勤做深思考 “懶”出新境界

周海燕

(湖北省秭歸縣第二高級(jí)中學(xué)，443600)

馬云曾在一個(gè)演講中提出，“懶人推動(dòng)世界”，并列舉了世界上最富有的比爾蓋茨因?yàn)閼械糜洀?fù)雜的DOS命令，創(chuàng)建了圖形界面；羅拉爾多懶得在球場(chǎng)上到處跑動(dòng),等著球靠近他時(shí)才踢；還有其他更聰明的懶人,他們懶得爬樓梯發(fā)明了電梯,懶得走路發(fā)明了交通工具；數(shù)學(xué)家懶得計(jì)算每一個(gè)具體問(wèn)題發(fā)明了數(shù)學(xué)公式，等等.他指出，他們的“懶”是建立在深入思考的背景之下,正源于此,科技的進(jìn)步與社會(huì)的發(fā)展才會(huì)如此之快．在這個(gè)思考力比拼的時(shí)代,數(shù)學(xué)教學(xué)如何啟發(fā)學(xué)生勤做深思考,“懶”出新境界,達(dá)成新高考背景下的核心素養(yǎng)要求呢?

探究1若方程2log2x-log2(x-1)=m+1有兩個(gè)不同的解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

教師:此題屬于何種題型、有哪些通解通法?

學(xué)生1:此題屬于函數(shù)與方程,方程的解經(jīng)常與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相聯(lián)系．

教師:很棒,很明顯這位學(xué)生平時(shí)善于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn),注意解題策略的提煉,因此很快找到了解決問(wèn)題的方向!那么具體如何操作呢?

學(xué)生1:先對(duì)原方程進(jìn)行等價(jià)變形,再轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)數(shù)型的復(fù)合函數(shù)在確定區(qū)間上的圖象與平行于x軸的直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題,具體解法如下:

教師:這個(gè)解法利用了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,并且對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)及圖形的平移變換掌握得很好,充分運(yùn)用直觀想象，成功地將數(shù)轉(zhuǎn)化為形,達(dá)到了解決問(wèn)題的目的．有沒(méi)有美中不足呢?

教師:不錯(cuò),通過(guò)進(jìn)一步思考,簡(jiǎn)化了計(jì)算,切合了高考命題思想“多考一點(diǎn)想,少考一點(diǎn)算”．由這位同學(xué)的啟發(fā),我們還有沒(méi)有別的途徑呢?

學(xué)生3:由定義域知,此方程還可以在上述基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為整式方程,其實(shí)質(zhì)是二次方程在給定區(qū)間上的解的問(wèn)題，即二次方程根的分布問(wèn)題．分析過(guò)程展示如下:

教師:太精彩了,這樣將一個(gè)對(duì)數(shù)方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們重點(diǎn)研究且非常熟悉的二次方程根的分布問(wèn)題．同學(xué)們是不是覺(jué)得意猶未盡?

探究2已知函數(shù)

函數(shù)g(x)=3-f(2-x),

則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

學(xué)生1先畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,再由對(duì)稱(chēng)變換和平移變換畫(huà)出g(x)的圖象,由其交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

學(xué)生2.上述變換太繁雜,先對(duì)g(x)的解析式化簡(jiǎn),再畫(huà)圖由數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．展示如下:

解析由已知條件可得

函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖1所示.

由圖1可知，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,選A.

學(xué)生3:由于兩部分分別為一次型和二次函數(shù),故直接由零點(diǎn)分段化簡(jiǎn)函數(shù),用解方程法求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．展示如下:

解析由已知條件可得令y=0，則有f(x)+f(2-x)=3，即

教師:通過(guò)這兩個(gè)探究,相信同學(xué)們從中都有感悟,只要我們勤于思考,善于思考,我們一定能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,這也正是我們時(shí)代發(fā)展不斷進(jìn)步所在．希望同學(xué)們?cè)俳釉賲?能讓自己“懶”出新境界．

在由“知識(shí)核心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤昂诵乃仞B(yǎng)”的時(shí)代背景下,作為教師要善于將“懶”的意識(shí)作為激發(fā)學(xué)生思維背后的驅(qū)動(dòng)源,讓他們敢于摒棄淺嘗輒止的思維方式,勇于深入思考，挖掘問(wèn)題的本質(zhì),真正獲得創(chuàng)造性的思考問(wèn)題、解決問(wèn)題帶來(lái)的積極情感體驗(yàn),在尋求偷“懶”的途徑中，提升核心素養(yǎng),最終站得更高,想得更深,走得更遠(yuǎn)．