分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳家祥

【摘 要】本文論述分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：深入發(fā)掘教材內(nèi)容，刻意滲透分類討論思想;結(jié)合具體知識要點，實時應(yīng)用分類討論思想;科學(xué)合理劃分類別，組織學(xué)生全面分析討論;注重基礎(chǔ)知識教學(xué)，深化分類討論思想應(yīng)用;提倡小組合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生主動分類討論。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 分類討論思想

【中圖分類號】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）01B-0117-02

分類討論思想屬于數(shù)學(xué)中一種常用又重要的思想方法，它根據(jù)要求與特點將研究的知識或問題分成多個類別，轉(zhuǎn)化成多個小項進(jìn)行分析和解決，最后匯總結(jié)果，確保結(jié)果完整。教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運用分類討論思想時，可引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜凌亂的數(shù)學(xué)知識或問題劃分成多個明了清晰的小類別，以便全面理解與掌握，讓他們形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)意識與態(tài)度。

一、深入發(fā)掘教材內(nèi)容，刻意滲透分類討論思想

教材是任何學(xué)段和學(xué)科教學(xué)中的一切教學(xué)行為的基本依據(jù)，因此在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要想更好地運用分類討論思想，首先要深入發(fā)掘教材內(nèi)容，從中提取有關(guān)分類討論思想的知識點，帶領(lǐng)學(xué)生對知識進(jìn)行類比劃分，逐類討論，以助他們?nèi)胬斫鈹?shù)學(xué)知識。高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中應(yīng)事先閱讀與研究教材內(nèi)容，刻意滲透分類討論思想，為學(xué)生提供明確的分類對象，突破灌輸式教學(xué)模式的限制，讓他們在分類討論思想指導(dǎo)下高效學(xué)習(xí)。

比如，在教學(xué)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”中講到空間物體的類別時，教師可以有意識地運用分類討論思想。在多媒體課件中出示以下圖片：電線桿、方便面盒、吊線墜、一次性紙杯、螺母、臺燈燈罩、足球、斗笠、水杯，以及秤砣、金字塔、瓦房屋頂、交通錐等，要求學(xué)生把這些物體分類。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)物體的結(jié)構(gòu)特征把它們分成兩類，引領(lǐng)他們概括共性，得出旋轉(zhuǎn)體與多面體的定義。接著，教師組織學(xué)生分類討論旋轉(zhuǎn)體與多面體的不同之處和結(jié)構(gòu)特征，使其發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體是平面圖圍繞軸旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體;多面體則由面、棱、頂點構(gòu)成，主要特征是有棱角。然后指導(dǎo)他們結(jié)合棱柱定義展開分類討論，將棱柱分為直棱柱、斜棱柱、正棱柱三個類別。

針對上述案例，教師通過課件展示各種空間物體，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類討論，增強(qiáng)他們對各種空間幾何體的了解和認(rèn)識，使其學(xué)會區(qū)分，使其觀察能力得到有效鍛煉。

二、結(jié)合具體知識要點，實時運用分類討論思想

高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容體系復(fù)雜、內(nèi)容繁瑣，涉及的范圍更是廣泛，不過并非所有知識要點都能滲透分類討論思想，教師不能盲目或者隨意運用，而是要有針對性地運用分類討論思想，為學(xué)生提供新式學(xué)習(xí)思路，指導(dǎo)他們在分類討論中逐步理解和掌握新知識。這就要求高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，需要根據(jù)具體情況運用分類討論思想。明確分類標(biāo)準(zhǔn)，使其按照不同情況找準(zhǔn)分類方法，確保討論內(nèi)容不重復(fù)、不遺忘，以有利于他們準(zhǔn)確理解新知識。

比如，在進(jìn)行“集合”教學(xué)中，當(dāng)講到集合的分類時，依據(jù)集合所含元素個數(shù)不同，將集合分為以下幾個類別：（1）不含任何元素的集合是空集 Ф，強(qiáng)調(diào) 0 并不是空集;（2）含有有限個元素的集合是有限集;（3）含有無窮個元素的集合是無限集。讓學(xué)生分類討論，按照集合的類別羅列一些相應(yīng)的例子。比如，既是三角形又是平行四邊形的集合是空集，x2=-2 也是一個空集;所有家庭成員、班內(nèi)所有同學(xué)、高中階段學(xué)習(xí)的所有學(xué)科等均是有限集;偶數(shù)、奇數(shù)、自然數(shù)、負(fù)數(shù)都是無限集合。講到集合間的關(guān)系時，也可運用分類討論思想，教師結(jié)合例題帶領(lǐng)學(xué)生解讀并集、交集、補集、全集和子集等概念，明確劃分集合的分類標(biāo)準(zhǔn)，幫助他們深刻理解集合。

教師結(jié)合具體內(nèi)容運用分類討論思想，讓學(xué)生全面掌握集合類型;列舉相應(yīng)例子，讓學(xué)生更好地理解集合類型的劃分標(biāo)準(zhǔn)，讓他們初步了解元素與集合之間的從屬關(guān)系。

三、科學(xué)合理劃分類別，組織學(xué)生全面分析討論

分類討論思想的主要優(yōu)勢在于全面性和完整性，可以從若干個層面對知識或問題展開分析與討論，保證思考行為的有序性與系統(tǒng)性。在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中運用分類討論思想時，教師應(yīng)當(dāng)和學(xué)生一起科學(xué)合理地劃分類別，也就是說，根據(jù)分類對象與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，并堅持分類討論的以下幾個原則：（1）每級分類按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;（2）分類應(yīng)逐級進(jìn)行;（3）同級互斥、不得越級。組織他們?nèi)娣治雠c討論，使其最終得出正確的結(jié)論或結(jié)果。

以“函數(shù)”教學(xué)為例，當(dāng)學(xué)習(xí)完函數(shù)的概念后，教師出示例題。

〖例 1〗已知函數(shù) ，求函數(shù)的定義域，以及 f（-3）和? 的值;當(dāng) a>0 時，求 f（a），f（a-1）的值。

〖例 2〗已知一個矩形的周長是 80 厘米，其中一邊長 x，求矩形面積關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，寫出定義域。

組織學(xué)生分析和解題，隨后引領(lǐng)他們結(jié)合答案總結(jié)幾類函數(shù)的定義域：①假如 f（x）是整式，函數(shù)的定義域是實數(shù)集 R;②假如 f（x）是分式，函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)集合;③假如 f（x）是二次分式，函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)式子大于或等于零的實數(shù)集合;④假如 f（x）由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成，函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合。

這樣學(xué)生通過分類討論和總結(jié)，知道函數(shù)定義域由問題實際背景確定。如果沒明確定義域，那么函數(shù)的定義域指能使這個式子有意義的實數(shù)集，且值域要寫成集合或區(qū)間形式。

四、注重基礎(chǔ)知識教學(xué)，深化分類討論思想應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，部分定理、公式、概念等基礎(chǔ)知識當(dāng)中均蘊含分類討論思想，這為分類討論思想的應(yīng)用帶來良好契機(jī)。但部分高中生邏輯思維能力不強(qiáng)，他們在分類討論中極易出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等問題。原因是對基礎(chǔ)知識掌握不夠牢固，無法弄清分類情況，從而步入分類討論的誤區(qū)。這就要求高中數(shù)學(xué)教師高度重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)，借助分類討論的優(yōu)勢引領(lǐng)學(xué)生分類討論，輔助他們系統(tǒng)、牢固地掌握所學(xué)內(nèi)容，深化分類討論思想的應(yīng)用。

例如，在“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)實踐中，當(dāng)學(xué)生正確認(rèn)識三角函數(shù)的定義域后，教師在多媒體課件中出示一個平面直角坐標(biāo)系，以 O 為圓心畫一個單位圓，標(biāo)出點 A（1，0）為任意角 α 的一邊，終邊與單位圓相交于點 P（x，y）。組織學(xué)生分類討論：① y 叫做 α 的正弦（sine），記做 sin α，即 sin α=y;② x 叫做 α 的余弦（cosine），記做 cos α，即 cos α=x;③ 叫做 α 的正切（tangent），記做 （x≠0）。搭配問題：在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特點？函數(shù)值是什么？學(xué)生可能對三角函數(shù)自變量的認(rèn)識存在問題，教師引領(lǐng)他們結(jié)合單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦和正切的值域，并把 α 分為銳角、不是銳角、終邊在 y 軸上幾個類別討論。

上述案例，教師在教學(xué)基礎(chǔ)知識時，采用分類討論思想，組織學(xué)生分類討論角，使他們明白正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)比值為函數(shù)值的函數(shù)。

五、提倡小組合作學(xué)習(xí)，促使學(xué)生主動分類討論

高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，面對部分難度較大的知識或問題時，僅僅憑借個人能力難以透徹、全面地理解。他們在獨立學(xué)習(xí)或解題時通常出現(xiàn)考慮不夠周全的情況，以至理解得不夠全面。高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中運用分類討論思想時要靈活調(diào)整，大力提倡小組合作學(xué)習(xí)方式，組織學(xué)生進(jìn)行小組學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在小組內(nèi)討論、相互啟發(fā)與補充，并盡量討論到每一種情況，使其突破個人思維的局限性，體現(xiàn)小組合作學(xué)習(xí)的優(yōu)勢，以此提升整體學(xué)習(xí)效率，推動他們之間互動。

比如，在“數(shù)列的概念與簡單表示法”的教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察教材 26 頁的主題圖，觀察自然現(xiàn)象中出現(xiàn)的數(shù)的規(guī)律，讓他們分組討論數(shù)的規(guī)律，并觀察 28 頁的兩幅圖，使其在小組內(nèi)討論，引出數(shù)列的概念。接著，教師要求學(xué)生以小組為單位討論生活中的數(shù)列實例，如銀行利息、房貸、購買商品分期付款等，告知他們數(shù)列中的每一個數(shù)稱為這個數(shù)列的項，排在第幾位就是第幾項。之后，學(xué)生在小組內(nèi)討論數(shù)列的分類，先在組內(nèi)總結(jié)，再在班內(nèi)匯總結(jié)果，使其按照數(shù)列特點進(jìn)行適當(dāng)分類。例如，按照數(shù)列的項數(shù)分為有限數(shù)列與無窮數(shù)列;按照數(shù)列中數(shù)的大小特點分成遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列，然后說出教材中幾種數(shù)列的類型。

在上述案例中，教師組織學(xué)生采用小組合作學(xué)習(xí)的方式，使其在討論交流中找準(zhǔn)、找全數(shù)列的幾種分類，讓他們初步理解數(shù)列的順序性，感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

六、借助解題教學(xué)契機(jī)，實踐運用分類討論思想

解題教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要一環(huán)，不僅可以檢測學(xué)生對所學(xué)知識的掌握與應(yīng)用情況，而且能夠使他們發(fā)現(xiàn)個人的不足與缺陷，使其有目的性地改進(jìn)和強(qiáng)化，同時也是分類討論思想實踐應(yīng)用的機(jī)會。高中數(shù)學(xué)教師在具體的課堂實踐中，應(yīng)該精心設(shè)計解題訓(xùn)練，借助解題教學(xué)的契機(jī)引領(lǐng)學(xué)生運用分類討論思想分析和處理問題，使其掌握分類討論思想的應(yīng)用方法與技巧，學(xué)會用來靈活解題，借此提高他們的解題水平與應(yīng)用能力，并收獲信心。

比如，在開展“不等式”教學(xué)時，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完教材內(nèi)容后，教師可設(shè)置練習(xí)題：

設(shè) 0（ax）2 解集中的整數(shù)剛好是 3 個，那么實數(shù) a 的取值范圍是什么？

在這里要先把原不等式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，變成[（1-a）x-b][（1+a）x-b]>0。很明顯，要對 a 與 1 之間的關(guān)系展開分類討論。①當(dāng) a≤1 時，顯然不符合題意，可舍棄;②當(dāng) a>1 時，，根據(jù)題意得知 ，要想讓不等式的解集中剛好有 3 個正數(shù)，那么 ，整理可得 2a-2

上述案例，學(xué)生結(jié)合不等式的定義運用分類討論思想解題，將較為復(fù)雜的問題分解成兩個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答求出正確答案，鍛煉他們的應(yīng)用意識與能力。

總而言之，分類討論思想是一種相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師需把分類討論思想科學(xué)應(yīng)用至多個知識要點的講解和習(xí)題訓(xùn)練中，指導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，使其快速找到解題思路，提高他們的邏輯思維能力。

（責(zé)編 盧建龍）