兩類非線性方程(組)的對稱約化和精確解

孫世飛 李雪霞 劉漢澤

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

隨著非線性科學(xué)研究的不斷發(fā)展，在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中構(gòu)造非線性方程組并得到其精確解已經(jīng)成為了一項熱門課題，包括非線性常微分方程(組)[1]、非線性偏微分方程(組)[2-4]和非線性差分方程(組)[5]如淺水波方程[6]、正則長波方程[7]、Drinfeld-Sokelov-wilson(DSW)[8,9]方程組等的研究都可以用來描述物理等其他領(lǐng)域的復(fù)雜現(xiàn)象，在諸多非線性方程和方程組的研究中，量子力學(xué)領(lǐng)域中重要的Schr?dinger方程的多種精確解的研究也有著其重要的研究意義.

Schr?dinger方程是由奧地利物理學(xué)家Schr?dinger提出的用來描述微觀粒子運(yùn)動的量子力學(xué)中的一個基本方程，通過對每個微觀系統(tǒng)的Schr?dinger方程進(jìn)行研究可以得到波函數(shù)的具體形式以及對應(yīng)的能量，進(jìn)而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì). 非線性Schr?dinger方程在非線性光纖、非線性光器件、光子晶體等多種非線性介質(zhì)中作為可以描述非線性波動傳播動力學(xué)的基本模型被廣泛關(guān)注和研究、針對引入隨機(jī)變量的各種修正的Schr?dinger方程，采用解析和數(shù)值方法研究其孤子解具有現(xiàn)實意義；通過解析和數(shù)值的研究光孤子脈沖的動力學(xué)特性，可以進(jìn)一步的研究光孤子脈沖在全光技術(shù)中的物理機(jī)制；通過相空間分析Schr?dinger方程還可以對混沌動力學(xué)進(jìn)行研究，通過研究基于非線性光纖和光纖器件的混沌動力學(xué)，可以尋找混沌出現(xiàn)的條件，而這些條件也在全光通信中為混沌加密等方向的研究提供了潛在的重要作用.

研究了如下形式的二階CNS方程和三階NLS方程兩類不同階數(shù)的非線性偏微分Schr?dinger方程

iut+αu|u|2+uxx=0,

(1)

iut+uxxx+6|u|2ux+3u(|u|2)x=0,

(2)

其中α是系數(shù)，u是復(fù)函數(shù)振幅.Schr?dinger方程在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中是一種經(jīng)典并且重要的非線性方程，但是由于非線性方程的復(fù)雜性和特殊性，目前并沒有統(tǒng)一的計算工具和方法，在過去的幾十年中，出現(xiàn)了很多求解非線性方程的一般方法，例如Hirota雙線性方法[10,11]、輔助函數(shù)法[12,13]、F-展開法[14,15]、Exp-函數(shù)法[16,17]和李對稱法[18-20]等，其中孫艷波采用不同形式的Hirota雙線性方法對方程進(jìn)行求解.通過位勢變換引入新函數(shù),將原方程轉(zhuǎn)換成雙線性導(dǎo)數(shù)方程進(jìn)行求解[11]；蔡國梁, 張風(fēng)云等人用擴(kuò)展的F-展開法求耦合Schr?dinger-Boussinesq方程組的精確解；阮航宇利用變量分離法研究了(2+1)維NLS方程的局部結(jié)構(gòu)，得到了一系列包含環(huán)孤子，呼吸子和瞬子等的局域解[21]；李景美，張金良等人通過導(dǎo)出常系數(shù)柱(球)非線性Schr?dinger方程與變系數(shù)非線性Schr?dinger方程 (NLS) 的一個相似變換并通過G′/G展開法得到了變系數(shù)NLS方程的解[22]；高秀麗，額爾敦布和等人通過求變分問題的極值和試探函數(shù)法等多個方法的組合得到了Cubic-非線性Schr?dinger(CNS)方程的精確解[20]. 這些方法在求解非線性偏微分方程的研究中都逐漸成熟，但是并沒有研究此類方程的李對稱及相應(yīng)結(jié)構(gòu)，而在眾多方法中，李對稱方法因為可以判定方程的行波行為和其廣泛適用性得到了廣泛關(guān)注，本文通過復(fù)包絡(luò)變換和李對稱方法討論了Schr?dinger方程的李點對稱和約化方程，并通過冪級數(shù)方法得到了約化方程的一系列新解，從而對于今后研究此類Schr?dinger方程提供了更多的方向.

在本文中，第1部分引進(jìn)復(fù)包絡(luò)變換，將包含復(fù)值函數(shù)的Schr?dinger方程轉(zhuǎn)化為了實函數(shù)方程組，并借助Lie對稱方法得到了對應(yīng)實函數(shù)方程組的點對稱；第2部分，根據(jù)第一部分得到的對稱對實函數(shù)方程組進(jìn)行對稱約化，得到了部分精確解；第3部分，運(yùn)用冪級數(shù)方法對兩類方程的高階約化方程進(jìn)行研究，得到了新的精確解.

1 兩類Schr?dinger方程的復(fù)包絡(luò)變換和李點對稱

在包含復(fù)函數(shù)的非線性偏微分方程的研究中，為了檢測方程有沒有行波行為，常用的方法就是引入變換將復(fù)函數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實函數(shù)方程組，本文中引入復(fù)包絡(luò)變換

u(x,t)=p(x,t)+iq(x,t)，

(3)

其中i為虛數(shù)單位，將 (3) 代入方程 (1) 得到如下方程組

pt+αp2q+αq3+qxx=0,qt-αq2p-αp3-pxx=0.

(4)

同樣將 (3) 式代入方程 (2) 得到對應(yīng)的實函數(shù)方程組

pt+pxxx+12p2px-12q2px-24pqqx=0,qt+qxxx+12p2qx-12q2qx+24pqpx=0.

(5)

設(shè)方程組 (4) (5) 的單參數(shù)向量場為

(6)

其中ξ(x,t,p,q)，τ(x,t,p,q)，φ(x,t,p,q)和ψ(x,t,p,q)為向量場中的待定系數(shù)函數(shù)，如果向量場 (6) 存在方程組 (4) (5) 的對稱，向量場需要滿足以下條件

pr(i)V(Δ1)|Δ1=0=0,pr(j)V(Δ2)|Δ2=0=0.

(7)

pr(i)V表示向量場的i階延拓，在方程組 (4) 中Δ1=pt+αp2q+αq3+qxx，Δ2=qt-αq2p-αp3-pxx，方程組 (5) 中Δ1=pt+pxxx+12p2px-12q2px-24pqqx，Δ2=qt+qxxx+12p2qx-12q2qx+24pqpx.

接下來用標(biāo)準(zhǔn)對稱分析方法研究兩類方程組的向量場.

(I) 方程組 (4)通過無窮小生成元可以得到無窮多個點對稱，得到的李點對稱為

(8)

其中

不變?nèi)旱娜w生成元V構(gòu)成了一個五維李代數(shù)，并有以下一組基

(9)

(II) 方程組(5)得到的李點對稱為

(10)

其中

不變?nèi)旱娜w生成元V構(gòu)成了一個三維李代數(shù)，有如下一組基

(11)

通過求得的方程的向量場，可以對非線性方程進(jìn)行對稱約化，從而使偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解，通過向量場也可以對方程的守恒律進(jìn)行研究.

2 兩類非線性方程(組)的約化和精確解

在上一部分我們已經(jīng)得到了方程 (4)和方程 (5)兩類非線性方程組的向量場，在這一部分，將對兩類方程組的對稱約化及精確解進(jìn)行研究.

首先考慮方程組 (4)的特殊向量場、約化方程和精確解

p=f(t),q=g(t).

(12)

將不變量 (12) 代入方程 (4) , 得到約化方程

f′+αf2g+αg3=0,g′-αg2f-αf3=0,

(13)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.

p=f(x-ct),q=g(x-ct).

(14)

將不變量 (14) 代入方程 (4),得到約化方程

cf′+αf2g+αg3+g″=0,g′-αg2f-αf3-f″=0,

(15)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.

-f′ξ-f+2αgf2+2αg3+2g″=0,g′ξ+g+2αg2f+2αf3+2f″=0,

(16)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.

接下來根據(jù)方程 (5) 的特殊向量場研究非線性方程組 (5) 的約化方程和精確解.

p=f(t),q=g(t).

(17)

將不變量 (17) 代入方程 (5) , 得到約化方程

f′=0,g′=0,

(18)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.因此方程組 (5) 有解p=c1,q=c2,其中c1,c2為任意常數(shù)，很明顯解是無意義的.

p=f(x-ct),q=g(x-ct).

(19)

將不變量 (19) 代入方程組 (5),得到約化方程

-cf′+f?+12f2f′-12g2f′-24fgg′=0, -cg′+g?+12f2g′-12g2g′+24ff′g=0,

(20)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.

f′ξ+f-3f?-36f2f′+36g2f′+72fgg′=0,g′ξ+g-3g?-36f2g′+36g2g′-72ff′g=0,

(21)

其中f′=df/dξ,g′=dg/dξ.

值得注意的是，約化方程 (16) 和 (21) 都是高階的非線性微分方程，我們將在下一節(jié)對這兩個方程進(jìn)行討論和研究.

3 兩類非線性方程組的冪級數(shù)解

在第二部分，通過Lie對稱分析已經(jīng)得到了方程(4)和方程(5)兩類非線性方程組的對稱及約化方程，在本節(jié)將對高階約化方程(16)和(21)進(jìn)行研究，通過冪級數(shù)解得到了含有非恒量系數(shù)的冪級數(shù)形式解.

設(shè)方程組有下列形式的冪級數(shù)解

(22)

將式 (22) 代入方程 (16) 得

(23a)

(23b)

比較相同系數(shù)項，可得

(24)

其中n=0,1,2,.對于任意選取的常數(shù)a0,a1,b0和b1都可以得到

(25)

根據(jù)遞推公式，an和bn的其余各項都可以通過式(24)得出，這表明方程(16)存在系數(shù)為式(24)的冪級數(shù)解.則方程(24)有如下形式的冪級數(shù)解

(26)

則非線性方程組 (4) 的精確解為

(27)

將 (22) 式代入方程(21) 得

(28)

(29)

比較同類項，同理可得an+3和bn+3的表達(dá)式

(30)

(31)

其中n=0,1,2,…對于任意選取的常數(shù)a0,a1,b0和b1，方程 (21) 存在如下形式的解

(32)

非線性方程(5)的解為

(33)

(34)

本文中應(yīng)用冪級數(shù)方法對方程(16)和(21)兩類不同階的Schr?dinger方程復(fù)包絡(luò)變換后的的方程組的精確解進(jìn)行研究，得到了相應(yīng)的冪級數(shù)解，這表示冪級數(shù)方法在求解不同階的多種非線性方程和非線性方程組中都有其強(qiáng)大的適用性和重要性.在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域通過得到的冪級數(shù)解也可以得到所研究方程的精確解并解釋一系列復(fù)雜的物理現(xiàn)象，因此該方法在理論和應(yīng)用上都很方便.

4 結(jié)論

本文通過Lie對稱分析和冪級數(shù)函數(shù)法對CNS和NLS兩類Schr?dinger方程進(jìn)行研究，通過復(fù)包絡(luò)變換和李對稱得到了兩類方程的李點對稱和約化方程，進(jìn)而通過約化方程得到了兩類方程的高階約化方程的冪級數(shù)解，這些解在數(shù)學(xué)物理方面有很重要的特征，也證明了李對稱方法和冪級數(shù)函數(shù)方法是研究和求解非線性方程(組)的有效方法.