解讀幾何探究，探討解析思考

李茂輝

[摘 ?要] 近幾年出現(xiàn)了眾多以知識探究為背景的幾何探究題，該類考題以問題探究為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題特征、解題方法，以知識應(yīng)用作為最終目的. 考慮到問題的解析思路較為特殊，需要學(xué)生充分利用基礎(chǔ)知識，通過類比聯(lián)想等方式來探究解題，因此十分有必要總結(jié)問題的解析策略，文章以一道幾何探究題為例開展解法探究、教學(xué)反思.

[關(guān)鍵詞] 探究題;幾何;模型;全等;方程;分類討論;數(shù)學(xué)思想

探究型問題是中考重要的新型問題，問題常圍繞探究性內(nèi)容的目標(biāo)特征來開展探究活動，其中所探究內(nèi)容的目標(biāo)特征具有多個(gè)要素，主要包括條件性、解題原理及方法、結(jié)論等. 在后續(xù)的問題探究時(shí)需要依托目標(biāo)特征的要素進(jìn)行，因此對學(xué)生的觀察解析、綜合思考、歸納概括和推理判斷能力有著較高的要求.

以幾何探究題為例，在解析問題時(shí)需要提煉問題條件的文字信息和圖像信息，提取幾何模型，總結(jié)方法結(jié)論，然后結(jié)合問題情形加以應(yīng)用突破. 實(shí)則解題的過程也是探究學(xué)習(xí)的過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新解題能力，這也是命題人的最終目的所在.

幾何探究題探討

幾何探究題的類型較為眾多，有操作設(shè)計(jì)、規(guī)律探索、材料閱讀、應(yīng)用推理等多種類型，但從其探究過程來看，無非就是從幾何內(nèi)容中提取特征、總結(jié)規(guī)律、形成方法、應(yīng)用解題，通過聯(lián)想思考、啟發(fā)思維來完成關(guān)聯(lián)問題的拓展探究. 因此在解析問題時(shí)需要思考兩個(gè)問題：一是探究目標(biāo)內(nèi)容可以得到哪些啟示？二是后續(xù)的拓展問題與目標(biāo)內(nèi)容有哪些關(guān)聯(lián)？下面結(jié)合一道幾何探究題來探討解析策略.

1. 呈現(xiàn)問題

模型建立：如圖1所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A和B作ED的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和E，試求證△BEC？艿△CDA.

模型應(yīng)用：

（1）直線l1的解析式為y=- x-4，與坐標(biāo)的y軸相交于點(diǎn)A，現(xiàn)將直線l1繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l2，如圖2所示，試求直線l2的解析式;

（2）如圖3所示，四邊形ABCO為矩形，點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)（8，-6），點(diǎn)A和C分別位于坐標(biāo)的y軸和x軸上. 點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)PC=m，點(diǎn)D在直線y=-2x+6上，且位于坐標(biāo)的第四象限. 若△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求點(diǎn)D的坐標(biāo).

2. 策略探索

從問題設(shè)置來看，上述問題屬于幾何模型探究題，其目標(biāo)內(nèi)容為幾何模型，因此需要對模型的結(jié)構(gòu)和解析方法加以總結(jié)歸納，用于第二部分“模型應(yīng)用”.

對圖1的模型加以解讀，可知其中存在三個(gè)直角三角形，△BEC和△ACD的底邊共線，且共用一個(gè)頂點(diǎn)C，從而形成了新的直角——∠ACB. 分析可知該模型就是幾何中常見的“K”型圖，通過等角代換即可獲得求證兩三角形全等的條件. 具體如下：由∠ACD+∠BCE=90°∠ACD+∠CAD=90° 可知∠BCE=∠CAD，從而在△CBE和△ACD中有∠D=∠E=90°∠BCE=∠CADCA=CB（AAS），所以△BEC？艿△CDA，得證.

完成問題模型的求解后，需要對其模型加以提煉，總結(jié)相應(yīng)的解析方法. “K”型圖的結(jié)構(gòu)為“共線對頂角，頂角夾直角”，即圖中兩個(gè)直角三角形存在共線直角邊，且共用一個(gè)頂點(diǎn)，而共頂點(diǎn)所夾角為另一直角三角形的直角. 從而在解析時(shí)聯(lián)合頂角三角形的一組相等邊即可求證兩三角形全等. 因此“模型應(yīng)用”階段可以聯(lián)想上述模型作輔助線，利用其解析思路求解問題，具體如下.

對于第（1）問，求解直線l2的解析式，可設(shè)為y=kx+b，則只需要求得其上的兩個(gè)點(diǎn)即可，由直線l1的解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，只需求出直線l2上的另一點(diǎn)即可. 由圖可知其中已經(jīng)存在一直角三角形AOB，可以聯(lián)想上述所使用的“K”型圖模型來添加輔助線. 令點(diǎn)B為兩直角三角形的對頂點(diǎn)，則過點(diǎn)B作BC⊥AB，與坐標(biāo)x軸交于點(diǎn)B，與直線l2交于點(diǎn)C，然后過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，如圖4所示. 從而可構(gòu)建“K”型圖，后續(xù)按照上述模型的轉(zhuǎn)化思路即可獲得共線對頂三角形相似或全等，具體如下.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知∠BAC=45°，則△ABC為等腰直角三角形，BC=AB，根據(jù)上述模型的解析思路可證△CBD≌△BAO. 由全等特性可得BD=AO，CD=OB，根據(jù)直線l1的解析式可知點(diǎn)A（0，-4），B（-3，0），則BD=AO=4，CD=OB=3，OD=BD+OB=7，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-7，-3），將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入解析式y(tǒng)=kx+b中，可得-3=-7k+b，-4=b，可解得k= - ，b=-4，所以直線l2的解析式為y= - x-4.

對于第（2）問，需要求解△APD是不以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)，顯然需要討論點(diǎn)P和點(diǎn)D分別為直角頂點(diǎn)時(shí)的情形，其中點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)時(shí)又分為位于矩形內(nèi)和矩形外兩種情形，故共有三種情形需要討論.

①當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，且位于矩形ABCO的內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)D作AB的平行線，與y軸交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F，如圖5所示. 顯然可以構(gòu)建“K”型圖——△AED-△PFD，根據(jù)模型的解析思路可證△ADE？艿△DPF，則有AE=DF. 設(shè)點(diǎn)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=12-2x，DF=8-x，所以有12-2x=8-x，解得x=4，所以點(diǎn)D（4，-2）.

②當(dāng)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，且位于矩形ABCO的外部時(shí)，采用同樣的方式作輔助線，如圖6所示. 構(gòu)建“K”型圖——△AED-△PFD，同理可證△ADE？艿△DPF，則有AE=DF. 設(shè)點(diǎn)D（x，-2x+6），則OE=2x-6，AE=2x-12，DF=8-x，所以有2x-12=8-x，解得x= ，分析可知同樣符合題意，所以點(diǎn)D ，- .

③當(dāng)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，按照同樣的方式添加輔助線，如圖7所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-m），推理可得點(diǎn)D（14-m，-m-8），從而有-m-8=-2（14-m）+6，解得m= ，所以點(diǎn)D ，- .

綜上可知，滿足條件點(diǎn)D的坐標(biāo)有三個(gè)，分別為（4，-2）、 ，- 和 ，- .

上述是中考典型的幾何探究題，其特殊之處在于使用了常見的幾何“K”型圖，能夠全面考查學(xué)生模型提煉和拓展應(yīng)用能力. 其中采用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，實(shí)現(xiàn)了幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算的融合. 整個(gè)過程思路清晰，過程簡潔，充分把握圖形特點(diǎn)和模型解析策略，是幾何探究題的突破典例.

探究解析的思考

幾何探究題具有知識綜合、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、邏輯關(guān)聯(lián)等特點(diǎn)，上述在探究時(shí)全面貫徹“模型提煉—聯(lián)想拓展”的思路. 基于問題模型添加輔助線，利用模型的解析策略來構(gòu)建思路，其探究過程具有一定的學(xué)習(xí)價(jià)值. 而在實(shí)際教學(xué)中依然需要教師引導(dǎo)學(xué)生立足教材基礎(chǔ)，以總結(jié)方法、提升能力為根本，促進(jìn)學(xué)生的思想發(fā)展，下面提出三點(diǎn)教學(xué)建議.

1. 立足教材內(nèi)容，強(qiáng)化鞏固基礎(chǔ)

幾何探究題屬于綜合性較強(qiáng)的問題，其中涉及眾多的知識內(nèi)容，以上述考題為例，包含了函數(shù)、幾何圖形、相似全等、幾何旋轉(zhuǎn)、代數(shù)方程等知識. 正是這些基礎(chǔ)知識的有效融合完成了綜合題的構(gòu)建，解析過程實(shí)則就是問題的拆解轉(zhuǎn)化過程，該過程中需要利用基礎(chǔ)知識和基本技能. 因此教學(xué)中需要教師立足教材內(nèi)容，開展基礎(chǔ)知識強(qiáng)化與融合，使學(xué)生掌握一般問題的常用解法，形成較為完善的知識體系，為后續(xù)探究題的突破打下基礎(chǔ).

2. 開展教學(xué)探討，掌握探究方法

幾何探究題的突破過程中需要經(jīng)歷核心目標(biāo)內(nèi)容的特征提煉、方法模型總結(jié)、拓展應(yīng)用探究三個(gè)階段. 三個(gè)階段之間存在著遞進(jìn)關(guān)系，需要教師采用知識探究的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察解析、猜想思考、歸納概括和推理判斷等思維活動. 以上述問題為例，需要學(xué)生思考模型的特征結(jié)構(gòu)、猜想構(gòu)建思路、歸納方法策略，逐步將其上升到數(shù)學(xué)模型層面. 拓展探究是提升學(xué)生知識水平和數(shù)學(xué)能力的重要方式，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考、鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表見解，通過實(shí)踐活動來使學(xué)生掌握知識探究的方法.

3. 重視數(shù)學(xué)思想，提升解題思維

幾何探究題的突破過程中一般會涉及眾多的數(shù)學(xué)思想，例如上述幾何探究題解答時(shí)首先進(jìn)行了模型提煉，求解問題時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法來轉(zhuǎn)化問題，通過分類討論加以探討，最后構(gòu)建代數(shù)方程求解. 其中包含了模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想，這些思想也是幾何探究題常用的數(shù)學(xué)思想. 教學(xué)中需要結(jié)合相關(guān)的教材內(nèi)容來合理滲透，使學(xué)生明晰數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，掌握數(shù)學(xué)思想構(gòu)建解題思路的方法技巧. 思想方法是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)中的知識精華，也是素質(zhì)教學(xué)的重要內(nèi)容，依托探究考題開展思想滲透，不僅可以使學(xué)生掌握探究題的解析思路，還可以提升學(xué)生的解題思維.