李志平
[摘 ?要] 幾何教學是初中數(shù)學教學的重要組成部分,也是初中數(shù)學教學的難點. 如何通過幾何教學培養(yǎng)學生核心素養(yǎng),是新時代數(shù)學教師所面臨的課題. 文章拋磚引玉,以“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”為基本模型,結(jié)合平行線、全等三角形、角平分線、等腰三角形等八年級學生所掌握的知識,以課本的一道習題為出發(fā)點,改編出一系列變式練習,希望通過變式教學,促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.
[關(guān)鍵詞] 幾何習題;變式教學;核心素養(yǎng)
在當前初中幾何教學中,部分教師未能充分開發(fā)教材例、習題資源,過于推崇課外資料,加重學生學業(yè)負擔,對教材基礎性的例、習題缺乏重視或認識不足,對教材例、習題的使用存在局限性,對例、習題的講解缺少解題思路剖析,沒有揭示題目背景,也沒有適當?shù)刈兪酵卣? 本文以一道課本習題為例,結(jié)合學生既有知識,形成一系列變式教學. 這既有利于培養(yǎng)學生在幾何直觀和邏輯推理方面的核心素養(yǎng),也能夠給開始嘗試幾何變式教學的教師提供參考.
原題及出處
新人教版數(shù)學教材八年級上冊第83頁習題13.3第12題:如圖1,△ABC,△ADE都是等邊三角形,求證:BD=CE.
原題分析與解答
背景分析:本題是以“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”為基本模型的題型. 此題型在教材、課外參考資料乃至中考中屢見不鮮,它有多樣的變式和漂亮的性質(zhì),對學生的思維具有深刻的啟發(fā)作用,對變式教學而言具有極大的研究價值.
思路分析:可通過證明△ACE≌△ABD得CE=BD. 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可以通過SAS證△ACE≌△ABD,也可以通過把△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE,同樣可得△ACE≌△ABD.
證明:因為△ABC和△ADE為等邊三角形,所以AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE= 60. 所以由△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°可得△ACE,所以△ACE≌△ABD,所以CE=BD.
變式拓展
變式1 ?(“8字形”)?搖如圖2,△ABC和△ADE均為等邊三角形,求證:∠COB=60°.
證法一:易證△ACE≌△ABD,所以∠ACE=∠ABD,在△APC和△OPB中,由外角性質(zhì)知:∠APO=∠PCA+∠PAC,∠APO=∠PBO+∠POB,所以∠COB=∠CAB=60°.
證法二:易證△ACE≌△ABD,所以∠ACE=∠ABD,在△APC和△OPB中,由三角形內(nèi)角和定理知:∠APC+∠PCA+∠PAC=180°,∠BPO+∠PBO+∠POB=180°. 又因為∠APC=∠BPO,所以∠COB=∠CAB=60°.
評注 ?“全等三角形三組對應邊的夾角相等”是不要求學生掌握的性質(zhì),但在練習題甚至中考中卻時常出現(xiàn). 在變式1中,△ACE≌△ABD,對應邊AC和AB的夾角和對應邊AE和AD的夾角均為60°,由上述性質(zhì)知:對應邊CE和BD的夾角∠COB=60°. 在學生解題過程中,上述性質(zhì)不能直接運用,只能作為理解題目的切入點. 我們需要展示給學生的,是歸納這類圖形的共性:共頂點旋轉(zhuǎn)全等,對應角構(gòu)成“8字形”. 如圖2陰影部分,∠ACE和∠ABD是對應角,兩角(四條射線)交匯形成“8字形ABOCA”. 我們注意到,8字形由△APC和△OPB組成,在這兩個三角形中分別運用外角的性質(zhì)(或三角形內(nèi)角和定理)可以證明對應邊CE和BD的夾角也為60°. 同理,另一組“8字形AEODA”也可得對應邊CE和BD的夾角∠EOD=60°.
變式1-1?搖 如圖3,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC. 求證:EC⊥BF.
證明:顯然△ACE≌△AFB,對應角∠AEC和∠ABF構(gòu)成“8字形ABMEA”,由外角的性質(zhì)(或三角形內(nèi)角和定理)易證:∠EMB=∠EAB=90°,所以EC⊥BF.
評注 ?找“8字形”是求第三組對應邊夾角的有效途徑. 在構(gòu)成“8字形”的兩個三角形中,有一組角是“共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形”的對應角,另一組角是對頂角,所以第三組角相等. 因此我們只要找到構(gòu)成 “8字形”的兩個三角形,就可輕易解決角相等的問題.
變式2 ?(二次全等)如圖4,△ABD和△BCE均為等邊三角形,且A,B,C在同一條直線上,求證:(1)△BCQ≌△BEP;(2)△BAP≌△BDQ;(3)△BPQ為等邊三角形.
證明:(1)顯然△BAE≌△BDC,所以∠BCQ=∠BEP,易證∠PBE=∠QBC=60°,BC=BE,所以△BCQ≌△BEP.
(2)同(1)法可證:△BAP≌△BDQ.
(3)由(1)知△BCQ≌△BEP,所以BP=BQ,又因為∠PBQ=60°,所以△BPQ為等邊三角形.
評注 ?此題是二次全等的典型習題,圖形雖較復雜,但抓住本質(zhì)即可快速解答,與原題有異曲同工之妙,有利于培養(yǎng)學生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng).
變式3 ?(角平分線的判定)如圖5,△ABD和△BCE均為等邊三角形,且A,B,C在同一條直線上,求證:∠AMB=∠CMB.
證明:如圖5,過點B作BP,BQ分別垂直于AM,CM于點P,Q. 易證:△BPE≌△BQC(AAS),所以BP=BQ,又因為BP⊥AM、BQ⊥CM,所以BM平分∠AMC(角平分線的判定),即∠AMB=∠CMB.
評注 ?通過向角的兩邊引垂線段是解決角平分線(角相等)問題的一種常用方法. 但此題巧妙結(jié)合了角平分線的判定、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定等知識點,對于八年級的學生而言,是一道綜合性強、思路少、很難獨立解決的問題. 如果教師能巧妙引導,幫助學生找到突破口,那么此題對于培養(yǎng)學生的幾何邏輯推理能力具有極大的意義.
變式4 ?(等腰三角形三線合一)如圖6,△ABC和△ADE都是等邊三角形,點D在線段AC上,若S =2S ,求證:(1)BD⊥AC;(2)BC⊥CE.
證明:(1)顯然△ABD≌△ACE,所以S =S =2S . 所以S =S . 所以CD=AD. 又因為BC=BA,所以BD⊥AC(三線合一).
(2)易證∠DCE=30°,∠BCE=90°,所以BD⊥CE.
評注 ?此題巧妙結(jié)合了全等三角形、等邊三角形以及三角形中線平分面積等知識點,題型新穎、難度不大、解法較多,是一道綜合性很強的練習題.
變式5 ?(平行線的判定)如圖7, △ABC和△ADE都是等邊三角形,點D在BC上,試說明:CE∥AB.
證明:顯然△ABD≌△ACE,所以∠ACE=∠ABD=∠CAB=60°,所以CE∥AB.
評注 ?此題是點D落在BC上的一種特殊情形,在經(jīng)過簡短的證明后,卻得到了始料未及的結(jié)論——平行. 這個結(jié)論并不直觀,但卻巧妙地體現(xiàn)了邏輯推理在幾何證明中的重要性.
變式6 ?(2016年廣東中考第24題第(2)問)如圖8,正方形ABCD的邊長為2,線段BC在其所在的直線上移動,記平移后的線段為PQ,連接PA,QD,過點Q作QO⊥BD于O,連接OA,OP. 試問線段OA和OP之間有怎樣的關(guān)系?并加以證明.
解:OA=OP且OA⊥OP,證明如下:根據(jù)題意可分為如圖8和9兩種情形,兩圖均易證△OBQ為等腰直角三角形,所以BO=QO,顯然∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,AB=BC=PQ,所以△OBA≌△OQP(SAS),所以OA=OP,∠AOB=∠POQ,所以∠AOP=∠BOQ=90°,即OA=OP且OA⊥OP.
評注 ?此題是共頂點旋轉(zhuǎn)全等三角形的經(jīng)典考題. 在繁雜的條件陳述中,發(fā)現(xiàn)本題的實質(zhì),找全全等的條件,對八年級的學生而言是一個巨大的挑戰(zhàn).
小結(jié)
變式教學在初中數(shù)學課堂教學中應用尤為廣泛,特別是在初中幾何例、習題的教學中,變式教學能有效地提升課堂教學效率,更是培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的良好載體. 對于數(shù)學教師而言,研究如何通過變式教學,促進學生核心素養(yǎng)落到實處是一個意義深遠、任務重大的課題.