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    關(guān)于函數(shù)壓軸題的解題策略探討與建議

    2020-05-19 15:06:04周華
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合函數(shù)策略

    周華

    [摘 ?要] 函數(shù)壓軸題的解題過程是知識(shí)調(diào)用、問題轉(zhuǎn)化的過程,該過程中需要使用相應(yīng)的解題技巧,其中數(shù)形結(jié)合是直觀呈現(xiàn)問題、構(gòu)建模型、嚴(yán)密推理的常用策略. 文章通過分析函數(shù)壓軸題,思考數(shù)形解題策略,結(jié)合實(shí)例探討函數(shù)壓軸題的突破過程,提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

    [關(guān)鍵詞] 函數(shù);策略;思想;數(shù)形結(jié)合

    函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是知識(shí)綜合性最強(qiáng)的內(nèi)容之一. 縱觀近幾年的中考題,函數(shù)作為壓軸題出現(xiàn)的頻次很高,常聯(lián)合平面幾何、代數(shù)方程、不等式等內(nèi)容來命制考題. 命題特征鮮明,常采用連續(xù)設(shè)問方式,難度逐問遞增,各問之間具有一定的關(guān)聯(lián)性和鋪墊作用,能夠引導(dǎo)學(xué)生思考,全面考查學(xué)生的知識(shí)水平和邏輯推理能力.

    實(shí)際上函數(shù)是數(shù)形結(jié)合最為緊密的內(nèi)容,函數(shù)解析式與圖像之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系,從思想層面來看,是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 函數(shù)問題考查的知識(shí)內(nèi)容十分豐富,在實(shí)際研究時(shí)需要全面考量函數(shù)圖像,分析變量關(guān)系,總結(jié)結(jié)論. 基于數(shù)形結(jié)合思想建議采用如下解題策略:

    1. 畫圖解信息,由圖析關(guān)系(由形析數(shù))

    對(duì)于函數(shù)壓軸題可利用圖像來解析題干條件,提取隱含信息. 首先繪制圖像,充分解讀題干條件,利用圖像的直觀性來挖掘其中的幾何特性.

    2. 列式得未知,代數(shù)分析解(用數(shù)解形)

    把握隱含信息,利用圖像中的點(diǎn)來求解所涉函數(shù)關(guān)系式,通過解方程、不等式或函數(shù)分析的方式來獲取關(guān)鍵量,逐步剖解問題.

    考題探究

    函數(shù)壓軸題的綜合性很強(qiáng),其解法也不唯一,從不同的角度分析可以獲得不同的信息條件,但均可以按照上述所推薦的數(shù)形策略來構(gòu)建思路,下面以一道函數(shù)壓軸題為例加以探討.

    問題:(函數(shù)與幾何的綜合)已知拋物線的解析式為y=ax- 2-2,其頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B- ,2和C ,2是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),試回答下列問題.

    (1)求該拋物線的解析式;

    (2)如圖1所示,過點(diǎn)A和B的直線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M和E,拋物線與y軸的交點(diǎn)為F,點(diǎn)P位于直線AB上,若有∠OPM=∠MAF,試求△POE的面積;

    (3)如圖2所示,點(diǎn)Q位于折線A-B-C上,過點(diǎn)Q作y軸平行線,再過點(diǎn)E作x軸的平行線,設(shè)兩線交點(diǎn)為N,將△QNE沿著直線QE翻折,可得△QEN1,若點(diǎn)N1剛好落在x軸上,試求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

    思路突破:

    第(1)問求拋物線的解析式,只需要將拋物線上已知坐標(biāo)的一點(diǎn)代入解析式即可,將- ,2代入y=ax- 2-2中,可解得a=1,則該拋物線的解析式為y=x- 2-2.

    第(2)問求所構(gòu)三角形的面積,核心條件是等角關(guān)系“∠OPM=∠MAF”. 基于數(shù)形結(jié)合策略進(jìn)行問題分析,根據(jù)條件信息理解圖像,顯然△POE由直線AB、OP和y軸合圍所成. 點(diǎn)A坐標(biāo)已知,點(diǎn)B、E、F、M的坐標(biāo)均可以聯(lián)立方程獲得. 連接AF后,由“∠OPM=∠MAF”可知OP∥AF,后續(xù)需要分兩步進(jìn)行:第一步構(gòu)建面積模型,第二步利用條件列方程求相關(guān)未知量. 有以下兩種方法.

    若將△POE視為以O(shè)E為底、點(diǎn)P為頂點(diǎn)的三角形,則其面積可以表示為S△POE= ·OE·h,其中h表示點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離,數(shù)值上與點(diǎn)P橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等. 將直線AB的解析式設(shè)為y=kx+b,分別代入點(diǎn)A和B的坐標(biāo),則可求得解析式為y=-2x-1,從而可得點(diǎn)E(0,-1),F(xiàn)0,- ,M- ,0. 由∠OPM=∠MAF可知OP∥AF,從而可證△OPE∽△FAE,由相似性質(zhì)可得 = . 其中利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得OE=1,EF= ,AF= ,代入可解得OP= . 點(diǎn)P位于直線AB上,可將其坐標(biāo)設(shè)為(t,-2t-1),從而可解得t1= - ,t2=- ,分析可知點(diǎn)P的兩個(gè)位置均滿足等角條件,將其分別代入面積模型可求得△POE的面積,當(dāng)t1=- 時(shí),可得S△POE= ;當(dāng)t2=- 時(shí),S△POE= ,所以△POE的面積為 或 .

    第(3)問涉及幾何折疊,同時(shí)點(diǎn)Q在折線A-B-C上運(yùn)動(dòng),需要利用折疊特性進(jìn)行分類討論. 結(jié)合圖像分析可知需要分為三種情形:①點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng),②點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng),且位于y軸的左側(cè);③點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng),且位于y軸的右側(cè). 具體分析時(shí)需要提取其中的基本圖形,結(jié)合圖形性質(zhì)來構(gòu)建方程求坐標(biāo).

    ①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖3所示,設(shè)點(diǎn)Q(a,-2a-1),則NE=-a,QN= -2a,根據(jù)翻折特性可得QN′=QN=-2a,N′E=NE=-a. 分析可知△QRN′~△N′SE,根據(jù)相似性質(zhì)可得 = = ,代入可解得QR=2,結(jié)合NE+ES=NS=QR,可得-a+ =2,則a=- ,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為- , .

    ②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng),且位于y軸的左側(cè)時(shí),如圖3所示. 設(shè)NE=-a,則N′E=-a,易得RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,則QR= ,SE= +a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2,解得a=- ,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為- ,2.

    ③當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng),且位于y軸的右側(cè)時(shí),如圖4所示,按照情形2的思路進(jìn)行方程構(gòu)建,設(shè)NE=a,則N′E=a,易得RN′=2,SN′=1,QN′=QN=3,則QR= ,SE= -a. 在Rt△SEN′中使用勾股定理可得SE2+SN′2=EN′2,解得a= ,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ,2.

    綜上可知,滿足條件點(diǎn)Q的坐標(biāo)有三個(gè),分別為- , 、- ,2和 ,2.

    上述是拋物線與平面幾何相綜合的壓軸題,其中涉及幾何角相等、求解三角形模型、圖形翻折等幾何內(nèi)容,這也是函數(shù)綜合題常見的命題方向. 上述采用了數(shù)形結(jié)合構(gòu)建思路的策略,過程中體現(xiàn)了該策略解題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是利用圖像來理解題意,這是解題的前提;二是利用圖像來轉(zhuǎn)化條件,主要體現(xiàn)在后兩問上,以第(2)問為例,結(jié)合圖像將等角關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形相似關(guān)系,以及直線斜率相等關(guān)系;三是利用圖像模型來構(gòu)建方程,無論是求直線解析式,還是求點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù),均體現(xiàn)得淋漓盡致.

    解后反思

    函數(shù)與幾何壓軸題的突破需要完成圖像分析與代數(shù)轉(zhuǎn)化兩個(gè)過程,上述呈現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的具體步驟,下面提出兩點(diǎn)教學(xué)建議.

    1. 重視觀察,探析特性

    函數(shù)與幾何壓軸題的特點(diǎn)是信息含量大,圖像較為復(fù)雜,基于數(shù)形結(jié)合開展解題教學(xué)時(shí)需要使學(xué)生明晰信息理解的重要性,包括文字、符號(hào)和圖像信息,在該階段要完成題干條件與問題圖像的對(duì)照轉(zhuǎn)化. 因此需要引導(dǎo)學(xué)生重視觀察圖像,掌握讀圖技巧,例如提取曲線與坐標(biāo)的交點(diǎn)、曲線之間的交點(diǎn),關(guān)注其中的特殊圖形,提取圖形特性,以此為切入點(diǎn)來挖掘隱含條件,構(gòu)建相應(yīng)的思路. 考慮到圖像較為復(fù)雜,具體教學(xué)時(shí)可以采用簡(jiǎn)圖分析的方式,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)合圖形進(jìn)行拆解,構(gòu)建模型,如上述第(3)問分類討論時(shí)分別提取了動(dòng)點(diǎn)圖模型.

    2. 直觀猜想,嚴(yán)謹(jǐn)論證

    函數(shù)壓軸題所涉線條較多,結(jié)合了幾何運(yùn)動(dòng)內(nèi)容的問題更為復(fù)雜,部分幾何元素的內(nèi)容不完全確定,此時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮想象來做出猜想. 猜想時(shí)需要整合題干中的基本條件,綜合考慮、合理猜想,例如上述結(jié)合條件可以想到點(diǎn)P的位置有兩個(gè),后續(xù)只需要加以論證即可. 在論證過程中需要充分運(yùn)用函數(shù)與幾何性質(zhì),構(gòu)建相應(yīng)的方程、不等式,通過求解獲得準(zhǔn)確的點(diǎn)坐標(biāo)、取值范圍等內(nèi)容,從而剔除其中的錯(cuò)誤猜想,得出正確的結(jié)論. 教學(xué)中教師要充分貫徹“先假設(shè),后驗(yàn)證”的思路,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、嚴(yán)謹(jǐn)推理能力.

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