課堂的精彩源于學(xué)生的多元表征

丁媛媛 費嶺峰

丁媛媛，高級教師，嘉興市“高質(zhì)量、高效率”教育教學(xué)能手，嘉興經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)（國際商務(wù)區(qū)）教學(xué)能手。平時認(rèn)真鉆研教材，教學(xué)面向全體學(xué)生，基于學(xué)生認(rèn)知起點，善于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性、積極性，課堂深受學(xué)生歡迎。工作以來曾多次獲區(qū)級、街道優(yōu)秀教師和先進(jìn)工作者等榮譽，主持參與市、區(qū)級課題多個，承擔(dān)市、區(qū)級公開課及講座10多次，撰寫的教育教學(xué)論文獲省、市、區(qū)級獎項及各級各類雜志發(fā)表30多篇。教學(xué)理念：上高效的課堂，做有趣的老師。

【摘要】表征是學(xué)習(xí)者思維活動表達(dá)的過程和呈現(xiàn)的形式。不同的表征，反映了學(xué)生對認(rèn)知對象的不同加工水平。學(xué)生在表達(dá)搭配問題時也展現(xiàn)了許多不同的方式，教師依據(jù)不同的表征方式對學(xué)生的思維過程進(jìn)行解析，認(rèn)清學(xué)生的思維狀況，設(shè)計有針對性的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生的思維從直觀形象層面向抽象概括水平發(fā)展，提升學(xué)生思維力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)廣角 思維表征 思維水平 搭配

表征是學(xué)習(xí)者思維活動表達(dá)的過程和呈現(xiàn)的形式。學(xué)習(xí)者對認(rèn)知對象的表征方式不同，反映的是其大腦加工過程的不同。數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)同樣如此。有研究者認(rèn)為：以直觀表征（如動作表征和圖形表征）方式為主的學(xué)生，一般形象思維比較強，抽象思維能力較弱;利用符號表征的方式學(xué)習(xí)思考的學(xué)生，思維嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，邏輯性強，抽象思維水平比較高。本文以人教版數(shù)學(xué)三年級下冊“數(shù)學(xué)廣角——搭配（二）”一課的教學(xué)為例，對學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中生成的學(xué)習(xí)材料，從思維表征的維度進(jìn)行解讀分析，認(rèn)清學(xué)生思維過程的異同，并就有效組織教學(xué)提出一些建議。

教師在課始呈現(xiàn)了如下學(xué)習(xí)任務(wù)：

這是教材的原有例題，設(shè)計意圖在于：為學(xué)生提供生活中熟悉的衣服搭配的現(xiàn)實背景進(jìn)入學(xué)習(xí)，易于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，把握問題結(jié)構(gòu)。同時，也便于學(xué)生借助生活經(jīng)驗理解、思考并解決數(shù)學(xué)問題。

執(zhí)教班級共有學(xué)生42人，現(xiàn)針對學(xué)生自主探索后的結(jié)果做分析。

學(xué)生主要用文字、原實物圖、圖形與數(shù)字等幾種方式來呈現(xiàn)結(jié)果。具體人數(shù)比例如下表：

從表中數(shù)據(jù)我們可以發(fā)現(xiàn)，76.2%的學(xué)生用文字和原實物圖像來表示結(jié)論。表達(dá)時，有學(xué)生還很細(xì)致地把上裝分為長袖、短袖，下裝分為短裙、褲子和長裙，甚至還描繪出了衣服上的花紋。這樣的方式，在教師看來并不直觀和簡約，表達(dá)費時也不太方便，但對處于“具體運算階段”的兒童來說，卻是認(rèn)識的基本方式。數(shù)據(jù)還告訴我們，能夠想到用簡約的圖形或數(shù)字來表達(dá)思考過程的學(xué)生只有21%，可見這個年齡階段的學(xué)生符號意識和抽象表達(dá)的意識均不強。

從學(xué)生的表達(dá)結(jié)果中我們還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決問題的過程中，其思考的過程也存在著明顯的差異。有的學(xué)生用直接描述，有的學(xué)生是羅列，還有的學(xué)生結(jié)合符號的連線，而有一部分學(xué)生則是直接用算式表示結(jié)果。為了對學(xué)生的思維過程有更加清晰地了解， 教師又根據(jù)學(xué)生例題解答的情況，對學(xué)生進(jìn)行了訪談，最終把學(xué)生在解決這個問題過程中體現(xiàn)出來的抽象思維水平分為以下幾個層次：

從上表可以看出，無法全面、有序地解決服裝搭配問題的水平0和水平1的學(xué)生總數(shù)占比不足10%;90%以上的學(xué)生不僅能解決，還使用了不同的表征（如文字、畫圖、圖形）等方式把自己的想法寫出來、畫出來，水平2的學(xué)生采用枚舉法，其思維處于羅列水平;水平3的學(xué)生用文字或原圖配合連線的方法來表征，抽象思維水平高于水平2的學(xué)生;水平4的學(xué)生能利用圖形或數(shù)字代替上裝和下裝并配合連線表征，抽象思維水平更高;有16.7%的學(xué)生能根據(jù)具體的表征抽象出數(shù)學(xué)模型，直接列式計算解決問題，屬于思維最高層次水平5。由此可見， 搭配服裝的思路和結(jié)果已經(jīng)不應(yīng)成為本課教學(xué)的重難點。教學(xué)中，讓學(xué)生觀察討論抽象思維水平2至水平5中不同表征方式，啟發(fā)學(xué)生對比方法的異同，體會抽象化圖形、數(shù)字表征方式的優(yōu)勢，感悟其隱含的思維價值，更能體現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的意義。

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，就抽象的深度而言，大體上分為三個階段：簡約階段、符號階段、普適階段。簡約階段是指把握事物的本質(zhì)，把復(fù)雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)的階段;符號階段是指去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關(guān)系表達(dá)包括已經(jīng)簡化了的事物在內(nèi)的一類事物;普適階段是指通過假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，能夠在一般意義上解釋具體事物。這三個階段中，簡約階段最為基礎(chǔ)，也相當(dāng)重要，因為小學(xué)階段學(xué)生的思維特點是形象思維占主導(dǎo)的。唯有積累了相當(dāng)豐富的簡約化經(jīng)驗后，才能更好地進(jìn)入符號化、邏輯化階段。

由此，筆者針對“數(shù)學(xué)廣角——搭配（二）”一課的例題探究后的進(jìn)一步組織教學(xué)提出以下建議：

一、循思而導(dǎo)，經(jīng)歷具體到抽象的過程

“數(shù)學(xué)廣角——搭配（二）”中涉及排列與組合的內(nèi)容，對于三年級學(xué)生來說，還是比較抽象的。教學(xué)中，教師需要把握學(xué)生的思維基礎(chǔ)，才能做出針對性的引導(dǎo)。這也是“以學(xué)定教”課堂的基本要求。

課堂上，教師可以提出這樣一個學(xué)習(xí)任務(wù)：一共有多少種不同的穿法？同學(xué)們能把搭配的過程表示出來嗎？此問題把學(xué)生從僅僅關(guān)注答案引導(dǎo)到關(guān)注尋找答案的過程上，在學(xué)習(xí)單上把動態(tài)的思考過程呈現(xiàn)出來，既生成豐富的教學(xué)資源，又展現(xiàn)了學(xué)生的思考過程。此時，教師通過交流，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“文字枚舉—實物連線—圖形連線—整體對比”的反饋教學(xué)（如圖1），體會表征方式從煩瑣到簡約，從具體到抽象的演變過程。當(dāng)然，過程中教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會看懂別人的圖示，體會不同的表征方式所蘊含的不同思維價值。

二、以問聚焦，引導(dǎo)把握知識的本質(zhì)

對于三年級學(xué)生來說，其思維更多停留在具體形象思維層面上。此時便需要教師通過質(zhì)疑、追問等方式，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

比如，當(dāng)呈現(xiàn)學(xué)生符號化圖示（如圖2）后，教師追問：你是怎么想到用○來表示上裝和下裝的？為什么還要在旁邊標(biāo)注上裝和下裝？不標(biāo)注可以嗎？有什么辦法嗎？當(dāng)呈現(xiàn)圖3時，教師可這樣問：你的△和○分別表示什么？你是怎么想的？還需要加上標(biāo)注嗎？為什么？學(xué)生呈現(xiàn)圖4后繼續(xù)追問：圖上的數(shù)字是什么意思你們看得懂嗎？除了用圖形和數(shù)字組合之外，還可以用什么方式來表示？怎樣的表示方法既能區(qū)分上裝和下裝，又能區(qū)分是第幾件呢？你有什么好辦法呢？目的在于引領(lǐng)學(xué)生體會：圖形+數(shù)字、圖形+顏色、字母+數(shù)字等簡約化表達(dá)的數(shù)學(xué)意義。

在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，知識技能的理解與掌握是重要的，而充分體會數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、抽象、概括的過程，對學(xué)生體悟數(shù)學(xué)抽象、發(fā)展抽象思維能力更有意義。

三、回顧比較，體悟數(shù)學(xué)抽象的特質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)方法的體悟與習(xí)得，并不是一蹴而就的，它需要多次的往復(fù)，不斷地經(jīng)歷與體驗。符號化作為本節(jié)課的重要思想，就具有這樣的特點。本節(jié)課結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的回顧與比較，是一種很好地幫助學(xué)生體會與發(fā)展符號意識的重要方式。

課堂上，當(dāng)學(xué)生完成例題的學(xué)習(xí)并把抽象出來的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于解決其他問題后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對比解決兩個不同問題的圖示（如圖5）：為什么圖中物品數(shù)量增加了，情況更復(fù)雜了，你反而更快地完成了呢？

這樣的問題，更多在于引導(dǎo)學(xué)生通過比較，真切體會符號化表達(dá)的簡約，更加簡潔地解決數(shù)學(xué)問題。如果還有學(xué)生不能感受這種特點，教師可再進(jìn)一步拓展和延伸，再增加一杯飲料或者一份點心，讓學(xué)生思考搭配方法和結(jié)果，并再次組織學(xué)生對比思考：增加一杯飲料與增加一份點心，兩種“搭配的結(jié)果”一樣嗎？如果不一樣，它們的區(qū)別又在哪里呢？請用簡潔、清晰的方式展示你的思考過程。如此幫助學(xué)生進(jìn)一步體會采用符號化的思考與運算，使得解決問題的過程與表達(dá)更簡潔、思維更清晰的過程，而這也正是數(shù)學(xué)抽象的魅力所在。