一道雙變量最值問題的解法探究

穆沛澤

(山西省應縣一中，037600)

波利亞曾指出：“掌握數(shù)學就意味著善于解題,中學數(shù)學的首要任務就是加強解題訓練．”解題教學是高中數(shù)學不可或缺的重要組成部分,如何進行高效的解題教學，是廣大師生共同面對的課題．實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效方法,對同一道題目從不同角度思考,既可以對知識達到融會貫通,又能訓練思維能力,使解題能力大大提升．本文結(jié)合一道雙變量代數(shù)式的取值范圍問題,從不同角度進行切入,通過一題多解，最后殊途同歸來訓練學生的解題能力,．

題目已知正數(shù)x,y滿足x2+6xy=1,則x+2y的最小值為______．

解法1(消元+基本不等式)

解法2(三角換元+基本不等式)

點評上述兩種方法都是基于消元思想,是多變量問題常見的一種解題思路．

解法3(雙換元)

解法4(參數(shù)方程+三角公式)

x2+6xy=(x+3y)2-9y2=1.

可得3mcosθ+sinθ=3,

解法5(參數(shù)方程+斜率模型)

解法6(判別式法)

解法7(齊次式+基本不等式)

∵x2+6xy=1,

解法8(齊次式+導數(shù))

同上可得

點評方法7和方法8都采用了齊次式的處理手法,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,可用基本不等式或?qū)?shù)進行解決．

解法9(拉格朗日乘數(shù)法)

點評這是解決多元變量的通法,來源于高等數(shù)學,已經(jīng)超出高中數(shù)學的范圍,可參考．

波利亞在《怎樣解題》中指出:“好題目和某種蘑菇有相似之處:當你找到第一個蘑菇或作出一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的．”通過一題多解,舉一反三,觸類旁通,可有效提高數(shù)學解題能力．