讓核心素養(yǎng)在課堂中閃光
——以“基本不等式(第一課時)”為例

王國學 黃 浩

(廣東省深圳市光明中學，518107)

核心素養(yǎng)是學生最為重要的素質和學習品質.在當前要求發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的大背景下，教師應從教會學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界等方面入手，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).本文將以“基本不等式(第一課時)”的教學設計為例,探索主要教學過程如下:

一、動手操作,幾何引入——用數(shù)學的眼光觀察世界

圖1是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標,會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設計的,該圖給出了迄今為止對勾股定理最早、最簡潔的證明,體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何是緊密結合、互不可分的.

探究1在這張“弦圖”中，能找出一些相等關系和不等關系嗎?

由圖2可知，S2>S1,即a2+b2>2ab.

設計意圖由弦圖引入重要不等式,可以培養(yǎng)學生的“直觀想象”.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.這樣的設計注重利用圖形分析、發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題,從而讓學生打開解題思路.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過程中,學生能夠進一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力,增強運用圖形和空間想象思考問題的意識,提升數(shù)形結合的能力,感悟事物的本質,培養(yǎng)創(chuàng)新思維.

探究2①a,b取一些特殊值進行探路:

ababa+b2ab與a+b2的大小關系121814516<1411258<164810<2222=32323232=…………

設計意圖引導學生以特例探路，猜想結論.這種將數(shù)學的文本形式轉化為數(shù)學家最初思維的過程，通過暴露數(shù)學家艱難探索、推理過程的方式，既讓學生了解到知識的來龍去脈，感悟到數(shù)學的魅力所在，又能誘發(fā)學生深入思考問題，教會學生學習、研究的方法——從特殊到一般是科學探求未知的有效手段.

二、嚴格證明,得出結論——用數(shù)學的思維思考世界

在前面探究的基礎上，教師使用幾何畫板,通過展示圖形動畫,使學生直觀感受不等關系中的相等條件,從而進一步完善不等式結論:

(1)若a,b∈R+，則a2+b2≥2ab;

1.代數(shù)證明,體會本質

證法1(作差法):

∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,

∴a2+b2≥2ab,當a=b時取等號.

(在該過程中，可發(fā)現(xiàn)a,b的取值可以是全體實數(shù))

2.幾何證明,相得益彰

當且僅當C與圓心O重合時，即a=b時等號成立.

設計意圖引導學生用作差法和分析法，給出這兩個不等式的證明，最后用圓中半徑和半弦的關系，闡明基本不等式的幾何意義.這樣讓學生知其然，而又知其所以然，落實到數(shù)學本質，提升了學生的抽象思維能力.在教學過程中，教師并不是將基本不等式等號成立的條件強加給學生，而是通過幾何畫板的演示，讓學生自己發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).在得到基本不等式之后，又引導學生給出了嚴格的證明，使學生懂得一個數(shù)學的發(fā)現(xiàn)，要能被廣泛地應用，就必須經(jīng)過嚴謹?shù)淖C明，這正是數(shù)學思維嚴密性的體現(xiàn).而通過圓給出基本不等式的幾何意義，則是教師深入挖掘教材當中隱含的數(shù)學思想，并把挖掘出的數(shù)學思想，滲透到相應的內容之中，讓學生能更好地理解數(shù)學知識、有效地提高自身的數(shù)學素養(yǎng).在引導學生探究基本不等式證明的教學設計中，教師一步步地引導，一層層地揭示，讓學生體會到基本不等式的數(shù)學本質，提升了學生數(shù)學抽象和邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng)，使學生學會了用數(shù)學的的思維去思考問題.

三、應用舉例,鞏固提高——用數(shù)學的語言表達世界

例(1)用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短？最短的籬笆是多少?

(2)一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬為多少時,菜園的面積最大？最大面積是多少?

(通過講解,總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征，實現(xiàn)積與和的轉化)

對于x,y∈R+,

(鼓勵學生自己探索推導后,同組交流反思)

設計意圖從學生的生活實際出發(fā)，引發(fā)學生思考，培養(yǎng)學生“數(shù)學建模”的核心素養(yǎng).數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學知識與方法構建模型解決問題的過程.這樣設計能讓學生進一步了解相關數(shù)學知識的實際意義和作用，體會數(shù)學建模的基本過程，增強學生數(shù)學知識的應用意識，提高對數(shù)據(jù)的觀察、分析、處理及從中獲取有益信息的能力.學生既能將所學知識運用于生活實際，提升數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，又能在交流中總結反思自己對公式理解的不足之處，最終形成對公式應用的口訣:“一正、二定、三相等”.這樣的反思總結不僅能加強學生對公式的理解，也有助于對公式的活學活用，更能提升學生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

總而言之,數(shù)學教育的終極目標也是制定數(shù)學核心素養(yǎng)的依據(jù):會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界;會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界;會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.要實現(xiàn)這一目標，就需要我們這些一線數(shù)學教師們能準確把握數(shù)學內容的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合理的問題，啟發(fā)學生獨立思考，與他人交流，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學內容的本質，積累數(shù)學思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).