具有射影向量場的近Ricci-Bourguignon孤立子

摘要： 用幾何分析的方法， 研究具有射影向量場的近Ricci-Bourguignon孤立子. 首先， 證明勢向量場是射影向量場的近Ricci-Bourguignon孤立子的Cotton張量場為零， Bach張量場散度自由， Ricci張量場是共形Killing張量場; 其次， 證明勢向量場為射影向量場的K-切觸近Ricci-Bourguignon孤立子是Einstein流形.

關(guān)鍵詞： 近Ricci-Bourguignon孤立子; 射影向量場; 共形Killing; K-切觸

中圖分類號： O186.12""文獻標(biāo)志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1359-04

Ricci-Bourguignon Almost Solitons with "Projective Vector Field

ZHANG Xiaoli， LIU Jiancheng

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using the method of geometric analysis， we study Ricci-Bourguignon almost solitons with projective vector field.

Firstly， if the potential vector field is projective one， we prove that the Ricci-Bourguignon almost solitons have vanishing Cotton tensor field， divergence-free Bach tensor field and Ricci tensor field is

conformal Killing tensor field. Secondly， "we prove the K-contact Ricci-Bourguignon almost soliton whose potential vector field is a projective vector field is an Einstein mainfold.

Keywords： Ricci-Bourguignon almost soliton; projective vector field; conformal Killing; K-contact

1"引言及主要結(jié)果

設(shè)（Mn，g）是n維Riemann流形， n≥3. 若Mn上存在光滑向量場V， 光滑函數(shù)λ和常數(shù)ρ， 使得Ric+12LVg-ρRg=λg，（1）則（Mn，g）稱為近Ricci-Bourguignon孤立子（簡稱近RB孤立子）， 記為（M，g，V，λ，ρ）^［1］， 其中Ric，R分別表示Mn的Ricci曲率張量場和數(shù)量曲率， LVg表示度量g沿V方向的Lie導(dǎo)數(shù).

特別地， 當(dāng)ρ=0時， 方程（1）即為近Ricci孤立子方程.

若在（Mn，g）上存在光滑函數(shù)σ， 使得LVg=2σg成立， 則稱V是共形向量場. 特別地， 當(dāng)σ=0時， 稱V是Killing向量場.

在（Mn，g）上定義一個（1，2）-型張量場LV： X（M）×X（M）→X（M）， 使得

LV（Y，Z）=LV（YZ）-Y（LVZ）-［V，Y］Z，

其中X（M）表示流形M上的全體光滑向量場， Y，Z∈X（M）. 若存在1-形式P， 使得向量場V滿足（LV）（X，Y）=P（X）Y+P（Y）X，（2）則勢向量場V稱為射影向量場^［2］. 特別地， 若P=0， 則稱V是仿射Killing的. 射影向量場是Killing向量場和仿射Killing向量場的推廣.

文獻［1］首次提出了近RB孤立子的概念， 證明了： 如果近RB孤立子的勢向量場V是一個非平凡的共形向量場， 則R和λ-σ是常數(shù)； 對于緊致的近RB孤立子， 如果勢向量場V是一個非平凡的共形向量場， 則孤立子等距于歐氏球面. 自Sharma^［3］研究了切觸流形上的Ricci孤立子以來， 關(guān)于切觸流形的研究目前也取得了一些成果^［4-5］.

受上述工作的啟發(fā)， 本文將文獻［6］中近Ricci孤立子情形下的定理1和定理4推廣到近RB孤立子的情形， 得到如下結(jié)果.

定理1"設(shè)（Mn，g，V，λ，ρ）是近RB孤立子， 如果勢向量場V是射影向量場， 則：

1） Mn的Cotton張量場為零;

2） Mn的Bach張量場散度自由;

3） Mn的Ricci張量場Ric是共形Killing張量場， Ric-2Rn+2g是Killing張量場.

定理2"設(shè)（M^2m+1，g，V，λ，ρ）是K-切觸近RB

孤立子， 如果勢向量場V是射影向量場， 則（M^2m+1，g）是Einstein流形.

2"預(yù)備知識

如果在Riemann流形（Mn，g）上存在1-形式k， 使得二階對稱張量T滿足

（XT）（Y，Z）+（YT）（Z，X）+（ZT）（X，Y）=k（X）g（Y，Z）+k（Y）g（Z，X）+k（Z）g（X，Y），（3）

則T稱為二階共形Killing張量場^［7］. 當(dāng)k=0時， 稱T是一個Killing張量場.

在（Mn，g）上選取局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場{ei}， 用Rijkl，Rij，R分別表示Mn的Riemann曲率張量的分量、 Ricci曲率張量的

分量和數(shù)量曲率， 則Weyl張量場W^［8］可局部地表示為

Wijkl=Rijkl-1n-2（Rjkgil-Rikgjl+gjkRil-gikRjl）+1（n-1）（n-2）（gjkg

il-gikgjl）.

二階無跡對稱Bach張量場B^［9］可局部地表示為

Bij=1n-1klWiklj+1n-2RklWiklj.類似地， 由文獻［10］可知， Riemann流形上的Cotton張量場C可局部地表示為

Cijk=iRjk-jRik-12（n-1）（gjkiR-gikjR）.

文獻［11］證明了Cotton張量場C與Weyl張量場W和Bach張量場B的如下關(guān)系：

Cijk=-n-2n-3∑llWijkl，""∑jjBij=n-4（n-2）2∑j，kCijkRjk.（4）

設(shè)Mn是一個n=2m+1維的光滑流形， 若該流形上存在一個（1，1）-型張量場?、 向量場ξ及1-形式η， 滿足?2=-I+ηξ，""η（ξ）=1，（5）

則稱三元組（?，ξ，η）是一個近切觸結(jié)構(gòu). 由式（5）易見?ξ=0， η?=0. 賦予近切觸結(jié)構(gòu)的流形稱為近切觸流形. 如果近切觸流形上存在Riemann度量g， 滿足

g（?X，?Y）=g（X，Y）-η（X）η（Y），（6）

則g稱為Mn上的相容度量. 賦予相容度量的近切觸流形稱為近切觸度量流形. 在式（6）中令Y=ξ， 可得g（X，ξ）=η（X）.

進一步， 定義一個斜對稱張量Φ， 使得Φ（X，Y）=g（X，?Y）=-g（?X，Y）. 如果dη=Φ， 則η即為一個切觸形式， 即η∧（dη）n≠0， 此時Mn稱為切觸度量流形. 特別地， 當(dāng)ξ是Killing向量場時， Mn稱為K-切觸度量流形， 此時有如下等式成立：

Xξ=-?X，（7）Ric（ξ，X）=2mg（ξ，X）.（8）

3"主要結(jié)果的證明

3.1"定理1的證明

由文獻［2］知， 關(guān)于任意切向量場X，Y和勢向量場V， 有

（LVXg-XLVg-［V，X］

g）（Y，Z）=-g（（LV）（X，

Y），Z）-g（（LV）（X，Z），Y）.（9）

將近RB孤立子方程（1）和射影向量場滿足的方程（2）代入式（9）， 得

-2（XRic）（Y，Z）+ "2X（λ+ρR）g（Y，Z）

= "g（P（X）Y+P（Y）X，Z

）+g（P（X）Z+P（Z）X，Y）.（10）

利用Ricci算子Q的定義式Ric（X，Y）=g（QX，Y）， 式（10）可改寫為

-2（XQ）Y+2（Xλ）Y+2ρ（XR）Y=2P（X）Y+P（Y）X+g（X，Y），（11）

其中是使得g（，X）=P（X）成立的向量場.

設(shè){ei}是Mn上的一個局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場， 在式（11）中令Y=ei， 并與ei做內(nèi)積， 再關(guān)于i求和得

∑ni=1（-2g（（XQ）ei，ei）+2（Xλ）g

（ei，ei）+2ρ（XR）g（ei，ei））

=""""""""""""∑ni=1（2P（X）g（e

i，ei）+2P（ei）g（X，ei））.

注意到

∑ni=1g（Qei，ei）=R，

P（ei）g（X，ei）=P（X），

由向量場X的任意性， 得

ndλ+（ρn-1）dR=（n+1）P，（12）

其中d為外微分算子. 同理， 在式（11）中令X=ei， 再關(guān)于i求和， 并由Y的任意性知

2dλ+（2ρ-1）dR=（n+3）P.（13）

結(jié)合式（12），（13）可得

P=2-n（n-1）（n+2）dR，""dλ=2（n-1）（n+2）-ρdR.（14）

將式（14）代入式（11）， 得

（XQ）Y=1（n-1）（n+2）n（XR）Y+（n-2）2

（（YR）X+g（X，Y）R），（15）

其中R為數(shù)量曲率R的梯度. 關(guān)于X，Y反對稱化作用式（15）， 得

（YQ）X=1（n-1）（n+2）n（YR）X+（n-2）2

（（XR）Y+g（X，Y）R），

從而

（XQ）Y-（YQ）X=12（n-1）

（（XR）Y-（YR）X）.（16）

于是Cotton張量場C可表示為

C（X，Y，Z）=（XQ）Y-（YQ）X-12（n-1）（（XR）Y-（YR）X）=0.

結(jié)論1）得證. 從而由式（4）可知當(dāng)Cotton張量場C為零時， div B=0. 結(jié)論2）得證. 最后， 由式（15）可得

（XRic）（Y，Z）+ "（YRic

）（Z，X）+（ZRic）（X，Y）

= "2n+2（（XR）g（Y，Z）+（YR）g

（X，Z）+（ZR）g（X，Y）），（17）

再由式（3）可知Ric是共形Killing的. 此外， 式（17）也可以寫為

XRic-2Rn+2g（Y

，Z）+YRic-2Rn+2g（Z，X）

+ZRic-2Rn+2g（X，Y）=0，

從而Ric-2Rn+2g是Killing的. 定理1證畢.

3.2"定理2的證明

在K-切觸度量流形中， ξ是Killing的， 所以LξQ=0， 于是

（LξQ）X=LξQX-Q

（LξX）=ξQX-QXξ-

Q（ξX-Xξ）=（ξQ）X-QX

ξ+QXξ，

從而

（ξQ）X=QXξ-QXξ.（18）

將式（7）代入式（18）得

ξQ=Q?-?Q.（19）

在式（16）中令Y=ξ， 由于ξ是Killing的， 因此ξR=0， 從而式（16）可化為

（XQ）ξ-（ξQ）X=14m

（XR）ξ.（20）

根據(jù)Ricci算子Q的定義， 式（8）可改寫為Qξ=2mξ. 對該式沿X方向求協(xié)變導(dǎo)數(shù)， 并利用式（8）可得

（XQ）ξ=Q?X-2m?X.（21）

整理式（19）～（21）， 得

?QX-2m?X=14m（XR）ξ.（22）

用?作用式（22）并利用式（5），（8）可得QX=2mX， 即（M^2m+1，g）是Einstein流形. 定理2證畢.

參考文獻

［1］"DWIVEDI S. Some Results on Ricci-Bourguignon Solitons and Almost Solitons ［J］. Canadian Mathematical Bulletin， 2021， 64（3）： 591-604.

［2］"YANO K. Integral Formulas in Riemannian Geometry ［M］. New York： Marcel Dekker Inc， 1970： 31-56.

［3］"SHARMA R.Certain Results on K-Contact and （k，μ）-Contact Manifolds ［J］. Journal of Geometry， 2008， 89（1/2）： 138-147.

［4］"BEJAN C L， CRASMAREANU M. Ricci Solitons in Manifolds with Quasi-contact Curvature ［J］.

Publicationes Mathematicae， 2011， 78（1）： 235-243.

［5］"CHEN B Y， DESHMUKH S. Geometry of Compact Shrinking Ricci Solitons ［J］.

Balkan Journal of Geometry and Its Applications， 2014， 19（1）： 13-21.

［6］"SHARMA R， DESHMUKH S. Ricci Almost Solitons with Associated Projective Vector Field ［J］.

Advances in Geometry， 2022， 22（1）： 1-8.

［7］"WALD R M. General Relativity ［M］. Chicago： University of Chicago Press， 1984： 12-491.

［8］"GALLOT S， HULIN D， LAFONTAINE J. Riemannian Geometry ［M］. ［S.l.］： Springer-Verlag， 1990： 1-245.

［9］"BACH R. Zur Weylschen Relativittstheorie und der Weylschen Erweiterung des Krümmungste

nsorbegriffs ［J］. Mathematische Zeitschrift， 1921， 9（1/2）： 110-135.

［10］"YANG F， ZHANG L D. Rigidity of Gradient Shrinking and Expanding Ricci Solitons ［J］.

Bulletin of the Korean Mathematical Society， 2017， 54（3）： 817-824.

［11］"陳佳蕊， 劉建成. 完備非緊梯度擴張Ricci孤立子的剛性 ［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），

2019， 57（6）： 1403-1406. （CHEN J R， LIU J C. Rigidity of Complete Non-compact Gradient Expanding Ricci Solitons ［J］.

Journal of Jilin University （Science Edition）， 2019， 57（6）： 1403-1406.）

（責(zé)任編輯： 趙立芹）