)展,下面提出三點(diǎn)教學(xué)建議.
1. 立足教材內(nèi)容,強(qiáng)化鞏固基礎(chǔ)
幾何探究題屬于綜合性較強(qiáng)的問題,其中涉及眾多的知識內(nèi)容,以上述考題為例,包含了函數(shù)、幾何圖形、相似全等、幾何旋轉(zhuǎn)、代數(shù)方程等知識. 正是這些基礎(chǔ)知識的有效融合完成了綜合題的構(gòu)建,解析過程實(shí)則就是問題的拆解轉(zhuǎn)化過程,該過程中需要利用基礎(chǔ)知識和基本技能. 因此教學(xué)中需要教師立足教材內(nèi)容,開展基礎(chǔ)知識強(qiáng)化與融合,使學(xué)生掌握一般問題的常用解法,形成較為完善的知識體系,為后續(xù)探究題的突破打下基礎(chǔ).
2. 開展教學(xué)探討,掌握探究方法
幾何探究題的突破過程中需要經(jīng)歷核心目標(biāo)內(nèi)容的特征提煉、方法模型總結(jié)、拓展應(yīng)用探究三個(gè)階段. 三個(gè)階段之間存在著遞進(jìn)關(guān)系,需要教師采用知識探究的教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察解析、猜想思考、歸納概括和推理判斷等思維活動. 以上述問題為例,需要學(xué)生思考模型的特征結(jié)構(gòu)、猜想構(gòu)建思路、歸納方法策略,逐步將其上升到數(shù)學(xué)模型層面. 拓展探究是提升學(xué)生知識水平和數(shù)學(xué)能力的重要方式,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考、鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表見解,通過實(shí)踐活動來使學(xué)生掌握知識探究的方法.
3. 重視數(shù)學(xué)思想,提升解題思維
幾何探究題的突破過程中一般會涉及眾多的數(shù)學(xué)思想,例如上述幾何探究題解答時(shí)首先進(jìn)行了模型提煉,求解問題時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法來轉(zhuǎn)化問題,通過分類討論加以探討,最后構(gòu)建代數(shù)方程求解. 其中包含了模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想,這些思想也是幾何探究題常用的數(shù)學(xué)思想. 教學(xué)中需要結(jié)合相關(guān)的教材內(nèi)容來合理滲透,使學(xué)生明晰數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵,掌握數(shù)學(xué)思想構(gòu)建解題思路的方法技巧. 思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)中的知識精華,也是素質(zhì)教學(xué)的重要內(nèi)容,依托探究考題開展思想滲透,不僅可以使學(xué)生掌握探究題的解析思路,還可以提升學(xué)生的解題思維.